Методические рекомендации по выполнению типового расчета.
Типовой расчет №1 по предмету
«Теория вероятности».
ü Номера задач определяются по таблице согласно порядковому номеру в списке группы.
| № варианта | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 1 | 11 | 21 | 31 | 41 | 51 | 61 | 71 |
| 2 | 12 | 22 | 32 | 42 | 52 | 62 | 72 |
| 3 | 13 | 23 | 33 | 43 | 53 | 63 | 73 |
| 4 | 14 | 24 | 34 | 44 | 54 | 64 | 74 |
| 5 | 15 | 25 | 35 | 45 | 55 | 65 | 75 |
| 6 | 16 | 26 | 36 | 46 | 56 | 66 | 76 |
| 7 | 17 | 27 | 37 | 47 | 57 | 67 | 77 |
| 8 | 18 | 28 | 38 | 48 | 58 | 68 | 78 |
| 9 | 19 | 29 | 39 | 49 | 59 | 69 | 79 |
| 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 | 80 |
| 11 | 11 | 22 | 33 | 44 | 55 | 66 | 77 |
| 12 | 12 | 23 | 34 | 45 | 56 | 67 | 78 |
| 13 | 13 | 24 | 35 | 46 | 57 | 68 | 79 |
| 14 | 14 | 25 | 36 | 47 | 58 | 69 | 80 |
| 15 | 15 | 26 | 37 | 48 | 59 | 70 | 71 |
| 16 | 16 | 27 | 38 | 49 | 60 | 61 | 72 |
| 17 | 17 | 28 | 39 | 50 | 51 | 62 | 73 |
| 18 | 18 | 29 | 40 | 41 | 52 | 63 | 74 |
| 19 | 19 | 30 | 31 | 42 | 53 | 64 | 75 |
| 20 | 20 | 21 | 32 | 43 | 54 | 65 | 76 |
| 21 | 11 | 22 | 33 | 44 | 55 | 66 | 77 |
| 22 | 12 | 23 | 34 | 45 | 56 | 67 | 78 |
| 23 | 13 | 24 | 35 | 46 | 57 | 68 | 79 |
| 24 | 14 | 25 | 36 | 47 | 58 | 69 | 80 |
| 25 | 15 | 26 | 37 | 48 | 59 | 70 | 71 |
| 26 | 16 | 27 | 38 | 49 | 60 | 61 | 72 |
| 27 | 17 | 28 | 39 | 50 | 51 | 62 | 73 |
| 28 | 18 | 29 | 40 | 41 | 52 | 63 | 74 |
| 29 | 19 | 30 | 31 | 42 | 53 | 64 | 75 |
| 30 | 20 | 21 | 32 | 43 | 54 | 65 | 76 |
ü Тематика заданий в типовом расчете:
|
|
|
1. Классическое определение вероятности. Применение формул комбинаторики при расчете вероятности события.
2. Сложение и умножение вероятностей. Условная вероятность.
3. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
4. Схема Бернулли.
5. Предельные случаи в схеме Бернулли (формула Пуассона и Муавра - Лапласа)
6. Дискретные случайные величины.
7. Непрерывные случайные величины.
ü Формулировки заданий указаны в задачах 1 – 6.
ü В задании 7 необходимо выполнить следующее:
1) В заданной функции f(x) найти параметр с, при котором f(x) является плотностью распределения случайной величины Х.
2) Найти функцию распределения F(x)
3) Построить графики f(x) и F(x)
4) Математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение с.в. Х.
5) Вероятность попадания х в указанный интервал [a ; b]
Задание № 1.
| 11 | В ящике содержатся 10 пронумерованных деталей: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10. найти вероятность того, что среди 5 извлеченных деталей окажутся детали 1 и 7. |
| 12 | Слово КАРЕТА, составленное из букв-кубиков, рассыпалось на отдельные кубики. Кубики сложили в строчку случайным образом. Какова вероятность того, что получилось слово РАКЕТА? |
| 13 | Набирая номер телефона, абонент забыл первые две цифры номера, а помнил лишь, что они различны. Какова вероятность того, что он набрал нужные цифры? |
| 14 | В коробке имеется 15 деталей, среди которых 10 окрашенных. Сборщик извлекает наудачу 3 детали. Найти вероятность того, что среди них окажутся 2 окрашенных. |
| 15 | В лифт девятиэтажного дома входят 4 человека. Какова вероятность того, что они выйдут на разных этажах? |
| 16 | Найти вероятность того, что дни рождения четырех человек приходятся на разные месяца, считая, что человек рождается с одинаковой вероятностью в любой месяц года. |
| 17 | В очереди стоят 10 человек. Какова вероятность того, что Петя и Саша, стоящие в очереди, разделены двумя людьми? |
| 18 | В мешочке 5 кубиков, на гранях каждого из которых написаны одна из букв О, П, Р, С, Т. Найти вероятность того, что на расположенных в одну линию кубиках можно прочесть слово СПОРТ. |
| 19 | На полке лежат 12 учебников, из них 7 по математике. Студент берет 5 учебников. Какова вероятность того, что среди них 3 учебника по математике? |
| 20 | В группе 20 студентов, из них 16 успевающих. Какова вероятность того, что из 16 вызванных к доске студентов 14 являются успевающими? |
Задание № 2.
|
|
|
|
|
|
| 21 | Студент пришел защищать типовой расчет, зная половину вопросов из 16. Преподаватель задал ему 3 вопроса. Какова вероятность того, что студент ответил на все? |
| 22 | Найти вероятность того, что наугад взятое трехзначное число кратно трем или пяти? |
| 23 | У студента три ручки. Первая пишет с вероятностью 0,5; вторая – с вероятностью 0,2; третья – с вероятностью 0,8. Какова вероятность того, что студент запишет лекцию. |
| 24 | Какова вероятность извлечь из колоды в 36 карт трефу или туза? |
| 25 | Из 20 банок 5 имеют трещины. Найти вероятность того, что среди 3 случайно выбранных банок менее двух имеют трещины. |
| 26 | Игральный кубик подбрасывается два раза. Найти вероятность того, в сумме получится число очков, кратное двум или трем. |
| 27 | Брошены два игральных кубика. Найти вероятность того, что цифра 6 появится хотя бы один раз. |
| 28 | Абонент забыл последнюю цифру номера телефона и набирает ее наудачу. Найти вероятность того, что ему придется звонить не более, чем в два места. |
| 29 | В урне находятся 5 белых и 20 черных шаров. Найти вероятность того, что первый раз белый шар будет вынут третьим по счету. |
| 30 | Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Найти вероятность того, что студент знает ответы на два из трех предложенных ему вопросов. |
Задание № 3.
|
|
|
| 31 | В первой урне 2 белых и 18 черных шаров, во второй 4 белых и 6 черных. Наугад выбранный шар из наугад выбранной урны оказался черным. Найти вероятность того, что он извлечен из второй урны. |
| 32 | По линии связи передаются два сигнала А и В. Вероятность передачи сигнала А — 0.72, В — 0.28. Из-за помех |часть сигналов А искажается и принимается как сигналы В, у часть сигналов В принимается как сигналы А. Найти вероятность принятия сигнала А. |
| 33 | В пирамиде 10 винтовок: 6 простых и 4 с оптическим прицелом. Вероятность попадания в цель из винтовки с оптическим прицелом 0.95, а из обычной 0.7. Какова вероятность попадания в цель из наугад взятой винтовки? |
| 34 | Студент, пришедший на экзамен, берет наугад один из оставшихся 3 билетов. Вероятность того, что он получит положительную оценку, отвечая на первый билет — 0.7, на второй — 0.5, на третий — 0.9. Студент получил 4. Какова вероятность, что он отвечал на второй билет? |
| 35 | В группе спортсменов 6 лыжников и 3 пловца. Вероятность выполнения норматива для лыжника 0.9, для пловца 0.7. Спортсмен выполнил норматив. Какова вероятность того, что это был пловец? |
| 36 | В городской олимпиаде приняли участие. 4 студента с ФПТ и 6 с ФЦСиТ. Вероятность стать призером для студента ФПТ — 0.1, ФЦСиТ — 0.06. Один студент стал призером. Что вероятнее, он учится на ФПТ или на ФЦСиТ? |
| 37 | 60% учащихся в школе — мальчики. 80% мальчиков и 70% девочек имеют билеты на концерт. Принесли кем-то потерянный билет. Какова вероятность того, что он принадлежал девочке. |
| 38 | Число теплоходов, проплывающих мимо бакена, относится к числу барж как 3:7. Вероятность того, что бакен будет сбит теплоходом — 0,01, а баржой — 0,03. Какова вероятность того, что бакен не будет сбит? |
| 39 | На склад поступило 25 микросхем с первого завода, 50 со второго и 25 с третьего. Вероятность выхода из строя за год для микросхемы с первого завода равна 0,2; со второго – 0,3; с третьего – 0,1. Какова вероятность того, что наугад взятая микросхема проработает год? |
| 40 | На специальности учится 3 группы первого курса. Преподаватель наудачу взял список одной из них и вызвал наудачу одного из студентов. Какова вероятность того, что им оказался юноша, если в первой группе было 11 девушек и 9 юношей, во второй – соответственно 7 и 13, а в третьей – 12 и 8? |
Задание № 4.
| 41 | В квартире 5 электролампочек. Лампочка перегорает за год с вероятностью 0,75. Какова вероятность того, что через год 4 лампочки будут исправны? |
| 42 | Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие не стандартно, равна 0,1. Найти вероятность того, что из 4 проверенных изделий окажется больше, чем нестандартных. |
| 43 | В урне 10 белых и 15 черных шаров. Вынули с возвращением четыре шара. Какова вероятность извлечения менее двух белых шаров? |
| 44 | По линии связи передаются два сигнала «0» и «1» с равной вероятностью. Какова вероятность того, что из 5 полученных сигналов было больше «1»? |
| 45 | Определите вероятность того, что в семье, имеющей шесть детей, только один мальчик (вероятность рождения мальчика и девочки считать одинаковой). |
| 46 | Какова вероятность того, что в столбике из 6 монет не менее двух лежат гербом вверх? |
| 47 | Из костей домино извлекают с возвращением пять штук. Найти вероятность того, что было извлечено 3 дубля. |
| 48 | Среди населения города 15 % составляют дошкольники. Какова вероятность того, что среди 10 пассажиров автобуса не более двух дошкольников? |
| 49 | Дачник покупает 5 кустов роз из партии, в которой 5 % брака. Найти вероятность того, что дачнику повезет – все розы окажутся набракованными. |
| 50 | Две игральные кости бросаются одновременно 6 раз. Какова вероятность того, что дублей будет не меньше двух? |
Задание № 5.
| 51 | Какова вероятность, что среди 200 новорожденных окажется одинаковое число девочек и мальчиков, если вероятность рождения мальчика 0.51? |
| 52 | Завод отправил на базу 10000 стаканов. Стакан разбивается в пути с вероятностью 0.0002. Какова вероятность того, что в пути разобьется менее трех стаканов? |
| 53 | Всхожесть семян равна 0.9. Найти вероятность того, что среди 1000 посаженных семян взойдут не менее 895. |
| 54 | Рукопись имеет объем 1000 страниц. Вероятность наличия опечатки на странице равна 0.002. Найти вероятность того, что хотя бы две страницы имеют опечатки. |
| 55 | Производство дает 1% брака. Какова вероятность того, что среди взятых на исследование 1200 изделий будет выбраковано не более 14? |
| 56 | Магазин получил партию из 1000 телевизоров. Вероятность того, что телевизор неисправен, равна 0.003. Найти вероятность того, что в партии два неисправных телевизора. |
| 57 | Какова вероятность того, что в столбике из 200 монет число монет, расположенных гербом вверх, будет от 90 до 105. |
| 58 | В партии из 5000 ламп вероятность обнаружения неисправной равна 0.0004. Найти вероятность обнаружить хотя бы 3 неисправные. |
| 59 | Игральную кость бросают 600 раз. Какова вероятность того, что пятерка выпадет не менее 95 раз |
| 60 | Произведено 5000 выстрелов. Вероятность попадания при одном выстреле 0.0001. Найти вероятность того, что в цель будет хотя бы одно попадание. |
Задание № 6.
| 61 | Монета подброшена 3 раза. Написать закон распределения с. в. X — числа выпадений герба. Найти М ( Х ) , D( Х ). |
| 62 | В урне 5 белых шаров и 3 красных. Из урны извлекают 2 шара. Найти закон распределения с. в. X — числа извлеченных красных шаров, а также М (Х), D (Х). |
| 63 | Три стрелка производят по одному выстрелу в цель. Вероятность попадания для первого стрелка равна 0.5, для второго— 0.7, для третьего — 0.8. Найти закон распределения с. в. X — числа попаданий в цель, М (Х), D (Х). |
| 64 | Прибор состоит из трех независимо работающих узлов. Вероятность отказа каждого узла равна  . Найти закон распределения с. в. X — числа отказавших узлов, М (Х), D(Х).
|
| 65 | В партии из 7 деталей имеются 5 стандартных. Найти закон распределения с. в. X , равной числу нестандартных деталей среди трех отобранных, М (Х), D(Х). |
| 66 | Имеются три станка, причем вероятность безотказной работы первого равна 0.9, второго — 0.7, третьего — 0.8. Найти закон распределения с. в. X — числа работающих станков, М (Х), D(Х). |
| 67 | Производится три выстрела со следующими вероятностями попадания в цель: 0,3; 0,4; 0,7. Найти закон распределения с.в. Х, равной числу попаданий в цель. Вычислить М (Х), D(Х). |
| 68 | В партии из 10 деталей 3 нестандартных. Наудачу отобраны 3 детали. Найти закон распределения и числовые характеристики с.в. Х, равной числу нестандартных деталей среди трех отобранных. |
| 69 | Пусть с.в. Х равна числу выпавших нечетных цифр при однократном бросании четырех игральных кубиков. Найти закон распределения и числовые характеристики Х. |
| 70 | На заводе три автоматических линии. Вероятность того, что в течение смены первая линия не потребует регулировки, равна 0,9, вторая – 0,8, третья – 0,7. Найти закон распределения и числовые характеристики с.в. Х, равной числу линий, не потребовавших регулировки. |
Задание № 7.
| 71 | f(x) = 
a = 1, b =3
| 76 | f(x) = 
a = 2, b =4
|
| 72 | f(x) = 
a = 0, b =3
| 77 | f(x) = 
a = -2, b =0
|
| 73 | f(x) = 
a = 3, b =5
| 78 | f(x) = 
a = 2, b =4
|
| 74 | f(x) = 
a = 0, b =4
| 79 | f(x) = 
a = -2, b =0
|
| 75 | f(x) = 
a = 3, b =6
| 80 | f(x) = 
a = 2,5, b =3,5
|
Методические рекомендации по выполнению типового расчета.
Задание №1.
Согласно классическому определению вероятность события А равна отношению числа случаев, благоприятствующих ему, к общему числу случаев, т.е.
где Р(А)— вероятность события А ( от probability - вероятность)
т — число случаев, благоприятствующих событию А, п — общее число случаев.
 |
Задание 2.
Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.
Противоположными называются два несовместных события, образующие полную группу.
Сумма вероятностей противоположных событий равна единице.
Вероятность события В, вычисленная при условии, что имело место событие А, называется условной вероятностью события В.
Обозначается: 
Вероятность произведения двух событий (совместного появления этих событий) равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие уже наступило.
Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления.
Если в результате испытания может появиться п событий, независимых в совокупности, то вероятность появления хотя бы одного из них равна
Задание 3.
Вероятность события А, которое может произойти вместе с одним из событий 
, равна сумме парных произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующие им условные вероятности наступления события А.
Вероятность гипотезы после испытания равна произведению вероятности гипотезы до испытания на соответствующую ей условную вероятность события, которое произошло при испытании, деленному на полную вероятность этого события.
Задание 4.
Формула Бернулли:
Задание 5.
Пусть производится п независимых испытаний, в которых появление события А имеет вероятность р. Если число испытаний п достаточно велико, а вероятность появления события А в каждом испытании мало (p£0,1), то для нахождения вероятности появления события А k раз находится следующим образом.
Сделаем важное допущение – произведение пр сохраняет постоянное значение:
Получаем формулу распределения Пуассона.
Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, а число независимых испытаний достаточно велико, то вероятность Рm,n может быть вычислена по формуле:
.
Значения функции Гаусса находят, пользуясь специальными таблицами, и учитывая следующие ее свойства:
- функция
- четная - при x ≥ 4 можно считать, что
=0
Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, а число независимых испытаний достаточно велико, то вероятность Р(k1 ≤ m ≤ k2) может быть найдена по приближенной формуле:
Ф(х) – нормированная функция Лапласа. Ее значения находят по таблице, учитывая следующие е свойства:
1. функция Ф(х) нечетна
2. при х ≥ 5 можно считать, что Ф(х) = 0,5
Задание 6.
Таблица соответствия значений случайной величины и их вероятностей называется рядом распределения.
Эта таблица имеет вид:
| Х | х1 | х2 | х3 | ... | xn |
| р | p1 | p2 | p3 | … | pn |
Определение. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех возможных значений случайной величины на их вероятности.
Определение. Дисперсией (рассеиванием) дискретной случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания.
Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины Х и квадратом ее математического ожидания.
Средним квадратическим отклонением случайной величины Х называется квадратный корень из дисперсии.
Задание 7.
Функцией распределения называют функцию F(x), определяющую вероятность того, что случайная величина Х в результате испытания примет значение, меньшее х.
Функцию распределения также называют интегральной функцией.
Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называется функция f(x) – первая производная от функции распределения F(x).
Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от - ¥ до ¥ равен единице.
Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (a, b), равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от a до b.
Функция распределения может быть легко найдена, если известна плотность распределения, по формуле:
Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат отрезку [a,b], называется определенный интеграл
Если возможные значения случайной величины рассматриваются на всей числовой оси, то математическое ожидание находится по формуле:
Дисперсией непрерывной случайной величины называется математическое ожидание квадрата ее отклонения.
По аналогии с дисперсией дискретной случайной величины, для практического вычисления дисперсии используется формула:
Средним квадратичным отклонением называется квадратный корень из дисперсии.
Дата добавления: 2021-07-19; просмотров: 283; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!