Наибольшее и наименьшее значение функции

Содержание темы «Применение производной функции»

Нахождение стационарных точек и промежутков монотонности.

Достаточный признак убывания (возрастания) функции, теорема Лагранжа, понятия «промежутки монотонности функции»

Экстремумы функции и значения в них

Определения точек максимума и минимума, необходимый признак экстремума (теорему Ферма) и достаточный признак максимума и минимума, знать определения стационарных и критических точек функции

Исследование и построение графиков функций.

Схема исследования функции, метод построения графика чётной (нечётной) функции

Нахождение наибольших и наименьших значений функций.

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке и на интервале

Основные сведения из теории

Экстремумы функции

Определение: Точка х₀ называется точкой максимума т. max функции f(х) если для всех х из некоторой окрестности точки х₀ выполняется неравенство f(х) ≤ f(х₀)

Другими словами: т. max – точка, выше которой график не поднимается

(в примере: х=4 –т.max)

Определение: Точка х₀ называется точкой минимума т. min функции f(х) если для всех х из некоторой окрестности точки х₀ выполняется неравенство f(х) ≥ f(х₀)

Другими словами: т. min – точка, ниже которой график не опускается

(в примере: х=-1 –т.min)

Определение: Точки минимума т. min и точки максимума т. max называются точками экстремума функции.

Теорема Ферма: Пусть функция f(х) определена в некоторой окрестности точки х₀ и дифференцируема в этой точке. Если х₀ – точка экстремума функции f(х), то f′(х₀)=0.

Другими словами: Необходимое условие существования точек экстремума: f′(х₀)=0

Алгоритм нахождения точек экстремума функции (т. max, т. min) :

1) Найти интервалы возрастания и убывания функции:

Найти производную функции f′(х);
Найти стационарные точки (точки, в которых производная f(х) равна нулю), т.е. решить уравнение f′(х)=0;
Отметить эти точки на числовой оси, указать промежутки;
Выявить знаки производной f′(х) на каждом из полученных промежутков (подставить любое число из проверяемого промежутка в производную и узнать знак);
Записать ответ.

2) По схеме определить точки максимума и точки минимума.

Исследование функции с помощью производной

Алгоритм исследования функции для построения графика

1. Найти область применения функции;

2. Найти производную функции f′(х);

3. Найти стационарные точки;

4. Найти промежутки возрастания и убывания функции;

5. Определить точки экстремума (т.max, т.min);

6. Найти значение функции в стационарных точках;

7. Заполнить таблицу;

8. Построить график.

Наибольшее и наименьшее значение функции

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке [а;в]

1) Найти значение функции на концах отрезка, т.е. f(а), f(в);

2) Найти производную функции f′(х);

3) Найти стационарные точки (f′(х) =0)

4) Проверить входят ли стационарные точки в отрезок [а;в];

5) Найти значение функции в стационарных точках;

6) Из найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

2. Примеры и упражнения

Пример 1: Найти точки экстремума функции:

f(х) = х³+6х²+4

Решение:

1) f ′(х) = (х³+6х²+4) = (х³)′+(6х²)′+(4)′= 3х²+6∙2х+0=3х²+12х

2) f′(х)=0 3х²+12х=0

х(3х+12)=0

х=0 или 3х+12=0

3х=-12

х=

т.min

т.max

х=-4

∞

-∞

-4

3) f′(х) ^{+ - +}

f(х)

4) На интервале (-∞;-4) возьмём число -5, подставим в производную f′(х):

f′(-1)=3∙(-5)²+12∙(-5)=75-60=15>0, знак «+», значит (↑)

На интервале (-4;0) возьмём число -1, подставим в производную f′(х):

f′(-1)=3∙(-1)²+12∙(-1)=3-12=-9<0, знак «-», значит (↓)

На интервале (0;∞) возьмём число 1, подставим в производную f′(х):

f′(1)=3∙1²+12∙1=3+12=15>0, знак «+», значит (↑)

5) На схеме определяем, что х=-4 т.max, х=0 – т.min

Ответ: х=-4 т.max, х=0 – т.min

Пример 2: Исследовать функцию и построить график

f(х) = 6х²-2х³

Решение:

1) Область применения: любое х;

2) f′(х) = (6х²)′-(2х³)′=6∙2х-2∙3х²=12х-6х²

3) f′(х) =0 12х-6х²=0

х(12-6х)=0

х=0 или 12-6х=0

-6х=-12

т.min

т.max

х=

, х=2

∞

-∞

f′(х) - + -

f(х)

(-∞;0) «-1» f′(-1)=12∙(-1) -6∙(-1)²=-12-6=-18<0, знак «-», значит (↓)

(0;2) «1» f′(1)=12∙1-6∙1²=12-6=6>0, знак «+», значит (↑)

(2;∞) «3» f′(3)=12∙3-6∙3²=36-54=-18<0, знак «-», значит (↓)

5) Определим по схеме, что х=0 – т.min, х=2 – т.max

6) f(0) = 6∙0²-2∙0³=0-0=0

f(2) = 6∙2²-2∙2³=24-16=8

7) Заполним таблицу:

х	(-∞;0)	(0;2)	2	(2;∞)
f′(х)	-	+	0	-
f(х)			8

т.min(0;0) т.max(2;8)

8) Строим график функции f(х) = 6х²-2х³

Пример 3: Найти наибольшее и наименьшее значение функции f(х)=2х³-3х²+2 на отрезке [-2;3]

Решение:

1) f(-2)=2∙(-2)³-3∙(-2)²+2=-16-12+2=-26

f(3)=2∙3³-3∙3²+2=54-27+2=29

2) f′(х) =(2х³-3х²+2)′= (2х³)′-(3х²)′+(2)′=2∙3х²-3∙2х+0=6х²-6х

3) f′(х) =0 6х²-6х =0

х(6х -6)=0

х=0 или 6х-6=0

6х=6 , х=

х=1

4) Получили стационарные точки х₁=0, х₂=1,

по заданию имеем отрезок [-2;3], х₁ и х₂ входят в заданный отрезок, значит обе стационарные точки нам подходят.

5) f(0)=2∙0³-3∙0²+2=0-0+2=2

f(1)=2∙1³-3∙1²+2=2-3+2=1

6) Имеем:

f(-2)= -26 f(3)= 29 f(0)=2 f(1)= 1

Выбираем самое большое и самое маленькое значение:

Наибольшее значение: f(3)= 29 , наименьшее значение: f(-2)= -26

Ответ: наибольшее значение: f(3)= 29 , наименьшее значение: f(-2)= -26

Пример 4.

Известно, что сумма двух положительных чисел равна 12. Какими должны быть эти числа, чтобы произведение их квадратов было максимальным?

Решение: прежде всего, хорошо осознаем, что от нас требуется: в условии фигурируют два положительных числа, причём ни то, ни другое мы не знаем. Но вот их сумма равна 12.

Если это, например, 2 и 10, то произведение квадратов ;
если 7 и 5, то и т.д.

И нам нужно отыскать такую пару, для которой данное произведение будет наибольшим. Понятно, что с методом подбора тут замучаешься, к тому же искомые числа ведь могут оказаться и дробными.

Обозначим за одно из чисел. Тогда второе число будет равно:

Проверим, что их сумма действительно равна 12:

Теперь составим функцию произведения их квадратов:

Далее нужно найти производную, критические точки и обнаружить точку (и), в которой функция достигает максимума (если таковые, конечно, вообще существуют).

Производную здесь можно найти несколькими способами. Удобен следующий вариант: загоняем множители под единую степень и раскрываем там скобки: , после чего дифференцируем сложную функцию:

Итак, – критические точки.

По условию оба числа положительны, поэтому значения сразу исключаем из рассмотрения. Осталось проверить достаточное условие экстремума для точки и выяснить, достигает ли там функция минимума либо максимума.

Пример 5.

Определите размеры открытого бассейна объемом , имеющего форму прямоугольного параллелепипеда с квадратным дном, на облицовку стен и дна которого уйдет наименьшее количество материала.

Решение: представили бассейн. Квадратное дно. Стены. Размеры бассейна однозначно определяются его длиной и шириной, которые в данном случае совпадают (по условию дно квадратное) и глубиной (высотой стенки). Требуется найти такие размеры бассейна, чтобы на облицовку его поверхности ушло наименьшее количество материала (например, плитки). Из чего следует, что нам нужно составить функцию суммарной площади дна и 4 стен. Изобразим на чертеже развёртку бассейна – его дно и 4 стенки, которые аккуратно лежат рядышком:

За «икс» здесь, конечно же, напрашивается обозначить сторону квадрата. Тогда площадь дна равна . Осталось выразить – высоту стены и найти её площадь .

По условию, объём бассейна равняется 32 кубическим метрам. Даже не вспоминая и не разыскивая соответствующую формулу, нетрудно сообразить, что объём прямоугольного параллелепипеда – это произведение площади его «дна» на высоту:

В нашем случае: .

Составим функцию суммарной площади дна и четырёх одинаковых стен бассейна:

Найдем критические точки:

– критическая точка.

Проверим выполнение достаточного условия экстремума:

, значит, функция достигает минимума в точке .

Таким образом:
сторона оптимального бассейна ;
глубина ;
при этом минимальная площадь облицовки:
.

Ответ: сторона оптимального бассейна: 4 м, глубина: 2 м; при этом минимальная площадь облицовки .

Дата добавления: 2021-07-19; просмотров: 77; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

Мы поможем в написании ваших работ!