Достаточное условие выпуклости (вогнутости) кривой.
График дифференцируемой функции y = f(x) является выпуклым на некотором промежутке, если вторая производная функции отрицательна в каждой точке этого промежутка: f¢¢(x) < 0.
График дифференцируемой функции y = f(x) является вогнутым на некотором промежутке, если вторая производная функции положительна в каждой точке этого промежутка: f¢¢(x) > 0.
Точками перегиба графика функции y = f(x) являются лишь те из указанных точек, при переходе через которые вторая производная f¢¢(x) меняет знак.
Общая схема построения графиков функций
I. Найти область определения функции.
II. Найти точки пересечения графика с осями координат (если это не вызывает затруднений).
III. Найти асимптоты графика функции.
IV. Найти промежутки монотонности функции и ее экстремумы.
V. Найти промежутки выпуклости графика функции и точки перегиба.
VI. Построить график, используя полученные результаты исследования.
Пример 4 . Построить график функции 
.
1. Функция определена на всей числовой прямой, т.е. 
.
2. Данная функция не является ни четной, ни нечетной; кроме того, она не является периодической.
3. Найдем точку пересечения графика с осью 
: полагая 
, получим 
. Точки пересечения графика с осью 
в данном случае найти затруднительно.
4. Очевидно, что график функции не имеет асимптот.
5. Найдем производную: 
. Далее, имеем 
.
Точки 
и 
делят область определения функции на три промежутка: 
, 
, 
. В промежутках и 
, то есть функция возрастает, а в промежутке 
, то есть функция убывает. При переходе через точку производная меняет знак с плюса на минус, а при переходе через точку - с минуса на плюс. Значит, 
.
|
|
|
6. Найдем вторую производную: 
. Точка 
делит область определения функции на два промежутка 
и 
. В первом из них 
, а во втором
, то есть в промежутке кривая выпукла вверх, а в промежутке выпукла вниз. Таким образом, получим точку перегиба (2;-1).
7. Используя полученные данные, строим искомый график.
| ХОД РАБОТЫ Внимательно изучите теоретическую часть практической работы, основные и дополнительные источники и дайте развёрнутые ответы на контрольные вопросы: 1. Дайте определение возрастающей, убывающей функции 2. Каким образом характеризуется возрастание и убывание функции, приведите примеры. 3. Дайте определение точек экстремума функции, 4. Составьте алгоритм для нахождения точек экстремума, приведите примеры . 5. Как найти наибольшее и наименьшее значение функции 6. Дайте понятие выпуклости(вогнутости) кривой 7. Составьте общую схему исследования функции с помощью производной и построения графика |
Основные источники:
|
|
|
1. Григорьев С.Г., Иволгина С.В. «Математика»: учебник для студ. образоват. учреждений сред.проф. образования под редакцией В.А. Гусева. – 10-е изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия», 2018.
Дополнительные источники:
2. Богомолов Н.В., Самойленко П.И. «Математика» учебник для средних спец. учебных заведений -5 изд., переработанное и доп. – М.: издательство Юрайт, 2015.
3. Богомолов Н.В. практические занятия по математике: учебное пособие для СПО / Н.В. Богомолов. – 11-е изд., перераб. И доп. –М.: издательство Юрайт, 2015.
4. Федеральное хранилище Единой коллекции цифровых образовательных ресурсов [Электронный ресурс] / Национальный фонд подготовки кадров – Электрон.дан. – Режим доступа: http://school-collection.edu.ru/catalog/– Загл. с экрана;
5. Единое окно доступа к образовательным ресурсам [Электронный ресурс]: каталог образовательных Интернет - ресурсов/ ФГУ ГНИИ ИТТ «Информика». – Электрон.дан. – Режим доступа: http://window.edu.ru/– Загл. с экрана
Дата добавления: 2021-07-19; просмотров: 56; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!