Нормальное распределение часто встречается в окружающем мире.

Равномерный закон распределения

Определение. Непрерывная случайная величина имеет равномерное распределение на отрезке [a,b], если ее плотность вероятности f(x) сохраняет постоянное значение на этом отрезке, а вне этого отрезка равна нулю:

Вместо отрезка в определении можно было записать интервал или полуинтервал, так как с.в. непрерывна.

Равномерное распределение с.в. X на промежутке [a,b] будем обозначать: X ~R[a,b].

График плотности f(x) для равномерного распределения имеет вид:

f(x)

F(x)

График функции распределения для равномерно распределенной величины представлен на следующем рисунке:

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины Х, имеющей равномерное распределение на [a,b] равны:

, .

К случайным величинам, имеющим равномерное распределение, относятся: время ожидания пассажиром транспорта, курсирующего с определенным интервалом; ошибка округления числа до целого и др.

СВ равномерно распределённая на [0; 1] называется «случайным числом» от 0 до 1 и служит исходным материалом для моделирования СВ с любым законом распределения.

Показательное распределение

Определение. Непрерывная случайная величина имеет показательное распределение, если ее плотность распределения имеет вид:

где λ>0 – параметр распределения.

График плотности f(x) для показательного распределения имеет вид:

Функция распределения для показательного закона распределения:

Ее график представлен на следующем рисунке:

Вероятность попадания случайной величины Х в интервал (a,b) определяется по формуле: (3.18).

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины Х, распределённой по показательному закону определяются по формулам:

, .

Среднее квадратическое отклонение: , то есть для показательного закона .

Показательное распределение встречается в теории массового обслуживания, физике, теории надежности.

Например, НСВ Т – длительность безотказной работы какого-либо устройства. Функция ее распределения определяет вероятность отказа устройства за время t. Значит, вероятность безотказной работы за время t равна . Функция R(t) называется функцией надежности.

Случайная величина Т часто имеет показательное распределение с функцией распределения , где . В этом случае функция надежности имеет вид , где λ – интенсивность отказов (среднее число отказов в единицу времени).

Нормальный закон распределения

Определение. Непрерывная случайная величина распределена по нормальному закону с параметрами a и σ>0, если ее плотность распределения имеет вид:

Нормальное (гауссовское) распределение с.в. X с параметрами a и σ будем обозначать: X ~N(a, σ).

Функция распределения НСВ X ~N(a, σ) имеет вид

Параметры a и σ означают математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение Х.

Вероятность попадания случайной величины Х в интервал (α,β) определяется по формуле: (3.19), где – функция Лапласа. (вычисляется по табл.2).

Кривая плотности нормального распределения имеет вид:

a+σ

a-σ

Важным для характеристики нормально распределенной случайной величины является «Правило трех сигм»:

, то есть отклонение с.в. X от своего математического ожидания меньше, чем на 3σ – почти достоверное событие. Значит практически достоверно, что с.в. X ~N(a, σ) принимает свои значения в промежутке (a -3σ,a+3σ).

Нормальное распределение часто встречается в окружающем мире.

Оно характерно для СВ, разброс значений которых обусловлен множеством факторов действующих примерно в одинаковой степени и независимо друг от друга. По нему распределяются рост, вес людей, скорость молекул газа, производительность труда, урожайность культуры с 1га и многие другие величины физической и биологической природы.

Дата добавления: 2021-04-05; просмотров: 86; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

Мы поможем в написании ваших работ!