Теорема о проекциях скоростей двух точек плоской фигуры.
Спроектируем равенство (2) на прямую АМ:
Тогда, учитывая, что 
, а следовательно 
, получим
(3)
или
(3/)
Равенство (3) или (3/) выражает следующую теорему:
В каждый момент времени проекции скоростей произвольных двух точек плоской фигуры на прямую, соединяющую эти точки, равны между собой.
Это положение остаётся справедливым не только при плоском, но и при любом движении твёрдого тела и называется основной теоремой кинематики.
Мгновенный центр скоростей плоской фигуры.
Определение скоростей точек фигуры через этот центр.
Теорема. При движении плоской фигуры в каждый момент времени, если угловая скорость 
, существует единственная точка фигуры, скорость которой в данный момент равна нулю.
Доказательство. Пусть известны скорость некоторой точки А и угловая скорость 
плоской фигуры. Поворачивая вектор 
на угол 
по направлению построим полупрямую 
. На этой полупрямой отложим отрезок АР, равный
(4)
Таким образом построим точку Р. Покажем, что 
. Принимая точку А за полюс, согласно формуле (2) запишем скорость точки Р:
|
|
|
Вектор 
и направлен в сторону 
.
Итак, 
и .
Теорема доказана.
Определение. Точка плоской фигуры, скорость которой в данный момент времени равна нулю, называется мгновенным центром скоростей. Мгновенный центр скоростей обычно обозначается буквой Р.
Мгновенный центр скоростей – это переменная точка: меняет своё положение как в пространстве, так и на плоской фигуре.
Пусть в некоторый момент известны положение мгновенного центра скоростей и угловая скорость фигуры. Требуется найти скорость 
произвольной точки М фигуры. Примем мгновенный центр скоростей Р за полюс и согласно уравнению (2) запишем
Так как 
, то
в сторону .
(а)
Аналогично 
и 
(б)
Вывод:
В каждый момент времени скорости точек плоской фигуры можно определить как вращательные скорости при вращении вокруг мгновенного центра скоростей.
Из (а) и (б) следует, что
,
то есть скорости точек плоской фигуры пропорциональны расстояниям от точек до мгновенного центра скоростей.
Если в некоторый момент времени 
, то из уравнения (4) следует, что 
. В этот момент мгновенного центра скоростей нет. Из уравнения (2) следует, что для любой точки М фигуры 
и 
, то есть скорость произвольной точки М фигуры равна скорости 
полюса.
|
|
|
Следовательно, если в некоторый момент времени , то скорости всех точек плоской фигуры в этот момент одинаковы и равны скорости полюса.
Некоторые случаи нахождения положения мгновенного центра скоростей.
1. 
Допустим, что известны прямые, по которым направлены скорости двух точек плоской фигуры А и В. Тогда мгновенный центр скоростей фигуры определится как точка пересечения перпендикуляров к этим прямым, проведённых в точках А и В. Зная модуль скорости точки А и определив расстояние от этой точки до мгновенного центра скоростей АР, находим угловую скорость плоской фигуры согласно уравнению (а):
Модуль скорости точки В можно определить из пропорциональности скоростей точек плоской фигуры расстояниям от точек до мгновенного центра скоростей:
,
откуда
или при помощи угловой скорости фигуры согласно уравнению (а)
|
|
|
Скорость любой другой точки плоской фигуры определяется аналогично.
2. Если скорости точек А и В плоской фигуры параллельны между собой и перпендикулярны к отрезку АВ, то для определения положения мгновенного центра скоростей должны быть известны модули скоростей обеих точек А и В (на рисунке 1 – случай, когда векторы скоростей точек направлены в одну сторону, а на рисунке 2 – случай, когда векторы скоростей направлены в противоположные стороны).
Известно, что модули скоростей точек фигуры пропорциональны расстояниям от точек до мгновенного центра скоростей, то есть
Следовательно, концы скоростей точек А и В лежат на прямой, проходящей через мгновенный центр скоростей. Пересечение этой прямой с прямой АВ определяет мгновенный центр скоростей фигуры.
Рисунок 1 Рисунок 2
Если скорости точек А и В плоской фигуры равны, параллельны между собой и перпендикулярны к отрезку АВ (рисунок 3), то перпендикуляры к этим скоростям, проведённые в точках А и В, также параллельны между собой ( 
), а следовательно не пересекаются. Поэтому мгновенный центр скоростей находится в бесконечности ( 
), а угловая скорость фигуры
|
|
|
Рисунок 3
3. Если известно, что скорости двух точек А и В плоской фигуры параллельны между собой и не перпендикулярны к отрезку АВ (рисунок 4), то мгновенный центр скоростей находится в бесконечности ( 
). Очевидно, что и в этом случае
Рисунок 4
Расстояния от всех точек плоской фигуры до мгновенного центра скоростей в этом случае равны между собой:
Поэтому скорости точек плоской фигуры в рассматриваемый момент времени геометрически равны:
Следует учесть то, что при поступательном движении плоской фигуры скорости всех её точек в каждый момент также геометрически равны и мгновенный центр скоростей этой фигуры находится в бесконечности.
Если условие 
остаётся справедливым в течение некоторого промежутка времени, а не только в отдельный момент, то движение плоской фигуры является поступательным. Если же только в некоторый момент времени, то утверждать, что плоская фигура движется поступательно, нельзя.
4. На практике часто происходит движение плоской фигуры, при котором она катится без скольжения по некоторой неподвижной линии.
В этом случае мгновенный центр скоростей плоской фигуры находится в точке её соприкасания с линией. Действительно, при отсутствии скольжения скорость точки соприкасания плоской фигуры по отношению к неподвижной кривой равна нулю, то есть эта точка в данный момент времени является мгновенным центром скоростей.
Дата добавления: 2021-07-19; просмотров: 127; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!