Исследовать функцию на непрерывность, найти точки разрыва, классифицировать их

НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ. КЛАССИФИКАЦИЯ ТОЧЕК РАЗРЫВА

Непрерывность функций. Точки разрыва

Определение 1: Функция y=f(x) непрерывна в точке х₀ тогда и только тогда, когда

где и – односторонние пределы (левосторонний и правосторонний соответственно).

Пример 1.

Рисунок 1 – Непрерывная функция

Рассмотрим рисунок 1. Если приближаться по оси Ох к точке k слева (х→k-0), то соответствующие значения у будут стремиться по оси Оу к точке m. Запишем левосторонний предел:

При приближении к точке k справа (х→k+0), у также стремится к значению m. Запишем правосторонний предел:

Значение функции в самой точке k равно m: f ( k )= m, следовательно, выполнены все условия непрерывности функции в точке:

1) функция определена в точке k, то есть существует значение f ( k );

2) односторонние пределы конечны и равны;

3) существует общий предел функции в точке k, равный значению функции в этой точке .

Определение 2. Функция y=f(x) непрерывна на интервале (a; b), если она непрерывна в каждой точке данного интервала.

Определение 3. Если функция y=f(x) в точке х₀не является непрерывной, то она называется разрывной в точке х₀, а точка х₀– точкой разрыва функции.

Классификация точек разрыва

Определение 4. Точкой разрыва первого рода называют такую точку х₀ разрыва функции, в которой существуют и конечны оба односторонних предела этой функции.

Определение 5. Если выполняется условие , то точка х₀ – точка устранимого разрыва.

Пример 2. Исследовать функцию на непрерывность, найти точки разрыва, классифицировать их.

Рисунок 2 – Точка устранимого разрыва

Данная функция непрерывна на всей числовой прямой, кроме точки х=0. Функция не определена в точке х=0, а значит, терпит разрыв в данной точке.

Односторонние пределы в этой точке существуют равны: , но не равны значению функции в точке х=0. Следовательно, в точке х=0 функция претерпевает устранимый разрыв. «Устранимый», т.к. возможно доопределить функцию в данной точке и устранить разрыв, например, таким образом:

Определение 6. Если выполняется условие , то точка х₀ – точка неустранимого разрыва. В точке х₀ функция терпит разрыв первого рода со скачком.

Пример 3. Исследовать функцию на непрерывность, найти точки разрыва, классифицировать их.

Функция y=f(x) – кусочная.

Рисунок 3 – Скачок функции

Интерес представляют точки х=0 и х=2.

Вычислив односторонние пределы при х→0, а также значение функции в данной точке, сделаем заключение, что функция непрерывна при х=0.

Исследуем точку х=2 на непрерывность:

1) f(2)=2-2=0 - функция определена в данной точке.

2) Вычислим односторонние пределы при х→2:

Пределы конечны, но не равны, следовательно, х=2 – точка разрыва первого рода со скачком.

Вычислим скачок:

Определение 7. Точка х₀ называется точкой разрыва второго рода функции y=f(x), если хотя бы один из односторонних пределов в точке х₀ не существует или бесконечен.

Пример 4.

Исследовать функцию на непрерывность, найти точки разрыва, классифицировать их.

Рисунок 4 - Точка разрыва второго рода

Функция не определена в точке х=0, поскольку знаменатель обращается в ноль, следовательно, функция терпит разрыв в данной точке. Классифицируем характер разрыва. Для этого вычислим односторонние пределы:

Односторонние пределы бесконечны, значит, функция терпит разрыв второго рода в точке х=0.

Практическая работа №2

Исследовать функцию на непрерывность, найти точки разрыва, классифицировать их

Дата добавления: 2021-07-19; просмотров: 126; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

Мы поможем в написании ваших работ!