Метод эквивалентных сопротивлений (метод «свертывания»)

Рис1

Параллельное соединение резисторов (рис2)

R=R 1 R 2 R 3 / (R 1 + R 2 + R 3 ).

рис2

Обобщенный закон Ома.

Закон Ома может быть записан и для активного участка цепи, т.е. содержащего источник Э.Д.С.,

 если Э.Д.С. и ток совпадают по направлению:

I = ( U_ca + E )/ R .

 если Э.Д.С на схеме направлена навстречу току, то

I =( U_ca - E )/ R .

Первый закон Кирхгофа.

 Алгебраическая сумма токов в узле электрической цепи равна нулю. Математически это записывается так: ∑I = 0

. Уравнение по первому закону Кирхгофа принимает вид:

                      − I1 − I2 + I3 + I4 = 0.

                           рис 3

Первый закон Кирхгофа отражает тот факт, что в узле электрический заряд не накапливается и не расходуется (рис 3).

Второй закон Кирхгофа.

Алгебраическая сумма ЭДС в любом контуре цепи равна алгебраической сумме напряжений на элементах этого контура:

∑E = ∑U.

Если в рассматриваемом контуре отсутствуют ЭДС, то уравнение принимает вид: ∑U = 0

 

Рассмотрим пример (рис 4) как составить систему уравнений для определения токов по первому и второму законам Кирхгофа              

 Дано:

 Е1 = 55 В. Е2 = 18 В.   Е3 = 4 В;

 R01 = 0,8 Ом. R02 = 0;  R03 = 0,8 Ом;  R1 = 8 Ом;

R2 = 4 Ом; R3 = 3 Ом. R4 = 2 Ом.   R5 = 4 Ом;  R6 = 4 Ом.

 

рис 4

 

Решение

1.Проставим на схеме предполагаемые направления токов, пронумеруем узлы, выберем независимые контуры и направления их обхода.                                                                       В заданной схеме 6 ветвей с неизвестными токами и 4 узла. Электрическое состояние заданной схемы полностью определяется количеством NВ = 6 уравнений, из которых

 NУ – 1 = 4 – 1 = 3 должны быть составлены по первому закону Кирхгофа, а

 NВ – NУ + 1 = 6 – 4 + 1 = 3 по второму закону.

В схеме 3 независимых контура

1.2. Уравнения для узлов:

  Узел 1: – I₁ + I₅ + I₆ = 0; Узел 2: I₁ – I₂ – I₃ = 0; Узел 3: I₃ + I₄ – I₅ = 0.

 

Для контуров:

  Контур I: I₁ × (R₁ + R₀₁) + I₃ × (R₃ + R₀₃) + I₅ × R₅ = E₁ + E₃;

  Контур II: – I₃ × R₃ + I₂ × R₂ + I₄ × R₄ = E₂ – E₃;

  Контур III: – I₄ × R₄ – I₅ × R₅ + I₆ × R₆ = 0.

  Итого: 6 уравнений с 6 – ю неизвестными.

  2. Найдем все токи в ветвях, пользуясь методом контурных токов (МКТ).

МКТ позволяет сократить количество уравнений, определяющих состояние цепи до количества уравнений, составленных по 2 – му закону Кирхгофа.

  Контур I: I_I × (R₁ + R₀₁ + R₃ + R₀₃ + R₅) – I_II × (R₃ + R₀₃) – I_III × R₅ = E₁ + E₃;

  Контур II: – I_I × (R₃ + R₀₃) + I_II × (R₃ + R₀₃ + R₂ + R₄) – I_III × R₄ = E₂ – E₃;

  Контур III: – I_I × R₅ – I_II × R₄ + I_III × (R₄ + R₅ + R₆) = 0.

  Эта система из трех уравнений с тремя неизвестными также имеет единственное решение. В ней в качестве неизвестных выступают контурные токи. После подстановки числовых данных система примет вид:

  16,6 × I_I – 3,8 × I_II – 4 × I_III = 59;

  – 3,8 × I_I + 9,8 × I_II – 2 × I_III = 14;

  – 4 × I_I – 2 × I_II + 10 × I_III = 0.

Решаем систему линейных уравнений:

 методом Гауссса, Крамера, матричным методом и т.д. (см. математику).

  Результаты расчета : I_I = 5,1652 A ; I_II = 4,0170 A  I_III = 2,8695 А.               

Токи в ветвях:

  I₁ = I_I = 5,1652 А;

  I₂ = I_II = 4,0170 А;

  I₃ = I_I – I_II = 5,1652 – 4,0170 = 1,1482 А;

  I₄ = I_II – I_III = 4,0170 – 2,8695 = 1,1475 А;

  I₅ = I_I – I_III = 5,1652 – 2,8695 = 2,2957 А;

  I₆ = I_III = 2,8695 А.

 3. В схеме должен соблюдаться баланс мощностей.

  Мощность, генерируемая источниками:

Р _ген = Е₁ × I₁ + Е₂ × I₂ + Е₃ × I₃ = 55 × 5,1652 + 18 × 4,0170 + 4 × 1,1482 = 360,9848 Вт.

  Мощность, потребляемая резисторами:

Р _потр = ΣI² × R = I₁² × (R₁ + R₀₁) + I₂² × R₂ + I₃² × (R₃ + R₀₃) ++ I₄² × R₄ + I₅² × R₅ + I₆² × R₆ =

= 5,1652² × (8 + 0,8) + 4,0170² × 4 + 1,1482² × (3 + 0,8) + 1,1475² × 2+ 2,2957² × 4 + 2,8695² × 4 = 360,9833 Вт.

 Несовпадение на уровне погрешности округлений. Баланс соблюдается и это является гарантией правильности расчета токов.

4. Для расчета потенциальной диаграммы примем равным нулю потенциал узла 4.

  φ₄ = 0;

  φ₁ = φ₄ – I₆ × R₆ = 0 – 2,8695 × 4 = – 11,478 B;

  φ₇ = φ₄ – E₂ = 0 – 18 = – 18 B;

  φ₂ = φ₇ + I₂ × R₂ = – 18 + 4,0170 × 4 = – 1,932 B;

  φ₅ = φ₂ + I₁ × R₁ = – 1,932 + 5,1652 × 8 = 39,3896 B.

  По полученным данным строим потенциальную диаграмму:

 

 

Распределение потенциала вдоль электрической цепи.

 Рассмотрим (рис 5) неразветвленную электрическую цепь постоянного тока, содержащую резисторы с сопротивлениями R и источниками ЭДС E .

Рис 5

Примем потенциал одной из точек равным нулю 0: φ ₀ =0 . Тогда можем найти потенциалы остальных точек схемы при известных значениях силы тока I , ЭДС E₁, E₂ , E₃ и сопротивлений R₁, R₂, R₃.

По второму закону Кирхгофа график изменения потенциала представлен на рисунке       (рис 6). Этот график служит графической иллюстрацией

Баланс мощностей

Мощность характеризует интенсивность преобразования энергии из одного вида в другой в единицу времени.

Для цепи постоянного тока мощность источника

Pu=Wu /t= EI,

а приемника (потребителя) 

P _П =W _П /t=UI=RI²=U²/R.

Уравнение баланса мощностей:

∑ EI =∑ RI ²,

где ∑EI- сумма мощностей, развиваемых источниками;

∑RI2 – сумма мощностей всех приемников и необратимых преобразований энергии внутри источников (потери из-за внутренних сопротивлений).

Если положительное направление тока совпадает с направлением ЭДС и в результате расчета получено положительное значение тока, то источник вырабатывает (генерирует) электрическую энергию, т.е. работает в режиме генератора. Если же получено отрицательное значение тока, то произведение EI отрицательно, т.е. источник работает в режиме потребителя и является приемником электрической энергии (например, электрический двигатель, аккумулятор в режиме зарядки).

Методы расчета цепей постоянного тока.

1.С применением законов Кирхгофа;

2.Метод контурных токов;

3.Метод двух узлов;

4.Метод наложения;

Метод эквивалентных сопротивлений (метод «свертывания»)

Порядок выполнения расчета

1. Определяют эквивалентное сопротивление цепи _{Rэкв  (}«сворачивают» цепь).

2. Определяют токи в ветвях и напряжения на отдельных участках цепи (разворачивают цепь).

3. Проверяют правильность решения, составляю уравнение баланса мощностей.

 

Пример (рис 7):

Рассчитать электрическую цепь методом эквивалентных сопротивлений. Параметры цепи:

R1= 60 Ом; R2= 30 Ом; R3= 10 Ом; R4= 40 Ом; R 5= 30 Ом; R 6= R 7= 20 Ом; U = 100 В.

Рис 7

                                                         Решение

1.Определим эквивалентное сопротивление R экв («свернем» цепь).

2. Определим токи в ветвях и напряжения на отдельных участках цепи («развернем» цепь).

4.Проверим правильность решения, составив уравнение баланса мощностей

 

 

Рассмотрим неразветвленную электрическую цепь (рис.8), содержащую потребитель

с сопротивлением R и два источника с внутренними сопротивлениями R01 и R 02 , ЭДС которых Е1 и Е2 направлены встречно

рис 8

Несомненно, электрический ток в этой цепи возникает только при условии:

Е1 ≠ Е2

 согласно формуле

очевидно, что если Е1 = Е2 то ток I = 0.

Если обе ЭДС совпадают по направлению, то величина тока в такой цепи будет больше, а если они направлены встречно, то меньше.

Источник, ЭДС которого совпадает с направлением тока, работает

в режиме генератора, а источник, ЭДС которого не совпадает с направлением

тока, работает в режиме потребителя.

Для цепи на рис.8 источник Е1 работает в режиме генератора, а источник Е2 — в режиме потребителя.

Напряжение на зажимах источника ЭДС, работающего в режиме генератора:

Напряжение на зажимах источника ЭДС, работающего в режиме потребителя:

В общем случае напряжение на зажимах источника ЭДС

В режиме холостого хода (I = 0) напряжение на зажимах источника равно его ЭДС: U= Е. То есть напряжение источника, работающего в режиме генератора, повышается, а работающего в режиме потребителя — понижается.

В режиме короткого замыкания, когда напряжение на зажимах источника

равно нулю U = 0, внутреннее падение напряжения становится равным ЭДС: U0 = Е.

Рекомендуемая литература

1. ГОСТ Р 52002 – 2003 «Электротехника. Термины и определения основных понятий»

2. Мартынова И.О.  Электротехника: учебник/ И.О. Мартынова. —           М .:  КНОРУС, 2015.

3. Иванов И. И., Соловьёв Г. И. Электротехника: учебное пособие. – 6- е изд. – СПб.; М.; Краснодар: Лань, 2011. – 496 с.

4. Рекус Г. Г., Белоусов А. И. Сборник задач и упражнений по электротехнике и основам электроники: учебное пособие. – 2- е изд., перераб. − М.: Высшая школа, 2011. – 415 с.

5. http://electricalschool.info/

6. http://www.ups-info.ru/

 

 

 

---

Дата добавления: 2021-07-19; просмотров: 132; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!