Тогда, пользуясь известным соотношением для определения момента инерции сечения при переносе осей будем иметь.                    

ПРАКТИКА ПСК

№ 3

На практике при выполнении расчетов прочностных характеристик сварных конструкций часто необходимо определять геометрические характеристики поперечных сечений, которые могут включать различные комбинации сечений стандартного сортамента (уголок, двутавр, швеллер, кольцо, круг и т.д.).

       Из сопромата известно, что основными геометрическими характеристиками любых сечений являются: центр тяжести, статический момент относительно осей X или Y ( S_x , м³), момент сопротивления относительно осей X или Y ( W _ч , м³), момент инерции относительно осей X или Y ( J_x , м⁴), радиус момента инерции ( i_x , м).

Во многих случаях необходимо определять положение центра тяжести сечения для составной фигуры из различных профилей стандартного сортамента.

       В общем случае, если известны площади элементарных сечений и координаты их центров тяжести то статический момент составной фигуры относительно любой системы координат, кроме центральных осей, будет равен:

                                                      S_x = F₁y _с1 + F ₂ y _с2 + … F_iy _{с i} ,

                                                      S_y = F ₁ x _с1 + F ₂ x _с2 + … F_ix _{с i} .

       Площадь составной фигуры:

                                                      F = F ₁ + F ₂ + … F_i .

       Тогда координаты центра тяжести сечения составной фигуры:

                                                      x_c =S_y/F, y_c =S_x/F .

       При этом следует помнить, что статические моменты S_x и S_y относительно любых осей проходящих через центр тяжести равны нулю.

       Если известны величины S_{x 2} ,   S_{y 2}   относительно каких либо осей (не являющимися центральными), то для определения центра тяжести составного сечения можно использовать следующие соотношения (рис.1):

                                                 S_x2 = S_x1-bF,

                                                 S_{y 2} = S_{y 1} - aF .

       В этом случае, чтобы найти координаты центра тяжести составного сечения, необходимо использовать соотношения:

                                                      b = S_x1/F ,

                                                      а = S_y1 / F .

       Через точку с координатами y_c = b и x_c = a проводятся так называемые центральные оси рис.1.

Рис.1

       Чтобы найти моменты инерции составного сечения относительно центральных осей x и y необходимо составить соотношения (рис.2):

                                                      J_xc = J_x1-b²F,

                                                      J_yc = J_y1-a²F.

                                                     

Рис.2.

       Таким образом, при параллельном переносе осей (если одна из осей является центральной) осевые моменты инерции меняются на величину, равную произведению площади на квадрат расстояния между осями. При этом надо помнить, что наименьший момент инерции сечения получается относительно центральных осей. Поэтому при переходе от нецентральных осей к центральным моменты инерции уменьшаются на величины a ² F и b ² F , а при переходе от центральных осей к нецентральным увеличиваются на указанные величины.

Пример.

Дано:

- два стандартных сечения сортамента уголок и швеллер образуют составное сечение представленное на рис.3;

При расчетах использовать табличные данные по сортаменту: для уголка № профиля 10 с толщиной полки 10 мм, для швеллера № профиля 10.

       Требуется:

Определить центр тяжести составного сечения и моменты инерции относительно центральных осей X и Y .

Решение

       Из таблиц для выбранного сортамента известно:

       - для уголка - F_y = 19,2 см², J_x = 179 см⁴, J_y = 179 см⁴, Z ₁ = 2,83 см;

- для швеллера - F _ш = 10,9 см², J_x = 174 см⁴, J_y = 20,4 см⁴, Z ₂ = 1,44 см.

Рис.3.

       Тогда, координаты центра тяжести составной фигуры определяются из соотношений:

                                          F_c = F ₁ + F ₂ = 30,1 см,

S_{x 0} = F ₁ y _с1 + F ₂ y _с2 = 19,2 · 2,83 + 10,9 · 5 = 108,836 см³,

                                          S_{y 0} = F ₁ x _с1 + F ₂ x _с2 = 19,2 · 2,83 - 10,9 · 1.44 = 38,64 см³,

                                          x _с = S_{y 0} / F = 38,64/30,1 = 1,28 см,

                                          y _с = S_{x 0} / F = 108,84/30,1 = 3,62 см.

      

       Определим теперь моменты инерции составной фигуры относительно центральных осей x_c и y_c проходящих через найденный центр тяжести. Учитывая, что из таблиц известны моменты инерции относительно центральных осей составляющих сечений элементов (сортамента) рассматриваемой фигуры, можем определить расстояния между центрами тяжести составляющих элементов и найденным центром тяжести составной фигуры.

       Для швеллера: x_{c 1} = Z ₂ – x_c = 1,44 + 1,28 = 2,72 см,

                              y_{c 1} = 5 – y_c = 5,00 – 3,62 = 1,38 см.  

       Для уголка: x_{c 2} = Z ₁ - x_c = 2,83 – 1,28 = 1,55 см,

                              y_{c 2} = y_c – Z₁ = 3,62 – 2,83 = 0 , 79 см .

Тогда, пользуясь известным соотношением для определения момента инерции сечения при переносе осей будем иметь.                    

       Для швеллера:       J_{xc 1} = J_{x 1} + b ₁ ² F _ш ,

                                     J_{yc 1} = J_{y 1} + a ₁ ² F _ш ,

       где, b ₁ = y_{c 1} = 1,38 см, a ₁ = x_{c 1} = 2,72 см.

       Тогда для швеллера: J_{xc 1} = 174 + 1,38²10,9 = 194,76 см⁴,

                                          J_{yc 1} = 20,4 + 2,72²10,9 = 101,04 см⁴.

       Для уголка:          J_{xc 2} = J_{x 2} + b ₂ ² F_y ,

                                       J_yc2 = J_y2 + a₂²F_y,

       где, b ₂ = y _с2 = 0,79 см, a ₂ = x_{c 2} = 1,55 см .

       Тогда для уголка:  J_{xc 2} = 179 + 0,79²19,2 = 190,98 см⁴,

                                         J_{yc 2} = 179 + 1,55²19,2 = 225,13 см⁴.

       Окончательно для рассматриваемой составной фигуры будем иметь:

                              J_xc = J_{xc 1} + J_{xc 2} = 194,76 + 190,98 = 385, 74 см⁴,

                                          J_yc = J_{yc 1} + J_{yc 2.} = 101,04 + 225,13 = 326,17 см⁴.

Задание

Для соответствующего номера варианта указанного в таблицах 1 и 2, подобрать составную фигуру заменяющую по требованиям прочности и жесткости сечение подобранное в работе №2.

Определить центр тяжести и моменты инерции J_x , J_y новой составной фигуры из стандартных сечений (уголок, швеллер, двутавр, труба) приведенных на рис.3.

---

Дата добавления: 2021-06-02; просмотров: 69; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!