МОСКОВСКИЙ ГУМАНИТАРНО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 3Следующая ⇒

ЧУВАШСКИЙ ФИЛИАЛ

ФАКУЛЬТЕТ ЭКОНОМИКИ И УПРАВЛЕНИЯ

СПЕЦИАЛЬНОСТЬ « »

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по ЭКОНОМЕТРИКЕ

Вариант № ....

Выполнил студент курса

Группы

^{(Ф.И.О. студента)}

Проверил

_{(Ф.И.О., должность)}

Оценка ____________________________

_{(подпись) (расшифровка подписи)}

Чебоксары 200...

ЗАДАНИЕ 1

X_i	10	12	14	16	18	20
Y_i	71	80	88	89	93	98

Для расчета параметров a и b линейной регрессии решим систему нормальных уравнений относительно a и b:

По исходным данным рассчитаем , , , , , , , , , и внесем в таблицу 1.

Таблица 1

	x	y	xy	x²	y²
1	10	71	710	100	5041
2	12	80	960	144	6400
3	14	88	1232	196	7744
4	16	89	1424	256	7921
5	18	93	1674	324	8649
6	20	98	1960	400	9604
Итого	90	519	7960	1420	45359
Среднее значение	15,0000	86,5000	1326,6667	236,6667	7559,8333
	3,4157	8,8081
	11,6667	77,5833

Вычислим среднее квадратическое отклонения x и y:

Вычислим оценки коэффициентов регрессии:

Уравнение регрессии: . С увеличением цены на 1 ед. дневной спрос на некоторый вид товара увеличивается в среднем на 2,5 ед.

Рассчитаем линейный коэффициент парной корреляции:

Связь достаточно сильная, прямая.

Построим прямую регрессии y на x (рис.1).

рис.1

ЗАДАНИЕ 2

X_i	1	1	1	2	2	2	3	3	3	2
Y_i	3	5	5	5	8	9	5	9	9	7

Для расчетов параметров уравнения линейной регрессии строим расчетную таблицу 2.

Таблица 2

	x	y	xy	x²	y²	y_x	y-y_x	( y-y_x)²
1	1	3	3	1	9	4,8333	-1,8333	3,3611
2	1	5	5	1	25	4,8333	0,1667	0,0278
3	1	5	5	1	25	4,8333	0,1667	0,0278
4	2	5	10	4	25	6,5000	-1,5000	2,2500
5	2	8	16	4	64	6,5000	1,5000	2,2500
6	2	9	18	4	81	6,5000	2,5000	6,2500
7	3	5	15	9	25	8,1667	-3,1667	10,0278
8	3	9	27	9	81	8,1667	0,8333	0,6944
9	3	9	27	9	81	8,1667	0,8333	0,6944
10	2	7	14	4	49	6,5000	0,5000	0,2500
Итого	20	65	140	46	465	65,0000	0,0000	25,8333
Среднее значение	2,0000	6,5000	14,0000	4,6000	46,5000
	0,7746	2,0616
	0,6000	4,2500

Вычислим оценки коэффициентов регрессии:

Получено уравнение регрессии: . С увеличением количества продавцов на 1 чел. количество проданных автомобилей возрастает в среднем на 1,6667 машин.

Тесноту линейной связи оценит коэффициент корреляции:

Оценку статистической значимости параметров регрессии проведем с помощью t-статистики Стъюдента.

Выдвигаем гипотезу о статистически незначимом отличии показателей от нуля.

для числа степеней свободы и составит 2,3060 (приложение 2).

Определим случайные ошибки , , :

Тогда

Так как , то гипотеза не отклоняется и признается случайная природа формирования , или .

Проведем анализ дисперсии зависимой переменной.

Остаточная сумма квадратов отклонений исходя из таблицы 2 равна 25,8333, а сумма квадратов отклонений, обусловленная регрессией, вычисляется по формуле:

Долю дисперсии, объясняемую регрессией, в общей дисперсии результативного признака Y характеризует коэффициент детерминации:

Это означает, что 39% вариации количества проданных автомобилей (Y) объясняется вариацией фактора X – количества продавцов.

Проверим на уровне значимости 5% гипотезу о линейной зависимости числа продаж от числа продавцов с помощью F-критерия Фишера.

Выдвигаем гипотезу о статистической незначимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи.

для уровня значимости и , составит 5,32 (приложение 1).

Так как , то гипотеза не отклоняется. Этот результат можно объяснить невысокой теснотой выявленной зависимости и небольшим числом наблюдений.

ЗАДАНИЕ 3

Уравнение линейной регрессии будем искать в виде (i=1,2,…,25). Вычислим средние значения переменных , , , , :

, ,

Вычислим оценки коэффициентов регрессии:

Получено уравнение регрессии: .

Определим прогнозное значение при :

Построим 95%-ный доверительный интервал. Произведем необходимые вычисления:

Вычислим среднюю стандартную ошибку прогноза:

для числа степеней свободы и составит 2,0687 (приложение 2).

Вычислим предельную ошибку прогноза:

Построим доверительный интервал прогноза:

ЗАДАНИЕ 4

Значения X_i
0,25	0,50	0,75	1,00	1,25	1,50	1,75	2,00	2,25	2,50
Значения Y _i
0,3	1,2	2,8	5,2	8,1	11,0	16,8	16,9	24,7	29,4

4а. Построим уравнение линейной регрессии . Для расчетов используем данные таблицы 3.

Таблица 3

	x	y	xy	x²	y²
1	0,25	0,3	0,0750	0,0625	0,0900
2	0,5	1,2	0,6000	0,2500	1,4400
3	0,75	2,8	2,1000	0,5625	7,8400
4	1	5,2	5,2000	1,0000	27,0400
5	1,25	8,1	10,1250	1,5625	65,6100
6	1,5	11	16,5000	2,2500	121,0000
7	1,75	16,8	29,4000	3,0625	282,2400
8	2	16,9	33,8000	4,0000	285,6100
9	2,25	24,7	55,5750	5,0625	610,0900
10	2,5	29,4	73,5000	6,2500	864,3600
Итого	13,7500	116,4000	226,8750	24,0625	2265,3200
Среднее значение	1,3750	11,6400	22,6875	2,4063	226,5320
	0,7181	9,5416
	0,5156	91,0424

Вычислим оценки коэффициентов регрессии:

Получено уравнение линейной регрессии: .

Рассчитаем линейный коэффициент парной корреляции:

4б. Построению уравнения степенной регрессии предшествует процедура линеаризации переменных. В примере линеаризация производится путем логарифмирования обеих частей уравнения:

;

, где , , .

Для расчетов используем данные таблицы 4.

Таблица 4

№	Y	X	YX	Y²	X²	y_x	y-y_x	(y-y_x)²
1	-1,2040	-1,3863	1,6691	1,4496	1,9218	0,3095	-0,0095	0,0001
2	0,1823	-0,6931	-0,1264	0,0332	0,4805	1,2324	-0,0324	0,0011
3	1,0296	-0,2877	-0,2962	1,0601	0,0828	2,7657	0,0343	0,0012
4	1,6487	0,0000	0,0000	2,7181	0,0000	4,9077	0,2923	0,0855
5	2,0919	0,2231	0,4668	4,3759	0,0498	7,6571	0,4429	0,1961
6	2,3979	0,4055	0,9723	5,7499	0,1644	11,0132	-0,0132	0,0002
7	2,8214	0,5596	1,5789	7,9602	0,3132	14,9753	1,8247	3,3297
8	2,8273	0,6931	1,9597	7,9937	0,4805	19,5426	-2,6426	6,9833
9	3,2068	0,8109	2,6005	10,2836	0,6576	24,7147	-0,0147	0,0002
10	3,3810	0,9163	3,0980	11,4311	0,8396	30,4911	-1,0911	1,1905
итого	18,3829	1,2415	11,9226	53,0554	4,9900	117,6094	-1,2094	11,7878
срзнач	1,8383	0,1241	1,1923	5,3055	0,4990			1,1788
	1,3879	0,6954
	1,9262	0,4836

Рассчитаем и :

Получим уравнение линейной регрессии: .

Выполнив его потенцирование, получим:

Подставляя в данное уравнение фактические значения , получаем теоретические значения результата . По ним рассчитаем показатели тесноты связи – индекс корреляции :

Характеристики степенной модели указывают, что она несколько лучше линейной функции описывает взаимность.

4в. Построению уравнения показательной регрессии предшествует процедура линеаризации переменных при логарифмировании обеих частей уравнения:

;

, где , , .

Для расчетов используем данные таблицы 5.

Таблица 5

№	Y	x	Yx	Y²	x²	y_x	y-y_x	(y-y_x)²
1	-1,2040	0,25	-0,3010	1,4496	0,0625	0,8074	-0,5074	0,2574
2	0,1823	0,5	0,0912	0,0332	0,2500	1,2739	-0,0739	0,0055
3	1,0296	0,75	0,7722	1,0601	0,5625	2,0100	0,7900	0,6240
4	1,6487	1	1,6487	2,7181	1,0000	3,1715	2,0285	4,1148
5	2,0919	1,25	2,6148	4,3759	1,5625	5,0041	3,0959	9,5845
6	2,3979	1,5	3,5968	5,7499	2,2500	7,8957	3,1043	9,6369
7	2,8214	1,75	4,9374	7,9602	3,0625	12,4581	4,3419	18,8525
8	2,8273	2	5,6546	7,9937	4,0000	19,6567	-2,7567	7,5996
9	3,2068	2,25	7,2153	10,2836	5,0625	31,0151	-6,3151	39,8801
10	3,3810	2,5	8,4525	11,4311	6,2500	48,9366	-19,5366	381,6797
итого	18,3829	13,7500	34,6825	53,0554	24,0625	132,2291	-15,8291	472,2349
срзнач	1,8383	1,3750	3,4683	5,3055	2,4063			47,2235
	1,3879	0,7181
	1,9262	0,5156

Рассчитаем и :

Получим уравнение линейной регрессии: .

Выполнив его потенцирование, получим:

Тесноту связи оценим через индекс корреляции :

Связь умеренная.

4г. Гиперболическое уравнение линеаризуется при замене: . Тогда .

Для расчетов используем данные таблицы 6.

Таблица 6

№	y	z	yz	y²	z²	y_x	y-y_x	(y-y_x)²
1	0,3	4,0000	1,2000	0,0900	16,0000	-6,0504	6,3504	40,3273
2	1,2	2,0000	2,4000	1,4400	4,0000	6,4587	-5,2587	27,6536
3	2,8	1,3333	3,7333	7,8400	1,7778	10,6284	-7,8284	61,2831
4	5,2	1,0000	5,2000	27,0400	1,0000	12,7132	-7,5132	56,4481
5	8,1	0,8000	6,4800	65,6100	0,6400	13,9641	-5,8641	34,3877
6	11	0,6667	7,3333	121,0000	0,4444	14,7980	-3,7980	14,4251
7	16,8	0,5714	9,6000	282,2400	0,3265	15,3937	1,4063	1,9777
8	16,9	0,5000	8,4500	285,6100	0,2500	15,8405	1,0595	1,1226
9	24,7	0,4444	10,9778	610,0900	0,1975	16,1879	8,5121	72,4553
10	29,4	0,4000	11,7600	864,3600	0,1600	16,4659	12,9341	167,2906
итого	116,4000	11,7159	67,1344	2265,3200	24,7963	116,4000	0,0000	477,3712
срзнач	11,6400	1,1716	6,7134	226,5320	2,4796			47,7371
	9,5416	1,0521
	91,0424	1,1070

Вычислим оценки коэффициентов регрессии:

Получено уравнение: .

Индекс корреляции:

По степенному уравнению регрессии получена наибольшая оценка тесноты связи: (по сравнению с линейной, показательной и гиперболической регрессиями).

ЗАДАНИЕ 5

1. Проверим идентификацию каждого уравнения и системы в целом.

Модель имеет три эндогенные ( , , ) и три экзогенные ( , , ) переменные.

Проверим каждое уравнение системы на необходимое (Н) и достаточное (Д) условия идентификации.

Первое уравнение.

Н: эндогенных переменных – 2 ( , ),

отсутствующих экзогенных – 1 ( ).

Выполняется необходимое равенство: 1 + 1 = 2, следовательно, уравнение точно идентифицируемо.

Д: в первом уравнении отсутствуют и . Построим матрицу из коэффициентов при них в других уравнениях системы:

Уравнение	Отсутствующие переменные
Уравнение
Второе	-1
Третье		0

Вычислим определитель матрицы, составленной из коэффициентов при переменных, отсутствующих в первом уравнении:

Определитель матрицы не равен 0, ранг матрицы равен 2; следовательно, выполняется достаточное условие идентификации, и первое уравнение точно идентифицируемо.

Второе уравнение.

Н: эндогенных переменных – 3 ( , , ),

отсутствующих экзогенных – 2 ( , ).

Выполняется необходимое равенство: 2 + 1 = 3, следовательно, уравнение точно идентифицируемо.

Д: во втором уравнении отсутствуют и . Построим матрицу из коэффициентов при них в других уравнениях системы:

Уравнение	Отсутствующие переменные
Уравнение
Первое
Третье

Вычислим определитель матрицы, составленной из коэффициентов при переменных, отсутствующих во втором уравнении:

Третье уравнение.

Н: эндогенных переменных – 2 ( , ),

отсутствующих экзогенных – 1 ( ).

Выполняется необходимое равенство: 1 + 1 = 2, следовательно, уравнение точно идентифицируемо.

Д: в первом уравнении отсутствуют и . Построим матрицу из коэффициентов при них в других уравнениях системы:

Уравнение	Отсутствующие переменные
Уравнение
Второе	-1	0
Третье

Вычислим определитель матрицы, составленной из коэффициентов при переменных, отсутствующих в третьем уравнении:

Таким образом, исследуемая система точно идентифицируема и может быть решена косвенным методом наименьших квадратов.

2. Найдем приведенную форму модели.

(1)

Подставим первое уравнения системы (1) во второе и получим:

. (2)

Уравнение (2) подставим в третье уравнение системы (1) и выразим :

(3)

В первое уравнение системы (1) подставим уравнение (3) и выразим :

Уравнение (3) подставим в (2) и выразим :

Таким образом, приведенная форма модели имеет вид:

где

, ,

ПРИЛОЖЕНИЯ

1. Таблица значений F -критерия Фишера при уровне значимости

Дата добавления: 2021-03-18; просмотров: 43; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 123 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!