ВЫПОЛНЕНИЕ ИНДИВИДУАЛЬНОГО ВАРИАНТА

АНОО ВПО «ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ И УПРАВЛЕНИЯ В МЕДИЦИНЕ И СОЦИАЛЬНОЙ СФЕРЕ»

Экономико-правовой факультет

КАФЕДРА МАТЕМАТИЧЕСКИХ И ЕСТЕСТВЕННОНАУЧНЫХ ДИСЦИПЛИН

Н.Ю. Нарыжная

ЗАЧЕТНОЕ ЗАДАНИЕ ПО ЭКОНОМЕТРИКЕ

Тема: Парная линейная регрессия

Вариант: __________ Задание выполнил (а) студент (ка) ________ курса ___________________ группы __________________________ факультета заочной формы обучения ФИО ________________________________ _____________________________________

Проверил (а) доцент кафедры математических и естественнонаучных дисциплин, к.т.н. Н.Ю. Нарыжная Оценка ______________________________ «______» ___________________ 20_____ г. _____________________________________ подпись

Краснодар 2014

Задание:

По n районам некоторого региона известны данные за январь 20___ года (см. таблицу, соответствующую Вашему варианту) о потребительских расходах на душу населения y и средней заработной плате и выплатам социального характера х.

1. Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о форме связи.

2. Рассчитайте параметры линейного уравнения регрессии.

3. Оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.

4. Дайте с помощью среднего (общего) коэффициента эластичности сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.

5. Оцените с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнения.

6. Оцените с помощью F-критерия Фишера статистическую надежность результатов регрессионного моделирования.

7. Рассчитайте прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 7% от его среднего уровня. Определите доверительный интервал прогноза для уровня значимости a=0,05.

ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ РАСЧЕТОВ

(выполняется совместно с преподавателем в аудитории)

Район	Потребительские расходы на душу населения (у.е), у	Средняя заработная плата и выплаты социального характера (у.е.), х
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14

Решение.

1) Построение поля корреляции:

2) Построение и анализ линейной модели регрессии:

Для расчета параметров a и b линейной регрессии y = a + b x , в соответствии с методом наименьших квадратов,необходимо решить систему нормальных уравнений относительно a и b:

Из этой системы получаются следующие формулы:

b = ; (1)

а= (2)

По исходным данным рассчитываем S y, S x, S y x, S x², S у². Для удобства результаты вычислений заносим в таблицу 1:

Таблица 1

i	y_i	x_i	y_ix_i	x_i²	y_i²	y_xi	y - y_xi	A_i
1	2	3	4	5	6	7	8	9
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Сумма
Среднее значение						*	*

Подставляя полученные средние значения в формулы (1) и (2), находим

b =

а=

Получили следующее уравнение линейной регрессии: y = ___ ____ ∙ x .

Из уравнения следует, что с увеличением заработной платы на 1 у.е. доля расходов на ________________________ в среднем на ___ % - ных пункта.

3) Для оценки тесноты связи изучаемых явлений рассчитаем линейный коэффициент парной корреляции:

r_xy = =

Полученное значение r_xy показывает, что связь ______________________________________.

а) Определим коэффициент детерминации R ², который характеризует долю дисперсии, объясняемую регрессией, в общей дисперсии результативного признака:

R ² =r_xy ² =

Значение R ² указывает на то, что вариация результативного признака у на _______ % объясняется вариацией признак - фактора х.

б). Оценку качества полученного уравнения регрессии дает также средняя ошибка аппроксимации Ā.

Для того, чтобы вычислить Ā, произведем следующие расчеты:

подставим в уравнение регрессии фактические значения х и определим теоретические (расчетные) значения ŷ_х (заполняем 7-ой столбец таблицы 1);

найдем разности y - ŷ_xi (8-ой столбец таблицы 1) и величины А _i = %(9-й столбец таблицы 1).

Теперь находим

Ā = Σ A_i / n =

Как видим, в среднем расчетные значения отклоняются от фактических на __________%, что

_______________________________________________________________________________.

в) Оценим качество уравнения регрессии с помощью F -теста. F -тест состоит в проверке гипотезы Н₀ о статистической незначимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи. Для этого выполняется сравнение фактического F_факт и критического (табличного) F_табл значений F -критерия Фишера. F_факт определяется из соотношения значений факторной и остаточной дисперсий, рассчитанных на одну степень свободы.

Рассчитаем фактическое значение F -критерия Фишера:

F_факт =

Здесь n – число единиц совокупности; m – число параметров при переменных х.

В данной задаче получили F_табл F_факт , что указывает на необходимость принять (отвергнуть) гипотезу Н₀ о случайной природе выявленной зависимости и статистической незначимости параметров уравнения регрессии и показателя тесноты связи.

СПРАВОЧНАЯ ИНФОРМАЦИЯ

Полем корреляции называется совокупность точек результативного и факторного признаков.

Построение уравнения линейной регрессии сводится к нахождению уравнения вида y = a+ bx, которое позволяет по заданным значениям фактора х иметь теоретические значения результативного признака (путем подстановки значений х в уравнение). Построение линейной регрессии сводится к оценке ее параметров а и b.

Классический подход к оцениванию параметров линейной регрессии основан на методе наименьших квадратов (МНК). МНК позволяет получить такие оценки параметров а и b, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака (у) от расчетных теоретических минимальна.

Параметр b называется коэффициентом регрессии. Его величина показывает среднее изменение результата с изменением фактора на одну единицу.

Коэффициент корреляции – показатель тесноты линейной связи между признаками у и х.

Если коэффициент корреляции по модулю близок к единице, то связь между признаками характеризуется как тесная линейная.

Если коэффициент корреляции по модулю близок к нулю, то имеет место слабая линейная зависимость.

Если коэффициент корреляции отрицателен, то связь признается обратной (т.е. большему значению фактора соответствует меньшее значение результата), если коэффициент положителен – прямой. Если значение коэффициента корреляции равно нулю, то изучаемые величины вообще не зависят друг от друга и связи между ними нет.

Квадрат индекса корреляции называется коэффициентом детерминации. Коэффициент детерминации характеризует качество подбора линейной функции.

Коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов изменится в среднем результат, если фактор изменится в среднем на единицу.

Фактические значения результативного признака отличаются от теоретических, рассчитанных по уравнению регрессии. Чем меньше это отличие, тем ближе теоретические значения подходят к эмпирическим данным, тем лучше качество модели.

Средняя ошибка аппроксимации в пределах 5-7 % свидетельствует о хорошем подборе модели к исходным данным.

F_табл – это максимально возможное значение критерия под влиянием случайных факторов при данных степенях свободы и уровне значимости α . Уровень значимости α – вероятность отвергнуть правильную гипотезу при условии, что она верна. Обычно α принимается равной 0,05 или 0,01.

Если F_табл< F_факт , то Н₀ гипотеза о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признается их статистическая значимость и надежность. Если F_табл> F_факт , то гипотеза Н₀ не отклоняется и признается статистическая незначимость и ненадежность уравнения регрессии.

Табличные значения F – критерия Фишера при уровне значимости 0,05 ( F ( m ; n -2) )

	m
n-2	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	15
1	161.45	199.50	215.71	224.58	230.16	233.99	236.77	238.88	240.54	241.88	245.95
2	18.51	19.00	19.16	19.25	19.30	19.33	19.35	19.37	19.38	19.40	19.43
3	10.13	9.55	9.28	9.12	9.01	8.94	8.89	8.85	8.81	8.79	8.70
4	7.71	6.94	6.59	6.39	6.26	6.16	6.09	6.04	6.00	5.96	5.86
5	6.61	5.79	5.41	5.19	5.05	4.95	4.88	4.82	4.77	4.74	4.62
6	5.99	5.14	4.76	4.53	4.39	4.28	4.21	4.15	4.10	4.06	3.94
7	5.59	4.74	4.35	4.12	3.97	3.87	3.79	3.73	3.68	3.64	3.51
8	5.32	4.46	4.07	3.84	3.69	3.58	3.50	3.44	3.39	3.35	3.22
9	5.12	4.26	3.86	3.63	3.48	3.37	3.29	3.23	3.18	3.14	3.01
10	4.96	4.10	3.71	3.48	3.33	3.22	3.14	3.07	3.02	2.98	2.85
11	4.84	3.98	3.59	3.36	3.20	3.09	3.01	2.95	2.90	2.85	2.72
12	4.75	3.89	3.49	3.26	3.11	3.00	2.91	2.85	2.80	2.75	2.62
13	4.67	3.81	3.41	3.18	3.03	2.92	2.83	2.77	2.71	2.67	2.53
14	4.60	3.74	3.34	3.11	2.96	2.85	2.76	2.70	2.65	2.60	2.46
15	4.54	3.68	3.29	3.06	2.90	2.79	2.71	2.64	2.59	2.54	2.40
16	4.49	3.63	3.24	3.01	2.85	2.74	2.66	2.59	2.54	2.49	2.35
17	4.45	3.59	3.20	2.96	2.81	2.70	2.61	2.55	2.49	2.45	2.31
18	4.41	3.55	3.16	2.93	2.77	2.66	2.58	2.51	2.46	2.41	2.27
19	4.38	3.52	3.13	2.90	2.74	2.63	2.54	2.48	2.42	2.38	2.23
20	4.35	3.49	3.10	2.87	2.71	2.60	2.51	2.45	2.39	2.35	2.20

Рекомендуемая литература:

1. Эконометрика. Под редакцией чл.- корр. РАН И.И. Елисеевой – М.: «Финансы и статистика», 2011.

2. Практикум по эконометрике. Под редакцией чл.-корр. РАН И.И. Елисеевой. – М.: «Финансы и статистика», 2012.

ВЫПОЛНЕНИЕ ИНДИВИДУАЛЬНОГО ВАРИАНТА

(выполняется студентом самостоятельно)

Район	Потребительские расходы на душу населения (у.е), у	Средняя заработная плата и выплаты социального характера (у.е.), х
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14