Умножение комплексных чисел тригонометрической форме

Комплексные равенства (Сформулируйте смысл комплексного равенства)

1) ;

2) .

Одно комплексное равенство равносильно системе двух действительных равенств. Эти действительные равенства получаются из комплексного равенства разделением действительных и мнимых частей.

Примеры

1) ;

2) .

Геометрическое изображение комплексных чисел (В чём состоит геометрическое изображение комплексных чисел?)

Комплексное число z изображается точкой (x, y) на комплексной плоскости или радиус-вектором этой точки.

Знак z во второй четверти означает, что система декартовых координат будет использоваться как комплексная плоскость.

Модуль и аргумент комплексного числа (Что такое модуль и аргумент комплексного числа?)

Модулем комплексного числа называется неотрицательное действительное число

.(2)

Геометрически модуль комплексного числа — это длина вектора, изображающего число z, или полярный радиус точки (x, y).

Аргумент комплексного числа z— это угол между положительным направлением действительной оси и вектором z (геометрически – это полярный угол точки (x, y)).

Обозначение , причем , или .

Для вычисления аргумента комплексного числа используется формула

Аргумент комплексного числа ,(3)

причем, при определении угла по его тангенсу обязательно нужно учитывать, в какой четверти на комплексной плоскости расположено число z:

Алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа (Что такое алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа?)

Так как геометрически очевидно, что и , то

Тригонометрическая форма комплексного числа .(4)

Запись z = x + iy называется алгебраической формой комплексного числа z; запись z = r(cosj + i sinj) называется тригонометрической формой комплексного числа z.

Примеры

Изобразить на комплексной плоскости следующие числа и записать их в тригонометрической форме.

1)z = 1 + i Þ

Þ ;

2) Þ

Þ ;

3) Þ

;

4) ,

;

5) ,

;

6) ,

то есть для z = 0 будет

, j не определен.

Арифметические действия над комплексными числами (Дайте определения и перечислите основные свойства арифметических действий над комплексными числами.)

Сложение (вычитание) комплексных чисел

z1 ± z2 = (x1 + iy1) ± (x2 + iy2) = (x1 ± x2) + i(y1 ± y2),(5)

то есть при сложении (вычитании) комплексных чисел складываются (вычитаются) их действительные и мнимые части.

Примеры

1)(1 + i) + (2 – 3i) = 1 + i + 2 –3i = 3 – 2i;

2)(1 + 2i) – (2 – 5i) = 1 + 2i – 2 + 5i = –1 + 7i.

Основные свойства сложения

1)z1 + z2 = z2 + z1;

2)z1 + z2 + z3 = (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3);

3)z1 – z2 = z1 + (– z2);

4)z + (–z) = 0;

5) .

Умножение комплексных чисел в алгебраической форме

z1∙z2 = (x1 + iy1)∙(x2 + iy2) = x1x2 + x1iy2 + iy1x2 + i2y1y2 = (6)

= (x1x2 – y1y2) + i(x1y2 + y1x2),

то есть умножение комплексных чисел в алгебраической форме проводится по правилу алгебраического умножения двучлена на двучлен с последующей заменой и приведением подобных по действительным и мнимым слагаемым.

Примеры

1)(1 + i)∙(2 – 3i) = 2 – 3i + 2i – 3i2 = 2 – 3i + 2i + 3 = 5 – i;

2)(1 + 4i)∙(1 – 4i) = 1 – 42 i2 = 1 + 16 = 17;

3)(2 + i)2 = 22 + 4i + i2 = 3 + 4i.

Умножение комплексных чисел тригонометрической форме

z1∙z2 = r1(cosj1 + isinj1)×r2(cosj2 + isinj2) =

= r1r2(cosj1cosj2 + icosj1sinj2 + isinj1cosj2 + i2 sinj1sinj2) =

= r1r2((cosj1cosj2 – sinj1sinj2) + i(cosj1sinj2 + sinj1cosj2))

Произведение комплексных чисел в тригонометрической форме , то есть при умножении комплексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются.

Пример