Определение средней кривизны кривой.
Определение. Назовём средней кривизной дуги 
кривой отношение
(2. 1)
Определение кривизны кривой.
Определение. Назовём кривизной дуги в точке кривой предельное значение отношения
при неограниченном приближении 
(2.2)
Формула вычисления значения кривизны кривой в точке в прямоугольных координатах.
Теорема 1. Пусть на отрезке 
задана дважды дифференцируемая функция 
. Тогда кривизна в любой точке графика 
вычисляется по формуле
(2.3)
Доказательство. Согласно формуле (2.2) кривизна вычисляется по правилу 
. Вычислим
дифференциалы 
. Из определения производной функции 
следует 
. Вычисляя дифференциал 
, получаем
Формула дифференциала длины дуги графика получена нами ранее (см. гл.4. формула ( 4.7) )
. Отсюда , применяя формулу (2.2)получаем формулу вычисления кривизны в точке(4)
Замечание. Если кривая задаётся параметрическими уравнениями 
,то кривизна в точке кривой 
вычисляется по формуле
|
|
|
(2.4)
Контрольные вопросы.
1. Как определяется средняя кривизна дуги кривой на плоскости?
2. Сформулируйте определение кривизны кривой на плоскости в точке в зависимости от способа задания кривой?
3. У какой кривой средняя кривизна и кривизна в точке совпадают ?
Далее предлагаются упражнения по данной теме для самостоятельной работы . В разделе ответы и решения приведены решения упражнений и ответы.
Упражнение1 .4 Используя калькулятор найти радиус кривизны данных кривых в соответствующих точках
Дата добавления: 2021-03-18; просмотров: 54; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!