Граничні умови на поверхні розділу

Електродинаміка і оптика.

Хвилі з довільним напрямом поширення

На рис. показано декартову систему координат (X, Y, Z) і введемо нову (

) зі спільним початком в нулю.

Введена прямокутна система координат

(ксі, ета, дзета), так, щоб напрям поширення хвилі співпадав з віссю

. Тоді між ортами обох систем існують такі співвідношення:

Електромагнітне поле хвилі в такій системі координат буде виглядати так:

, . (6.1)

Введемо хвильовий вектор , напрям якого співпадає із напрямом променя, а довжина дорівнює хвильовому числу:

, (6.2)

де . Хвильовий вектор перпендикулярний хвильовому фронту. Для переходу до координат X, Y, Z можна записати наступну рівність:

де – радіус-вектор точки. Таким чином, е/м поле плоскої однорідної хвилі, поширюючись в довільному напрямі , визначається виразом:

, де . (6.3)

Оскільки , тому швидкість переміщення хвильового фронту (фазова швидкість) вздовж осей X, Y, Z рівна:

, , ,

де – показник заломлення середовища; с – швидкість світла в вакуумі; – швидкість світла в середовищі.

Цей самий результат отримаємо при розгляді

. (6.4)

Таким чином, швидкість переміщення хвильового фронту вздовж осей координат завжди більша або рівна фазової швидкості хвилі вздовж її напряму поширення.

Швидкість переносу енергії вздовж осей координат (групова швидкість):

, , , (6.5)

і ніколи не перевищує швидкості світла с.

В ізотропному середовищі без втрат завжди: , і є величина постійна для будь-якого напрямку.

Відбивання і заломлення е/м хвиль

Будемо розглядати гармонічний електромагнітний хвилевий процес у випадку, коли весь простір розділений площиною на два однорідних півпростори з різними властивостями. В першому середовищі задамо так звану падаючу хвилю , , яка поширюється із нескінченності до границі під деяким кутом, і припустимо, що існує відбита хвиля , , яка поширюється від границі. В другому середовищі допустимо існування одної пройденої хвилі , (заломленої хвилі), яка виходить від границі в нескінченність.

Задача полягає в тому, щоб при заданій падаючій хвилі підібрати такі комплексні амплітуди і напрями поширення двох інших хвиль, щоб компоненти і залишились неперервними на межі розділу. Для цього випадку граничні умови набудуть наступного вигляду:

та , (6.6)

де індекси 1 і 2 позначають два різних середовища.

Нормальне падіння

Розпочнемо з розгляду окремого випадку, коли падаюча хвиля поширюється вздовж осі Z, тобто по нормалі до границі розділу. Напрямки поширення відбитої і пройденої хвиль є колінеарні (див. рис.).

Для цього випадку можна записати вирази для комплексних амплітуд векторів і всіх трьох хвиль :

, (6.7)

Введемо наступні коефіцієнти:

, ,

де – коефіцієнт відбиття, а – коефіцієнт проходження (заломлення).

Виходячи з цього, можна дати наступні визначення:

– коефіцієнт відбиття – це відношення комплексних амплітуд напруженостей електричного поля відбитої хвилі до падаючої, взятих на поверхні розділу середовищ.

– коефіцієнт заломлення – це відношення комплексних амплітуд напруженостей електричного поля заломленої хвилі до падаючої, взятих на поверхні розділу середовищ.

Оскільки значення цих коефіцієнтів є комплексними величинами, тому модуль коефіцієнта відбиття (заломлення) дає відношення амплітуд, а аргумент – різницю фаз відбитої (заломленої) і падаючої хвиль на поверхні розділу середовищ.

Тоді із (6.7) випливає, що: та .

Припускаючи в (6.7) Z=0, внесемо ці вирази в граничні умови і отримуємо:

Þ Þ . (6.8)

Þ Þ . (6.9)

Звідки можна записати:

. (6.10)

Розглянемо декілька варіантів поширення хвилі.

Випадок 1. Нехай або , тоді – випадок повного проходження електромагнітної хвилі.

Випадок 2. Коли W₁ та W₂ є дійсні, тоді можна спостерігати повне відбиття. Воно має місце, коли , а це, виходячи з модифікованої формули (6.10): , буде при умові, якщо або , а на практиці це означає, що або .

Розглянемо приклад ідеального провідника, для якого . Оскільки для ідеального провідника: , тоді . З формули (6.10) слідує, що: , тобто буде повне відбиття. При таких умовах виникає можливість утворення стоячої хвилі.

Нахилене падіння

Площина, в якій лежать промінь і нормаль до границі розділу, називають площиною падіння. Є два види поляризацій: перпендиндикулярна (горизонтальна-зліва) і паралельна (вертикальна):

З неперервності тангенціальних складових векторів і на межі розділу виходить, що залежності полів трьох хвиль від координат Y і Z є однакові. Тому промені відбитої і заломленої хвиль лежать в площині падіння, а проекції на вісь Z є рівні. Пропускаючи виведення, приведемо відразу значення коефіцієнтів відбиття і заломлення для перпендикулярної поляризації:

, . (6.11)

та для паралельної поляризації:

, . (6.12)

Вирази (6.11) і (6.12) є так звані формули Френеля.

Виходячи із останніх малюнків, легко можна записати величини повних е/м полів в заданій системі координат. Покажемо це. Нехай комплексні амплітуди напруженостей поля виражаються наступними формулами :

, та .

Якщо користуватися правилами перетворення ортів і координат, запишемо ці формули в основній системі координат (X, Y, Z), для якої будемо мати:

(6.12а)

Розглянемо випадок перпендикулярної поляризації. Тоді для падаючої хвилі (див. рис.), коли , та , можна записати величини кутів всіх її направляючих косинусів:

a₁⁰=0°; a₂⁰=90°; a₃⁰=90°;

b₁⁰=90°; b₂⁰=j; b₃⁰=90°+j; (6.13)

g₁⁰=90°; g₂⁰=90°–j; g₃⁰=j.

З системи виразів (6.12а), використовуючи значення кутів з (6.13), можна записати:

Аналогічно можна записати величини направляючих кутів для заломленої хвилі:

a₁⁺=0°; a₂⁺=90°; a₃⁺=90°;

b₁⁺=90°; b₂⁺=q; b₃⁺=90°+q; (6.14)

g₁⁺=90°; g₂⁺=90°–q; g₃⁺=q.

Якщо для поля падаючої хвилі значення комплексної амплітуди залишалося без змін, то для заломленої хвилі потрібно врахувати те, що хвиля пройшла з першого середовища в друге, тому потрібно ввести поправочний множник, а саме коефіцієнт заломлення, тому: . Виходячи з цього можна отримати:

Аналогічні результати можна отримати і для випадку паралельної поляризації. Виходячи з рис. запишемо поле тільки для відбитої хвилі для якої направляючі кути рівні:

a₁^–=90°; a₂^–=180°–j; a₃^–=90°+j;

b₁^–=180°; b₂^–=90°; b₃^–=90°;

g₁^–=90°; g₂^–=90°–j; g₃^–=180°–j;

а саме поле аналогічно можна записати так:

Закони відбиття і заломлення

Припустимо, що на поверхню розділу двох лінійних, ізотропних і однорідних середовищ з першого падає плоска однорідна, вертикально поляризована електромагнітна хвиля. Три хвилі, що утворюються в результаті такого падіння, можна записати як плоскі хвилі, що поширюються у відповідних напрямах. Тому можна перейти до вивчення основних законів оптики для відбитої і заломленої хвиль:

1). Кут падіння рівний куту відбиття : . (6.14а)

2). Відношення синус кута заломлення до синуса кута падіння є величиною сталою, яка рівна відносному коефіцієнту заломлення одного середовища по відношенню до іншого:

, (6.15)

де , – коефіцієнти заломлення середовищ; k ₁ i k ₂ – їх хвильові числа.

Записані рівності (6.14а) і (6.15) називаються законами Снелліуса.

Визначимо тут ще загальновідомий кут Брюстера. Зазначимо, що кут Брюстера – це є кут повного проходження хвилі з одного середовища в інше. Це можливо тільки при паралельній поляризації. Коефіцієнт відбиття при цьому дорівнює нулю, тобто

, Þ – вивести самостійно (6.16)

Шуканий кут Брюстера можна визначити за наступною формулою:

. (6.17)

Якщо використати подібний метод для знаходження кута Брюстера для випадку перпендикулярної поляризації, то рівність (6.36) у цьому випадку набуде наступного вигляду:

При m₁= m₂ не існує кута j, що задовольняє цю рівність, а відповідно, повне проходження хвилі неможливе.

Повне внутрішнє відбиття

Явище повного внутрішнього відбиття від поверхні розділу середовищ може відбуватися тоді, коли кут падіння більший від граничного . Тобто, це можливо при умові: . Тоді, згідно закону Снелліуса при : Þ – кут повного внутрішнього відбивання . В першому середовищі швидкість поширення вздовж осі Y:

, тобто швидкість поширення вздовж осі Y має (оскільки значення в попередній формулі знаходиться в межах [-1,1]) , де – фазова швидкість хвилі в цьому середовищі. А в напрямку осі (-Z) поле являє собою стоячу хвилю , так як .

Граничні умови на поверхні розділу

Діелектрик-метал

На відміну від звичайних граничних умов, що зв’язують значення складових поля на границі розділу в різних середовищах, граничні умови Щукіна–Леонтовича виражають зв’язок між складовими векторів і в одному середовищі. Немагнітний метал являє для електромагнітної хвилі дуже густе оптичне середовище , в якому модуль показника заломлення:

через це з виходить, що на межі розділу повітря-метал (див. рис.) кут заломлення:

. (6.18)

Незалежно від кута падіння кут заломлення близький до 0, тобто е/м хвиля поширюється в металі майже по нормалі до його поверхні. Дотичні складові електричного і магнітного полів на поверхні розділу неперервні:

Так як кут заломлення для будь-яких хвиль при переході розділу діелектрик-метал близький до нуля, тому для довільного поля в діелектрику має місце рівність:

, (6.19)

де – орт нормалі, спрямований в метал;

– поверхневий опір; – називають глибиною проник -нення. Вираз (6.19) є г ранична умова Щукіна – Леонтовича.

Граничні умови Щукіна–Леонтовича справедливі, якщо радіус кривизни . На межі метал – діелектрик протікає поверхневий струм:

. (6.20)

Для ідеального провідника:

тому виходить, що а на його поверхні виконуються граничні умови:

(6.21)

Дата добавления: 2021-03-18; просмотров: 68; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

Мы поможем в написании ваших работ!