Гармонічні коливання. Рівняння Максвела в комплексній формі

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 2

Використовуючи метод комплексних амплітуд, замінимо вектори E, H, D, B, j, які змінюються за законом гармонічних коливань, на їх комплексні представлення і т.п., тоді:

та .

Таким чином, отримані рівняння відносно комплексних амплітуд, що втратили часову залежність і які можна представити у вигляді такої системи рівнянь:

(4.5) В (4.5) скорочено на еⁱ^w^t, тобто залежність від часу зникає. Тепер можна залишити у цих рівняннях тільки напруженість, виключивши індукції та густини струму за допомогою матеріальних рівнянь та враховуючи, що

де – комплексна діелектрична проникливість. Тоді отримаємо:

(4.6)

В загальному випадку через інерційність поляризації та намагнічування:

. (4.7)

Вводять такі позначення: , де – кут електричних втрат, – кут магнітних втрат.

Тоді випливає: .

Далі крапки над і будемо опускати.

Рівняння електродинаміки другого порядку в комплексній формі

Комплексні аналоги рівнянь другого порядку, що розглядалися вище, можна було також отримати, виходячи із рівнянь Максвелла в комплексній формі. В кінцевому випадку все зводиться до таких замін: ; j®j^cт та . Якщо використати такі заміни у рівняннях Даламбера, тоді ці рівняння трансформуються в неоднорідні р-ня Гельмгольца:

. (4.8)

При =0 будуть однорідні рівняння Гельмгольца.

Баланс енергії при гармонічних коливаннях

Енергія і потужність – квадратичні функції полів, які можуть бути виражені через комплексні амплітуди. Наприклад, для електричного поля із врахуванням, що :

. (4.9)

Тоді густина енергії ЕМ-поля за період T: . (4.10)

Інтегрування цієї величини по об’єму V дає середню енергію у цьому об’ємі.

Середнє значення густини потужності P: . (4.11)

Тут – комплексна густина потужності, а величина – комплексна потужність.

Середнє значення вектора Умова-Пойнтінга: , (4.12)

де – комплексний вектор Умова-Пойнтінга. Тоді рівняння балансу середньої енергії:

. (4.13)

Тут інтеграл по V – середня потужність втрат в V. При – середовище не поглинає, тобто:

, де . (4.14)

В найпростішому варіанті, коли втрати в середовищі викликані лише його провідністю, тобто при і , випливає:

. (4.15)

Тоді величини і прийнято називати активними, а і – реактивними. Причому густина реактивної потужності рівна:

. (4.16)

де j – різниця фаз між гармонічними складовими векторів і . Наявність реактивної потужності вказує, що при даних амплітудах і активна потужність не досягає свого максимуму.

Дата добавления: 2021-03-18; просмотров: 68; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 12

Мы поможем в написании ваших работ!