Гармонічні коливання. Рівняння Максвела в комплексній формі
Використовуючи метод комплексних амплітуд, замінимо вектори E, H, D, B, j, які змінюються за законом гармонічних коливань, на їх комплексні представлення 
і т.п., тоді:
та 
.
Таким чином, отримані рівняння відносно комплексних амплітуд, що втратили часову залежність і які можна представити у вигляді такої системи рівнянь:
(4.5) В (4.5) скорочено на еiwt, тобто залежність від часу зникає. Тепер можна залишити у цих рівняннях тільки напруженість, виключивши індукції та густини струму за допомогою матеріальних рівнянь та враховуючи, що
,
де 
– комплексна діелектрична проникливість. Тоді отримаємо:
(4.6)
В загальному випадку через інерційність поляризації та намагнічування:
. (4.7)
Вводять такі позначення: 
, де 
– кут електричних втрат, 
– кут магнітних втрат.
Тоді випливає: 
.
Далі крапки над 
і 
будемо опускати.
Рівняння електродинаміки другого порядку в комплексній формі
Комплексні аналоги рівнянь другого порядку, що розглядалися вище, можна було також отримати, виходячи із рівнянь Максвелла в комплексній формі. В кінцевому випадку все зводиться до таких замін: 
; j®jcт та 
. Якщо використати такі заміни у рівняннях Даламбера, тоді ці рівняння трансформуються в неоднорідні р-ня Гельмгольца:
. (4.8)
При 
=0 будуть однорідні рівняння Гельмгольца.
Баланс енергії при гармонічних коливаннях
Енергія і потужність – квадратичні функції полів, які можуть бути виражені через комплексні амплітуди. Наприклад, для електричного поля із врахуванням, що 
:
. (4.9)
Тоді густина енергії ЕМ-поля за період T: 
. (4.10)
Інтегрування цієї величини по об’єму V дає середню енергію 
у цьому об’ємі.
Середнє значення густини потужності P: 
. (4.11)
Тут 
– комплексна густина потужності, а величина 
– комплексна потужність.
Середнє значення 
вектора Умова-Пойнтінга: 
, (4.12)
де 
– комплексний вектор Умова-Пойнтінга. Тоді рівняння балансу середньої енергії:
. (4.13)
Тут інтеграл по V – середня потужність втрат в V. При 
– середовище не поглинає, тобто:
, де 
. (4.14)
В найпростішому варіанті, коли втрати в середовищі викликані лише його провідністю, тобто при 
і 
, випливає:
. (4.15)
Тоді величини 
і 
прийнято називати активними, а 
і 
– реактивними. Причому густина реактивної потужності рівна:
. (4.16)
де j – різниця фаз між гармонічними складовими векторів 
і 
. Наявність реактивної потужності вказує, що при даних амплітудах і активна потужність не досягає свого максимуму.
Дата добавления: 2021-03-18; просмотров: 71; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!