III. Наибольшее и наименьшее значения функции
Исследование функции при помощи производных
Одним из приложений производной является ее применение к исследованию функций и построению графика функции.
1. Внутренние точки области определения, в которых производная равна нулю, называются стационарными. Критическими точками функции называются точки, в которых ее производная не существует.
Для того, чтобы найти стационарные и критические точки функции нужно:
- вычислить производную заданной функции 
;
- приравнять ее к нулю, т.е. решить уравнение 
.
2. Промежутки монотонности функции - это промежутки, на которых функция возрастает или убывает.
Теорема (необходимые условия). Если дифференцируемая функция 
возрастает (убывает), то 
( 
).
Теорема (достаточные условия). Если функция дифференцируема и 
( 
), то эта функция возрастает (убывает).
Для того чтобы определить промежутки монотонности функции 
необходимо:
- вычислить производную функции 
;
- найти критические точки функции, т.е. решить уравнение 
;
- найденные критические точки отметить на числовой прямой, определить знак производной в каждом из получившихся интервалов;
- записать ответ, используя свойство монотонности.
Экстремумы функции.
Точки минимума и максимума функции называются ее точками экстремума, а значения функции в этих точках - экстремумами данной функции.
Теорема (необходимое условие экстремума). Если дифференцируемая функция 
имеет экстремум в точке 
, то ее производная в этой точке равна нулю.
|
|
|
Для того чтобы определить точки экстремума функции необходимо:
- вычислить производную функции 
;
- найти критические точки функции, т.е. решить уравнение 
;
- найденные критические точки отметить на числовой прямой, определить знак производной в каждом из получившихся интервалов;
- если при переходе через критическую точку (слева направо), производная меняет свой знак с «+» на «-», то данная точка является точкой максимума;
- если при переходе через критическую точку (лева направо), производная меняет свой знак с «-» на «+», то данная точка является точкой минимума.
4. Наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке.
Для того чтобы определить наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке, необходимо:
- вычислить производную функции ;
- найти критические точки функции, т.е. решить уравнение 
;
- определить критические точки функции, лежащие внутри отрезка;
- вычислить значения функции в этих точках и на концах отрезка;
- выбрать из полученных значений наибольшее и наименьшее.
I. Промежутки возрастания и убывания функции
|
|
|
1) Какие из данных функций возрастают на всей области определения:
2) Укажите промежутки возрастания и убывания функции 
3) Найдите промежутки монотонности функции 
4) Найдите промежутки монотонности для функции 
5) Какие из данных функций убывают на всей области определения:
II. Точки экстремума функции
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) Найдите точки экстремума функции 
на промежутке 
III. Наибольшее и наименьшее значения функции
1) 
на отрезке 
;
2) 
на отрезке 
;
3) 
на отрезке 
;
4) 
на отрезке 
5) 
на отрезке 
Дата добавления: 2021-03-18; просмотров: 42; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!