Уравнение поверхности и линии

Уравнение поверхности и линии

1.1. Определите поверхность по ее уравнению:

а) ; б) .

1.2. Определите линию по ее уравнениям:

а) б)

1.3. Найдите уравнение множества точек пространства, для каждой из которых расстояние до точки А(0; –1; 0) в два раза меньше, чем до точки В(0; –4; 0).

1.4. Найдите уравнение множества точек пространства, для каждой из которых модуль разности расстояний до точек F₁(0; 0; –3) и F₂(0; 0; 3) равен 2.

____________________________

1.5. Определите поверхность по ее уравнению:

а) ; б) .

1.6. Определите линию по ее уравнениям:

а) б)

1.7. Найдите уравнение множества точек пространства, равноудаленных от точек А(1; –2; 3) и В(–2; 3; –1).

1.8. Найдите уравнение множества точек пространства, для каждой из которых сумма расстояний до точек F₁(–1; 0; 0) и F₂(1; 0; 0) равна 4.

Плоскость

2.1. Напишите уравнение плоскости, проходящей через точки М₁(1; –1; 2), М₂(2; 1; 2), М₃(1; 1; 4).

2.2. Напишите уравнение плоскости, проходящей через точку
М(2; –3; 7) параллельно плоскости .

2.3. Напишите уравнение плоскости, проходящей через точку
М(2; –1; 3) и отсекающей на осях координат равные отрезки.

2.4. Напишите уравнение плоскости, проходящей через ось О z и точку М(1; –2; 1).

2.5. Напишите уравнение плоскости, проходящей через точки
М₁(–1; –2; 0) и М₂(1; 1; 2) перпендикулярно плоскости .

2.6. Найдите расстояние от точки М(5; 1; –1) до плоскости .

2.7. Найдите координаты точек, лежащих на оси О y и равноудаленных от плоскостей и .

2.8. Найдите угол между плоскостями и .

____________________________

2.9. Напишите уравнение плоскости, проходящей через точку
М(3; 8; –4) и отсекающей на осях Ох и О z отрезки, равные –3 и 2 соответственно.

2.10. Напишите уравнение плоскости, проходящей через точку
М(–1; –1; 2) и перпендикулярной плоскостям и .

2.11. Найдите расстояние от точки А(5; 4; –1) до плоскости, проходящей через точки М₁(0; 4; 0), М₂(0; 4; –3), М₃(3; 0; 3).

2.12. Найдите значения α и β, при которых плоскости и являются параллельными.

2.13. Найдите угол между плоскостями и .

2.14. Напишите уравнение плоскости, проходящей через ось Ох и равноудаленной от точек А(–1; 3; 2) и В(2; –1; –3).

Прямая линия

3.1. Напишите параметрические и канонические уравнения прямой, проходящей через точку М(4; –3; 6) перпендикулярно плоскости .

3.2. Напишите уравнения сторон треугольника АВС с вершинами А(3; 2; –1), В(3; 8; 4), С(6; 2; 5).

3.3. Напишите уравнения прямой, проходящей через точку
М(–2; 3; 4) перпендикулярно прямым и .

3.4. Общие уравнения прямой преобразуйте к каноническому виду.

3.5. Найдите угол между прямыми и .

3.6. Установите взаимное расположение прямых и .

3.7. Найдите координаты точки пересечения прямых и .

____________________________

3.8. Напишите уравнения медианы AD треугольника АВС с вершинами А(–3; 2; 8), В(–7; 0; 3), С(3; 4; 5).

3.9. Напишите канонические уравнения прямой, проходящей через точку М(1; –3; 5) параллельно прямой

3.10. Найдите угол между прямыми и .

3.11. Установите взаимное расположение прямых и . Если прямые пересекаются, то найдите координаты их точки пересечения.

Прямая линия и плоскость

4.1. Напишите уравнение плоскости, проходящей через точку
М(4; –3; 6) перпендикулярно прямой .

4.2. Напишите уравнение плоскости, проходящей через прямую и точку М(3; 4; 0).

4.3. Напишите уравнение плоскости, проходящей через прямую перпендикулярно плоскости .

4.4. Найдите угол между прямой и плоскостью .

4.5. Найдите координаты точки пересечения прямой и плоскости .

4.6. Установите взаимное расположение прямой и плоскости .

4.7. Найдите координаты точки В, симметричной точке А(–3; 4; 5) относительно плоскости .

____________________________

4.8. Напишите уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые и .

4.9. Найдите угол между прямой и плоскостью .

4.10. Найдите значения А и С, при которых прямая лежит в плоскости .

4.11. Найдите координаты проекции точки А(3; 1; –1) на плоскость .

Дополнительные задачи

5.1. Найдите уравнение множества точек пространства, для каждой из которых сумма квадратов расстояний до точек А(0; –2; 0) и В(0; 2; 0) равна 16.

5.2. Найдите уравнение множества точек пространства, для каждой из которых расстояние до точки А(1; 2; 0) в два раза больше, чем до точки В(–2; –1; 0).

5.3. Найдите расстояние от точки А(4; –2; –3) до плоскости, проходящей через точки М₁(2; 2; –3), М₂(3; 1; 1), М₃(–1; 0; –5).

5.4. Напишите уравнение плоскости, проходящей через ось О y и равноудаленной от точек А(–1; 3; 2) и В(2; –1; –3).

5.5. Напишите уравнения средней линии, параллельной стороне ВС, треугольника АВС с вершинами А(3; 4; –1), В(–1; 2; 5), С(5; –2; 3).

5.6. Напишите уравнения диагонали BD параллелограмма АВС D если известны координаты трех его вершин: А(2; 4; 3), В(–3; 0; 6),
С(–4; 2; 1).

5.7. Найдите угол между прямыми и .

5.8. Установите взаимное расположение прямых и . Если прямые пересекаются, то найдите координаты их точки пересечения.

5.9. Найдите координаты точки пересечения прямой и плоскости .

5.10. Найдите координаты точки В, симметричной точке А(6; –4; –2) относительно плоскости .

5.11. Установите взаимное расположение прямой и плоскости .

Ответы

Уравнение поверхности и линии

1.1. а) плоскость, параллельная плоскости Ох z; б) гиперболический цилиндр, образующая которого параллельна оси Oz, а направляющая – гипербола . 1.2. а) окружность, лежащая в плоскости , с центром в точке (3; 3; 0) и радиусом равным 1; б) две параллельные оси Oz прямые, проходящие соответственно через точки (2; 2; 0) и (2; 6; 0). 1.3. . 1.4. . 1.5. а) плоскость, параллельная плоскости О yz; б) эллиптический цилиндр, образующая которого параллельна оси Oy, а направляющая – эллипс . 1.6. а) окружность, лежащая в плоскости , с центром в точке (3; 0; 4) и радиусом равным 3; б) прямая, параллельная оси Oz и проходящая через точку (2; 4; 0). 1.7. . 1.8. .