Сложение элементов симметрии и виды симметрии
Лекция 2. Симметрия кристаллов.
Симметрия внешней формы кристаллов. Элементы симметрии конечных многогранников. Сложение элементов симметрии и виды симметрии. Международная символика точечных групп симметрии.
Симметрия внешней формы кристаллов. Элементы симметрии конечных многогранников.
Для кристаллических веществ, имеющих облик монокристаллов, характерна симметрия.
«Симметрия – это свойство геометрических тел повторять свои части»
Е.С.Федоров
«Симметрия» - по-гречески – соразмерность.
Симметричным считается такой объект, который может быть совмещен сам с собой с помощью специальных преобразований в пространстве. Такие преобразования называются симметрическими. (Обычно это поворот, или отражение)
Вспомогательные геометрические образы ( прямые, плоскости, точки), с помощью которых обнаруживается симметрия объекта, называются элементами симметрии фигуры.
В зависимости от характера преобразования различают элементы симметрии I и II родов.
К первым относятся поворотные оси симметрии.
Ко вторым – плоскости симметрии, центр инверсии (симметрии) и инверсионные оси.
Операции симметрии I рода совмещают равные фигуры или их части одной хиральности ( хира греч. – рука) – правые с правыми, левые с левыми. (Основная операция - наложение)
Операции симметрии II рода совмещают равные фигуры или их части разной хиральности – правые с левыми, левые с правыми. (Основная операция – отражение)
|
|
|
Для обозначения симметричных преобразований и соответствующих им элементов симметрии используют две системы – международную, принятую интернациональным союзом кристаллографов, и символику, основанную на формулах симметрии Браве.
Элементы симметрии I рода
Ось симметрии – прямая линия, при повороте вокруг которой (на некоторый определенный угол) фигура совмещается сама с собой (рис.2. 1). Обозначение по формуле симметрии – Ln, где n – порядок оси симметрии. Соответственно ось симметрии второго порядка обозначается L2, третьего порядка – L3 и т. д. Порядок оси симметрии n показывает, сколько раз фигура совместится сама с собой при полном обороте (360°) вокруг этой оси. Цифра перед обозначением оси симметрии указывает, сколько у рассматриваемого кристалла осей симметрии данного порядка.
Например, 6 L2– шесть осей симметрии второго порядка и т. п. В отличие от других симметричных предметов кристаллы могут иметь оси симметрии только 2-, 3-, 4- и 6-го порядков. Как и все специфические свойства кристаллов, это связано с упорядоченностью их внутреннего строения. Чтобы весь объем кристалла был заполнен без промежутков, элементарные ячейки должны быть одинаковыми по размерам и форме и укладываться одним и тем же способом. Этому условию удовлетворяют только параллелепипеды и шестигранные призмы – фигуры с осями симметрии только 2-, 3-, 4- и 6-го порядков. При заполнении пространства какими-либо другими фигурами между ними всегда будут оставаться пустоты, т. е. не будет реализован принцип минимизации свободной энергии кристалла как системы.
|
|
|
В связи с этим для внешней формы кристаллов невозможны оси симметрии L5, L7 и т. д. Однако, в других природных формах такие оси широко распространены. Например, симметрия L5 и L7 присуща цветам, морским звездам, многим мелким организмам.
Оси симметрии могут проходить через центры граней (плоскостей, ограничивающих многогранник), середины ребер только оси второго порядка - L2 (прямых линий, по которым сходятся грани кристалла) и вершины (точки пересечения ребер) многогранников.
Рис.2.1. Оси симметрии, проходящие через центры граней, ребер и вершины. Порядок оси определяет минимальный угол поворота, при вращении вокруг которой все точки фигуры возвращаются в исходное положение. Набор осей симметрии гексаэдра 3L44L36L2.
Элементы симметрии II рода
|
|
|
Плоскость симметрии – плоскость, которая делит фигуру на две части, расположенные друг относительно друга как предмет и его зеркальное отражение (рис. 2.2). Обозначение по формуле симметрии – P. Цифра перед обозначением плоскости симметрии указывает, сколько у рассматриваемого кристалла плоскостей симметрии. Например, 3Р – три плоскости симметрии.
Максимальное число плоскостей, которое возможно провести в кристаллах, равно 9 (рис. 2.2). Плоскости симметрии проводят через середины граней , по ребрам и по диагоналям граней .
Рис.2.2. Плоскости симметрии гексаэдра (число плоскостей равно 9)
Центр инверсии (симметрии) – это особая как бы «зеркальная» точка внутри фигуры, совпадающая с ее центром тяжести, на равных расстояниях от которой находятся равные и параллельные друг другу грани. Если же не все попарно параллельные грани равны друг другу, то центр инверсии отсутствует. Практическим способом определения наличия центра в кристалле можно считать «способ укладывания многогранника на ровную поверхность» (к примеру, на стол), при этом напротив абсолютно каждой грани многогранника, которая оказывается совмещенной с плоскостью стола, должна быть равная и параллельная ей обратно направленная грань, а не вершина или выступающее ребро.
|
|
|
Если это условие соблюдается, то в кристалле есть центр симметрии.
Инверсионная ось симметрии - совместное действие оси вращения и одновременного отражения (инверсии) в центре симметрии. Инверсия (лат. inversio – переворачиваю) – в кристаллографии отражение геометрической фигуры в точке; в результате по другую сторону от точки отражения получается перевернутое изображение фигуры.
Обозначение по формуле симметрии – Lin, где n – порядок инверсионной оси симметрии. Цифра перед Li указывает количество инверсионных осей симметрии у данного кристалла. Например, 3Li4 означает, что у рассматриваемого кристалла три инверсионных оси симметрии четвертого порядка.
Инверсионная ось - зеркально поворотная ось, проявляющаяся в следующих простых формах: тетрагональный тетраэдр, тетрагональный скаленоэдр (Li4), ромбоэдр (Li6). Li4 в кристаллах совпадает с L2, Li6 с L3. Инверсионные оси определяются путем совмещения всех точек фигуры не при прямом наложении, а при обратном или зеркальном. Таким образом, в тетрагональном тетраэдре и скаленоэдре (рис. 2.3) через противоположные центры ребер проходит L2 (180°), но уже при повороте на (90)° наблюдается обратное или зеркальное отражение граней. Значит, в этом направлении проходит Li4. Аналогичная картина устанавливается в ромбоэдре, инверсионная ось шестого порядка (Li6) совпадает с L3, так как уже при повороте на 60° мы видим обратное расположение верхних граней.
Рис. 2.3. Инверсионные оси четвертого (Li4) и шестого (Li6) порядка в кристаллах средней категории
Зависимость между зеркальным (угол поворота 
) и инверсионным (угол поворота , = 180 - ) поворотами (Операция каждой зеркальной оси с элементарным углом поворота может быть заменена операцией инверсионной оси с элементарным углом поворота , = 180 - ). (рис. 2.4).
Рис. 2.4 Операция каждой зеркальной оси с элементарным углом поворота может быть заменена операцией инверсионной оси с элементарным углом поворота , = 180 - )
Из шести инверсионных осей пять не являются самостоятельными и их действие эквивалентно действию других элементов симметрии или их комбинаций Li = С; Li2= 1Р; Li3 = L3 + С; Li6= L3+ 1Р.Только ось Li4 является самостоятельной, она всегда совпадает с осью L2, но при этом равных граней наклонных или параллельных оси будет в два раза больше, чем их было бы при L2.
Совокупность всех имеющихся элементов симметрии (осей, плоскостей, центра) в кристалле называют формульной единицей, видом симметрии или точечной группой многогранника. ( Эти группы оставляют на месте по крайней мере одну точку тела и описывают симметрию кристаллических многогранников). Точечные группы симметрии описывают внешнюю форму – огранку кристалла.
Все элементы симметрии многогранника необходимо записывать в строчку, без знаков препинания между ними, начиная с осей высшего порядка, затем указывается количество плоскостей симметрии и в последнюю очередь наличие центра, если таковой имеется. Например, элементы симметрии тетрагональной призмы записывается следующем образом: L44L25PC. Наряду с символикой обозначения групп симметрии, предложенной Браве, в кристаллографии широко используется международная символика видов ( классов)симметрии.
Международные обозначения групп симметрии (Символы Германа-Могена) Международные символы классов симметрии – символы Германна – Могена состоят в общем случае из трех позиций, на которых регистрируются неэквивалентные особые направления, и четко указывают на ориентацию кристалла относительно выбранных координатных осей. Международные символы записывают и характеризуют все симметрически-неэквивалентные особые направления кристаллического пространства (оси симметрии, поворотные и инверсионные). Поворотные оси симметрии обозначают арабскими цифрами – 1, 2, 3, 4 и 6. Инверсионные оси обозначают арабскими цифрами с чёрточкой сверху – 1, 4, 3, 6. Ось, которая эквивалентна зеркальной плоскости симметрии, обозначается символом (от англ. mirror - зеркало) – m. Также обозначается нормаль к плоскости симметрии. Если ось симметрии совпадает с нормалью с плоскости симметрии, то их записывают в виде дроби: в числителе цифра, обозначающая порядок оси, в знаменателе - нормаль к плоскости m.
Сложение элементов симметрии и виды симметрии
Выше было показано, что в кристаллических многогранниках возможны лишь следующие элементы симметрии: L2, L4, L4, L6, Li4, Li6, Р, С. Эти элементы могут встречаться не только по одиночке, но и совместно. Однако их совокупность не может быть произвольной.
Трехмерная переодичность структуры кристаллов накладывает жесткие ограничения на возможность сочетания элементов симметрии.
Вывод всех возможных в кристаллах совокупностей комбинаций элементов симметрии основывается на теоремах о сложении элементов симметрии. Количество возможных наборов элементов симметрии в кристаллах ограничено – их всего 32, их называют видами симметрии.
Математически доказано, что два элемента симметрии влекут за собой третий равнодействующий элемент, действие которого равно сумме действий первых двух. Однако не все сочетания элементов симметрии возможны. Так ось L4 не может проходить перпендикулярно L3 или L6.
Теорема 1. Две плоскости симметрии, пересекающиеся под углом λ, дают в качестве равнодействующей поворотную ось симметрии порядка n с элементарным углом поворота α=2λ, совпадающую с линией пересечения исходных плоскостей.
Следствие 1а. Если через поворотную ось симметрии порядка n проходит плоскость симметрии, таких плоскостей будет n (столько, каков порядок исходной оси).
Следствие 1б. Если через инверсионную ось симметрии порядка n проходит плоскость симметрии, таких плоскостей будет столько, каков порядок простой оси, совпадающей с инверсионной (3 для Li3, 2 для Li4, 3 для Li6).
Теорема 2. При наличии двух пересекающихся осей симметрии всегда следует искать третью равнодействующую ось, проходящую через точку пересечения первых двух (теорема Эйлера).
Теорема 3. При наличии центра инверсии и четной оси L2n, перпендикулярно последней проходит плоскость симметрии.
Обратные теоремы:
1. При наличии центра инверсии и проходящей через него плоскости симметрии, перпендикулярно последней проходит четная ось симметрии L2n..
2. При наличии четной оси L2n и перпендикулярной ей плоскости симметрии всегда присутствует центр инверсии.
Следствие из теоремы
При наличии центра инверсии сумма четных осей равна сумме плоскостей симметрии, причем каждая четная ось перпендикулярна плоскости симметрии.
Пример
· Куб: 3L44L36L29РС
(3+6)L2n=9P
· Тетрагональная призма: L44L25РС
(4+1)L2n=5P
Теорема 4 (Следствие из теоремы Эйлера)
В присутствии оси симметрии n-го порядка и перпендикулярных к ней осей симметрии второго порядка имеем всего n осей второго порядка.
Теорема 5 (Следствие из теоремы 1)
В присутствии оси симметрии порядка n и плоскости симметрии, проходящей параллельно этой оси, имеем всего n таких плоскостей.
Зная теоремы сложения элементов симметрии, мы можем вывести все возможные для кристаллов виды (классы)симметрии. Принцип вывода прост: задаем простейшие наборы элементов симметрии (порождающие элементы), и из этих простейших наборов с помощью теорем сложения получаем полные наборы элементов симметрии. Возможны семь порождающих наборов, не выводимых друг из друга с помощью теорем сложения. Им соответствуют семь семейств видов симметрии, представленных в таблице 2.1:
Примитивные или простейшие – одна поворотная ось симметрии порядка n
Инверсионно-примитивные – одна инверсионная ось симметрии порядка n
Центральные – поворотная ось симметрии порядка n и центр инверсии
Планальные или плоскостные – поворотная ось симметрии порядка n и проходящая через нее плоскость симметрии. Количество плоскостей симметрии по теореме совпадает с порядком простой оси
Инверсионно -планальные–инверсионная ось симметрии порядка n и проходящая через нее плоскость симметрии. Количество плоскостей симметрии по теореме совпадает с порядком инверсионной оси
Аксиальные или осевые – поворотная ось симметрии порядка n и перпендикулярная ей поворотная ось симметрии второго порядка.
Планаксиальные – набор элементов симметрии аксиального семейства и центр инверсии
2.1 Таблица видов симметрии 
Контрольные вопросы
1) Что подразумевается под симметрическими преобразованиями?
2) Что такое элементы симметрии?
3) Что называется осью симметрии?
4) Что называется плоскостью симметрии?
5) Что называется центром инверсии?
6) Чем отличаются симметрические преобразования I рода от симметрических преобразований II рода?
7) По какому признаку обнаруживается наличие у многогранника центра инверсии?
8) Чем отличаются инверсионные оси симметрии от зеркально-поворотных осей симметрии?
9) Что понимается под видом (классом) симметрии?
Дата добавления: 2021-03-18; просмотров: 429; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!