Энергия тела при гармонических колебаниях

ЛЕКЦИЯ 3. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ

Колебательным называют процесс, при котором значение какой-либо физической величины периодически меняется со временем. Если это изменение значения физической величины с течением времени можно описать с помощью тригонометрических функций или , колебания называются гармоническими . Механическими колебаниями называется процесс периодического смещения частицы относительно положения равновесия.

Уравнение гармонических колебаний. Характеристики колебаний

Уравнения гармонических колебаний имеют вид:

или , где:
– смещение колеблющейся величины от положения равновесия (измеряется в метрах);
– амплитуда (максимальное смещение от положения равновесия, измеряется в метрах);

– циклическая частота (ее физический смысл - это число колебаний за время, равное секундам, измеряется в рад/сек):

;

– период колебаний (время одного полного колебания, измеряется в секундах);
– частота колебаний (измеряется в герцах, число колебаний в 1 секунду). Частота и период связаны соотношением: ;

– фаза колебаний в момент времени (измеряется в радианах). Синус или косинус фазы однозначно определяет смещение в момент времени : и ;
– начальная фаза колебаний (измеряется в радианах). Синус или косинус начальной фазы однозначно определяет смещение в момент времени =0: и .

Рис.1. Графики гармонических колебаний:

а) , б) .

Фазу можно рассматривать, например, как угол поворота радиуса на часах, на которых радиус делает один полный оборот на угол за время одного периода . Таким образом, четверти периода ( ) соответствует фаза , половине периода ( ) - , трем четвертым периода ( ) - и полному периоду соответствует фаза . Синус или косинус начальной фазы однозначно определяют смещение в начальный момент времени .

Виды колебаний.

Различным колебательным движениям присущ общий признак – наличие такого значения физической величины, которое при отсутствии (внешних) причин, вызывающих колебания, может сохраняться неопределенно долгое время. В таком случае говорят о наличии устойчивого положения равновесия.

Для колебательного процесса характерно наличие силы, возвращающей систему в положение устойчивого равновесия при попытках вывести ее из этого положения. В качестве возвращающей силы могут выступать различные силы: силы упругости (колебания пружинного маятника); сила тяжести (для колебаний маятника, качелей); силы, имеющие электромагнитную природу и т.д.
Замкнутая колебательная система, выведенная из положения равновесия и предоставленная самой себе, совершает незатухающие собственные «свободные» колебания – это идеализированные колебания, не учитывающие сил сопротивления среды и потерь на трение. Любая реальная замкнутая колебательная система совершает затухающие колебания, поскольку реально существуют силы трения.
При наличии внешней периодически действующей на замкнутую систему силы возникают колебания, называемые вынужденными , они совершаются с частотой внешней вынуждающей силы. Если существует устройство, с помощью которого система сама контролирует периодическую подпитку энергией извне, компенсирующую работу сил трения, то говорят, что система совершает автоколебания . Колебательная система, совершающая гармонические колебания, называется гармоническим осциллятором. Гармонические осцилляторы рассматриваются во многих задачах классической и квантовой физики. К гармоническим осцилляторам относятся, в частности, пружинный и математический маятники.
Пружинный маятник

Пружинный маятник представляет собой материальную точку массой , прикрепленную к абсолютно упругой невесомой пружине с жесткостью . Различают два случая: горизонтальный (рис.2,а) и вертикальный (рис.2,б) пружинные маятники.
а)Горизонтальный маятник (рис2,а). При смещении груза из положения равновесия на величину x на него действует в горизонтальном направлении возвращающая упругая сила (закон Гука). Предполагается, что горизонтальная опора, по которой скользит груз m при своих колебаниях, абсолютно гладкая (трения нет).
б) Вертикальный маятник (рис.2,б). Положение равновесия в этом случае характеризуется условием:
где - величина упругой силы, действующей на груз при статическом растяжении пружины на под действием силы тяжести груза .

Рис.2. Пружинный маятник: а) горизонтальный и б) вертикальный.

Если растянуть пружину и отпустить груз, то он начнет совершать вертикальные колебания. Если смещение в какой-то момент времени будет , то сила упругости запишется теперь как . В обоих рассмотренных случаях пружинный маятник совершает гармонические колебания с периодом и циклической частотой . На примере рассмотрения пружинного маятника можно сделать вывод о том, что гармонические колебания – это движение, вызванное силой, возрастающей пропорционально смещению . Таким образом, если возвращающая сила внешне по виду напоминает закон Гука (она получила название квазиупругой силы), то система должна совершать гармонические колебания. В момент прохождения положения равновесия на тело не действует возвращающая сила, однако, тело по инерции проскакивает положение равновесия и возвращающая сила меняет направление на противоположное.

Математический маятник

Математический маятник представляет собой идеализированную систему в виде материальной точки, подвешенной на невесомой нерастяжимой нити длиной , которая совершает малые колебания под действием силы тяжести (рис.3). Колебания такого маятника при малых углах отклонения (не превышающих 5º ) можно считать гармоническими. Циклическая частота математического маятника: , а период: .

Рис.3. Математический маятник

Энергия тела при гармонических колебаниях

Энергия, сообщенная колебательной системе при начальном толчке, будет периодически преобразовываться: потенциальная энергия деформированной пружины будет переходить в кинетическую энергию движущегося груза и обратно. Пусть пружинный маятник совершает гармонические колебания с начальной фазой , т.е. (рис.4). При максимальном отклонении груза от положения равновесия полная механическая энергия маятника (энергия деформированной пружины с жесткостью равна . При прохождении положения равновесия ( ) потенциальная энергия пружины станет равной нулю, и полная механическая энергия колебательной системы определится как .
Рис.4. Закон сохранения механической энергии при колебаниях пружинного маятника

Рис.5. Графики временной зависимости кинетической и потенциальной энергии при гармонических колебаниях.

На рис.5 представлены графики зависимостей кинетической, потенциальной и полной энергии в случаях, когда гармонические колебания описываются тригонометрическими функциями синуса (пунктирная линия) или косинуса (сплошная линия). Из графиков (рис.5) следует, что частота изменения кинетической и потенциальной энергии в два раза выше собственной частоты гармонических колебаний.

Дата добавления: 2021-03-18; просмотров: 54; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

Мы поможем в написании ваших работ!