Прямоугольный потенциальный барьер конечной ширины

ПРОСТЕЙШИЕ СЛУЧАИ ДВИЖЕНИЯ МИКРОЧАСТИЦ

Основные формулы

· Одномерное временное уравнение Шредингера

где i — мнимая единица ( ); m —масса частицы; ψ (х, t)— волновая функция, описывающая состояние частицы.

Волновая функция, описывающая одномерное движение свобод­ной частицы,

W(x,t) = Aexp (px – Et),

где А — амплитуда волны де Бройля; р — импульс частицы;  Е — энергия частицы.                                     

Одномерное уравнение Шредингера для стационарных состояний

где Е — полная энергия частицы; U (x) - потенциальная энергия;

ψ (x) —  координатная (или амплитудная) часть волновой функции

Для случая трех измерений ψ( x, y, z,) уравнение Шредингера

 или в операторной форме

, где — оператор Лапласа

При решении уравнения Шредингера следует иметь в виду стан­дартные условия которым должна удовлетворять волновая функция: конечность (во всем пространстве), однозначность, непроч­ность самой ψ - функции и ее первой производной.

· Вероятность dW обнаружить частицу в интервале от х до x + dx (в одномерном случае) выражается формулой

dW = [ψ(x)] ² dx

 где [y (x)]²— плотность вероятности.

Вероятность W обнаружить частицу в интервале от х₁ до х₂находится интегрированием dW в указанных пределах        

W= [y (x)²­ dx

· Собственное значение энергии Е _n частицы, находящейся на n-м энергетическом уровне в бесконечно глубоком одномерном прямоугольном потенициальеом ящике, определяется формулой  

(n = 1, 2, 3, …)

где l — ширина потенциального ящика.

Соответствующая этой энергии собственная волновая функция имеет вид

y _n (x) = sin

· Коэффициент преломления п воли де Бройля на границе низкого потенциального барьера бесконечной ширины * (рис. 46.1)

где l₁ и l₂— длины волн де Бройля в областях I и II (частица дви­жется из области I во II); k₁—k₂ — соответствующие значения волновых чисел.

· Коэффициенты отражения r и пропускания t волн де Бройля через низкий (U < E) потенциальный барь­ер бесконечной ширины

r =       

где k₁ и k₂ — волновые числа волн де Бройля в областях I и II.

· Коэффициент прозрачности D прямоугольного потенциаль­ного барьера конечной ширины

, где U — высота потенциального барьера; Е — энергия частицы; d—ширина барьера.

Примеры решения задач

Пример 1. Электрон находится в бесконечно глубоком одно­мерном прямоугольном потенциальном ящике шириной /. Вычис­лить вероятность того, что электрон, находящийся в возбужденном состоянии (п=2), будет обнаружен в средней трети ящика.

Решение. Вероятность W обнаружить частицу в интервале x₁<x<x₂ определяется равенством

²dx                                              (1)

где  — нормированная собственная волновая функция, отве­чающая данному состоянию.

Нормированная собственная волновая функция, описывающая состояние электрона в потенциальном ящике, имеет вид

Возбужденному состоянию (п=2) отвечает собственная функция

                                                           (2)

Подставив  в подынтегральное выражение формулы (1) и вынося постоянные величины за знак интеграла, получим

                                                           (3)

Согласно условию задачи, x₁ = ¹/₃ l и x₂ = ²/₃ (рис. 46.2). Подста­вим эти пределы интегрирования в формулу (3), произведем замену

Sin²   и разобьем интеграл на два:

Заметив, что  a получим

       W = 0,195

       Пример 2. Моноэнергетический поток электронов (E=100эВ) падает на низкий * прямоугольный потенциальный баpьеp бeсконечной ширины (рис. 46.1). Определить высо­ту потенциального барь­ера U, если известно, что 4 % падающих на барьер электронов отра­жается .

Решение. Коэф­фициент отражения р от низкого потенциального барьера выражается формулой

 

где k₁ и k₂ — волновые числа, отвечающие движению электронов в областях I и II (см. рис. 46.1).

В области I кинетическая энергия электрона равна Е и волновое число

Поскольку координата электрона не определена, то импульс электрона определяется точно и, следовательно, в данном случае можно говорить о точном значении кинетической энергии.

В области II кинетическая энергия электрона равна Е— U и

  волновое число

.

Коэффициент отражения может быть записан в виде *

Разделим числитель и знаменатель дроби на

Pешая уравнение относительно , получим

Возведя обе части равенства в квадрат, найдем высоту потенци­ального барьера:

,

Подставив сюда значения величин и произведя вычисления, найдем

U =55,6 эВ.

Пример 3. Электрон с энергией E = 4,9 эВ движется в положи­тельном направлении оси х (рис. 46.3). Высота U потенциального барьера равна 5 эв. при какой ши­рине d барьера вероятность W про­хождения электрона через него бу­дет равна 0,2?

Решение. Вероятность W про­хождения частицы через потенциаль­ный барьер по своему физическому смыслу совпадает с коэффициентом прозрачности D(W=D). Тогда веро­ятность того, что электрон пройдет через прямоугольный потенциальный барьер, выразится соотно­шением

                                           (1)

где т — масса электрона. Потенцируя это выражение, получим

Для удобства вычислений изменим знак у правой и левой части этого равенства и найдем d:

Входящие в эту формулу величины выразим в единицах СИ и произведем вычисления:

d = 4,95×10^-10 м = 0,945нм.

Учитывая, что формула (1) приближенная и вычисления носят оце­ночный характер, можно принять d » 0,5 нм.

 

Вопросы и задачи

Уравнение Шредингера

46.1. Написать уравнение Шредингера для электрона, находя­щегося в водородоподобном атоме.

46.2. Написать уравнение Шредингера для линейного гармони­ческого осциллятора. Учесть, что сила, возвращающая частицу в по­ложение равновесия, f = - b x  (где b — коэффициент пропорцио­нальности, х—смещение).

46.3. Временная часть уравнения Шредингера имеет вид

  Найти решение уравнения.

46.4. Написать уравнение Шредингера для свободного электро­на, движущегося в положительном направлении оси Х со ско­ростью v. Найти решение этого уравнения.

46.5. Почему при физической интерпретации волновой функции говорят не о самой y -функции, а о квадрате ее модуля y²?

46.6. Чем обусловлено требование конечности y-функции?

46.7. Уравнение Шредингера для стационарных состояний имеет

вид  Обосновать, исходя из этого уравнения, требования, предъявляемые к волновой функции,— ее непрерыв­ность и непрерывность первой производной от волновой функции.

46.8. Может ли [y (x)]² быть больше единицы?

46.9. Показать, что для y-функции выполняется равенство [y (x)]² = y (x) y *(x), гдеy*(х) означает функцию, комплексно сопря­женную y (х).

46.10. Доказать, что если y-функция циклически зависит от времени

 , то плотность вероятности есть функция только координаты.

 

Одномерный бесконечно глубокий потенциальный ящик

46.11. Электрон находится в бесконечно глубоком прямоуголь­ном одномерном потенциальном ящике шириной l (рис. 46.4). Напи­сать уравнение Шредингера и его решение (в тригонометрической форме) для области II (0<x<l).

46.12. Известна волновая функция, описывающая состояние электрона в потенциальном ящике шириной l: y (x) = C₁ sin kx + C₂ cos kx Используя граничные условия y(0)=0 и y (l) = 0 опре­делить коэффициент С ₂ и возможные значения волнового вектора k,

при котором существуют нетривиальные решения.

       46.13. Электрону в потенциальном ящи­ке шириной l отвечает волновое число k = p n/l (п==1, 2, 3, . . .). Используя связь энергии Е электрона с волновым числом k, получить выражение для собственных зна­чений энергии Е_п.

       46.14. Частица находится в потенциаль­ном ящике. Найти отношение разности соседних энергетических уровней DEn+1,n к энергии Е_п частицы в трех случаях: 1) п = 3;
2) n = 10; 3) п → ∞

Пояснить полученные результаты.

46.15. Электрон находится в потенциальном ящике шириной l = 0,5 им. Определить наименьшую разность DE энергетических уровней электрона. Ответ выразить в электрон-вольтах.

46.16. Собственная функция, описывающая состояние частицы в потенциальном ящике, имеет вид  Используя условия нормировки, определить постоянную С.

46.17. Решение уравнения Шредингера для бесконечно глубо­кого одномерного прямоугольного потенциального ящика можно записать в виде y(x) = C₁e^ikx + C₂e^-ikx, где . Исполь­зуя граничные условия и нормировку y-функции, определить:

1) коэффициенты C₁ и С₂; 2) собственные значения энергии E_n Найти выражение для собственной нормированной y-функции.

46.18. Изобразить на графике вид первых трех собственных функций y _n (x), описывающих состояние электрона в потенциальном ящике шириной l, а также вид [y _n (x)]². Установить соответствие между числом N узлов волновой функции (т. е. числом точек, где волновая функция обращается в нуль в интервале 0<.х< l) и кван­товым числом п. Функцию считать нормированной на единицу.

46.19. Частица в потенциальном ящике шириной l находится в возбужденном состоянии (п = 2). Определить, в каких точках ин­тервала (0 < x < l) плотность вероятности [y₂(x)]² нахождения час­тицы максимальна и минимальна.

46.20. Электрон находится в потенциальном ящике шириной l. В каких точках в интервале (0 < x < l)плотность вероятности нахож­дения электрона на первом и втором энергетических уровнях одинакова? Вычислить плотность вероятности для этих точек. Ре­шение пояснить графически.

46.21. Частица в потенциальном ящике находится в основном состоянии. Какова вероятность W нахождения частицы: 1) в сред­ней трети ящика; 2) в крайней трети ящика?

46.22. В одномерном потенциальном ящике шириной l находит­ся электрон. Вычислить вероятность W нахождения электрона на первом энергетическом уровне в интервале 1/4, равноудаленном от стенок ящика.

46.23. Частица в потенциальном ящике шириной l находится в низшем возбужденном состоянии. Определить вероятность W нахождения частицы в интервале 1/4, равноудаленном от стенок ящика.

46.24. Вычислить отношение вероятностей W₁/W₂ нахождения электрона на первом и втором энергетических уровнях в интервале 1/4, равноудаленном от стенок одномерной потенциальной ямы шириной l.

46.25. Показать, что собственные функции и ,описывающие состояние частицы в потен­циальном ящике, удовлетворяют условию ортогональности, т. е.

46.26. Электрон находится в одномерном потенциальном ящике шириной l. Определить среднее значение координаты <x> элек­трона (0<x<l).

46.27. Используя выражение энергии E_n = p ² ħ²n²/(ml²) части­цы, находящейся в потенциальном ящике, получить приближенное выражение энергии: 1) гармонического осциллятора; 2) водородоподобного атома. Сравнить полученные результаты с истинными значениями энергий.

Двух- и трехмерный потенциальный ящик

46.28. Считая, что нуклоны в ядре находятся в трехмерном потенциальном ящике кубической нормы с линейными размерами l = 10 фм, оценить низший энергетический уровень нуклонов в ядре.

46.29. Определить из условия нормировки коэффициент С собст­венной y-функции , описывающей состояние электрона в двухмерном бесконечно глубоком потенци­альном ящике со сторонами l₁ и l₂-

46.30. Электрон находится в основном состоянии в двухмерном квадратном бесконечно глубоком потенциальном ящике со сторо­ной l. Определить вероятность W нахождения электрона в области, ограниченной квадратом, который равноудален от стенок ящика и площадь которого составляет ¹/₄ площади ящика.

46.31. Определить из условия нормировки коэффициент собст­венной y-функции

, описывающей состояние электрона в трехмерном потенциальном бес­конечно глубоком ящике со сторонами l₁, l₂, l₃,

Низкий * потенциальный барьер бесконечной ширины

46.32. Написать уравнение Шредингера для электрона с энер­гией Е, движущегося в положительном направлении оси Х для об­ластей I и II (см. рис. 46.1), если на границе этих областей имеется низкий потенциальный барьер высотой U.

46.33. Написать решения уравнений Шредингера (см. предыду­щую задачу) для областей I и II. Какой смысл имеют коэффициенты A₁ и B₁ для y₁(x) и A₂ и B₂ для y_II(x)? Чему равен коэффициент В₂?

46.34. Зная решение уравнений Шредингера для областей I и II потенциального барьера

, y_II(x) = A₂e^ikx определить из условий непрерывности y-функций и их первых производных на границе барьера отношение амплитуд вероятности B₁/A₁ и A₂/A₁.

46.35. Зная отношение амплитуд вероятности  Для волны, отраженной от барьера, и  для проходящей волны, найти выражение для коэффициента отражения r и коэффициен­та прохождения t.

       46.36. Считая выражение для коэффициента отражения r от потенциального барьера и коэффициента прохождения t извест­ными, показать, что r + t = 1.

46.37. Электрон с энергией E = 25 эВ встречает на своем пути потенциальный барьер высотой U = 9эВ (см. рис. 46.1). Определить коэффициент преломления n волн де Бройля на границе барьера.

46.38. Определить коэффициент пре­ломления n волн де Бройля для прото­нов на границе потенциальной ступени (рис. 46.5). Кинетическая энергия про­тонов равна 16 эВ, а высота U потенциальной ступени равна 9 эВ.

46.39. Электрон обладает энергией E = 10 эВ. Определить, во сколько раз изменятся его скорость n, длина волны де Бройля l и фазовая скорость при прохождении через потенциальный барьер (см. рис. 46.1) высотой U = 6 эВ.

46.40. Протон с энергией E = 1 МэВ изменил при прохождении потенциального барьера дебройлевскую длину волны на 1 %. Определить высоту U потенциального барьера.

46.41. На пути электрона с дебройлевской длиной волны l₁ = 0,l нм находится потенциальный барьер высотой U = 120 эВ. Определить длину волны де Бройля l ₂ после прохождения барьера.

46.42. Электрон с энергией E = 100эВ попадает на потенциаль­ный барьер высотой U = 64 эВ. Определить вероятность W того, что электрон отразится от барьера.

46.43. Найти приближенное выражение коэффициента отраже­ния r от очень низкого потенциального барьера (U<<E).

46.44. Коэффициент отражения r протона от потенциального барьера равен 2,5 • 10^-5. Определить, какой процент составляет высота U барьера от кинетической энергии Т падающих на барьер протонов.

46.45. Вывести формулу, связывающую коэффициент преломле­ния п волн де Бройля на границе низкого потенциального барьера и коэффициент отражения r от него.

46.46. Определить показатель преломления п волн де Бройля при прохождении частицей потенциального барьера с коэффициен­том отражения r = 0,5.

46.47. При каком отношении высоты U потенциального барьера и энергии Е электрона, падающего на барьер, коэффициент отражения r = 0,5.?

46.48. Электрон с энергией Е = 10 эВ падает на потенциальный барьер. Определить высоту U барьера, при которой показатель пре­ломления п волн де Бройля и коэффициент отражения r численно совпадают.

46.49. Кинетическая энергия Т электрона в два раза превышает высоту U потенциального барьера. Определить коэффициент отражения r и коэффициент прохождения t электронов на границе барьера.

46.50. Коэффициент прохождения t электронов через низкий потенциальный барьер равен коэффициенту отражения r. Опреде­лить, во сколько раз кинетическая энергия Т электронов больше высоты U потенциального барьера.

46.51. Вывести формулу, связывающую коэффициент прохож­дения t электронов через потенциальный барьер и коэффициент преломления п волн де Бройля.

46.52. Коэффициент прохождения t протонов через потенциаль­ный барьер равен 0,8. Определить показатель преломления п волн де Бройля на границе барьера.

46.53. Электрон с кинетической энергией Т движется в положи­тельном направлении оси X. Найти выражение для коэффициента отражения r и коэффициента прохождения t на границе потенциаль­ной ступени высотой U (рис. 46.5).

46.54. Найти приближенное выражение для коэффициента про­хождения t через низкий потенциальный барьер при условии, что кинетическая энергия Т частицы в области II (см. рис. 46.1) много меньше высоты U потенциального барьера.

46.55. Вычислить коэффициент прохождения t электрона с энер­гией E = 100 эВ через потенциальный барьер высотой U = 99, 75 эВ.

46.56. Показать на частном примере низкого потенциального барьера сохранение полного числа частиц, т. е. что плотность по­тока N электронов, падающих на барьер, равна сумме плотности потока N_r электронов, отраженных от барьера, и плотности потока N _t  электронов, прошедших через барьер.

46.57. На низкий потенциальный барьер направлен моноэнерге­тический поток электронов с плотностью потока энергии J₁ = 10Вт/м². Определить плотность потока энергии J₂ а электронов, прошедших барьер, если высота его U = 0,91 эВ и энергия Е электро­нов в падающем потоке равна 1 эВ.

46.58. Моноэнергетический поток электронов падает на низкий потенциальный барьер (см. рис. 46.1). Коэффициент прохождения t = 0,9. Определить отношение J₂/J₁ плотности потока энергии вол­ны, прошедшей барьер, к плотности потока энергии волны, падаю­щей на барьер.

46.59. На низкий потенциальный барьер падает моноэнергети-ческий поток электронов. Концентрация п ₀ электронов в падающем потоке равна 10⁹ мм^-3, а их энергия E = 100 эВ. Определить давле­ние, которое испытывает барьер, если его высота U = 9,7 эВ.

Высокий * потенциальный барьер бесконечной ширины

46.60. Написать уравнение Шредингера и найти его решение для электрона, движущегося в положительном направлении оси х для областей I и II (рис. 46.6), если на границе этих областей имеет­ся потенциальный барьер высотой U.

       46.61. Для областей I и II высокого потенциального барьера (см. рис. 46.5) y-функции имеют вид  и y_II(x) = A₂e^-kx Используя непрерывность y-функций и их первых производных на границе барьера, найти отноше­ние амплитуд A₂ /A₁.

46.62. Написать выражение для y_II(x) в области II (рис. 46.6) высо­кого потенциального барьера, если y-функция нормирована так, что A₁ = 1

46.63. Амплитуда A₂ а волны в области II высокого потенциального барьера (рис. 46.6) равна 2k₁ /(k₁ +ik)  . Установить выражение для плотности вероят­ности нахождения частицы в области II (x > 0), если энергия части­цы равна Е, а высота потенциального барьера равна U.

46.64. Используя выражение для коэффициента отражения от низкой ступени

, где k₁ и k₂ — волновые числа, найти выражение коэффициента отражения от высокой ступени (T<U).

46.65. Показать, что имеет место полное отражение электронов от высокого потенциального барьера, если коэффициент отражения

может быть записан в виде

46.66. Определить плотность, вероятности |y_II (0)|² нахождения электрона в области II высокого потенциального барьера в точке х = 0, если энергия электрона равна Е, высота потенциального барь­ера равна U и y-функция нормирована так, что A₁ = l.

Прямоугольный потенциальный барьер конечной ширины

46.67. Написать уравнения Шредингера для частицы с энер­гией Е, движущейся в положительном направлении оси Х для об­ластей I, II и III (см. рис. 46.3), если на границах этих областей имеется прямоугольный потенциальный барьер высотой U и шири­ной d.

46.68. Написать решения уравнений Шредингера (см. предыду­щую задачу) для областей I, II и III , пренебрегая волнами, отра­женными от границ I — II и II — III , и найти коэффициент прозрач­ности D барьера.

46.69. Найти вероятность W прохождения электрона через пря­моугольный потенциальный барьер при разности энергий U — E = 1 эВ, если ширина барьера: 1) d = 0,1 нм; 2) d = 0,5нм.

46.70. Электрон проходит через прямоугольный потенциальный барьер шириной d = 0,5 нм. Высота U барьера больше энергии Е электрона на 1 %. Вычислить коэффициент прозрачности D, если энергия электрона: 1) E = 10 эВ; 2) E = 100 эВ.

46.71. Ширина d прямоугольного потенциального барьера равна 0,2 нм. Разность энергий U — E =1 эВ. Во сколько раз изменится вероятность W прохождения электрона через барьер, если разность энергий возрастет в п = 10 раз?

46.72. Электрон с энергией E = 9 эВ движется в положительном направлении оси X. При какой ширине d потенциального барьера коэффициент прозрачности D = 0,1, если высота U барьера равна 10 эВ? Изобразите на рисунке примерный вид волновой функции (ее действительную часть) в пределах каждой из областей I, II, III (см. рис. 46.3).

46.73. При какой ширине d прямоугольного потенциального барьера коэффициент прозрачности D для электронов равен 0,01? Разность энергий U — E = 10 эВ.

        46.74. Электрон с энергией E движется в положительном направ­лении оси X. При каком значении U—Е, выраженном в электрон-вольтах, коэффициент прозрачности D = IO^-3, если ширина d барь­ера равна 0,1 нм?

46.75. Электрон с энергией E = 9 эВ движется в положительном направлении оси X. Оценить вероятность W того, что электрон прой­дет через потенциальный барьер, если его высота U = 10эВ и ши­рина d = 0,1 нм.

46.76. Прямоугольный потенциальный барьер имеет ширину d = 0,l нм. При какой разности энергий U — Е вероятность W про­хождения электрона через барьер равна 0,99?

46.77. Ядро испускает a-частицы с энергией E = 5MeB. В гру­бом приближении можно считать, что a-частицы проходят через прямоугольный потенциальный барьер высотой U = 10МэВ и шири­ной d = 5 фм. Найти коэффициент прозрачности D барьера для a-частиц.

46.78. Протон и электрон прошли одинаковую ускоряющую раз­ность потенциалов Dj = 10 кВ. Во сколько раз отличаются коэффи­циенты прозрачности D_e для электрона и D_p для протона, если вы­сота U барьера равна 20 кэВ и ширина d==0,l пм?

*Такой барьер называют также потенциальной ступенью, если при переходе из области I в область II потенциальная энергия частицы умень­шается.

* Прямоугольный потенциальный барьер называется низким, если энер­гия Е частицы больше высоты U потенциального барьера, в противном случае барьер называется высоким.

*В случае низкого потенциального барьера k₁ и k₂ действительны, а знак модуля можно опустить

* См. сноску на с. 413. 418

* См. сноску на с. 413. 420

---

Дата добавления: 2021-03-18; просмотров: 1273; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!