Формирование умений и навыков в решении комбинаторных задач.
Урок №______ Группа__________
Тема урока: Основные понятия комбинаторики. Задачи на подсчет числа размещений, перестановок, сочетаний
Цели урока:
Образовательная:
· познакомить с понятием «комбинаторика»;
· познакомить с правилами комбинаторики;
· обеспечить в ходе урока усвоение понятия размещений, перестановок и сочетаний;
· сформировать умения решать комбинаторные задачи.
Воспитательная:
· воспитание интереса к дисциплине, честности, аккуратности, эстетического отношения к оформлению математических решений;
· воспитание умения слушать и вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении проблем.
Развивающая:
· развитие логического мышления посредством решения комбинаторных задач, сообразительности;
· развитие математической речи, внимания.
Обучающийся должен:
знать:
Ø определения трех важнейших понятий комбинаторики:
· размещения из n элементов по m;
· сочетания из n элементов по m;
· перестановки из n элементов;
Ø основные комбинаторные формулы
уметь:
· отличать задачи на «перестановки», «сочетания», «размещения» друг от друга;
· применять основные комбинаторные формулы при решении простейших комбинаторных задач.
Оборудование: проектор, дидактический материал (карточки-задания).
Методы обучения:
· словесно-информационный (рассказ),
· словесно-репродуктивный(опрос),
|
|
|
· практически-репродуктивный( выполнение заданий),
· наглядно-иллюстративный .
Структура урока
1. Организационный момент
2. Мотивация учебной деятельности
3. Сообщение темы и цели урока.
4. Объяснение нового материала.
5. Формирование умений и навыков в решении комбинаторных задач.
6. Домашнее задание
7. Подведение итогов.
Ход урока
Организационный момент
Приветствие, определение отсутствующих, проверка готовности учащихся к уроку.
Мотивация учебной деятельности
Задача из басни С. Крылова «Квартет»
Проказница Мартышка
Осёл,
Козёл,
Да косолапый Мишка
Затеяли играть квартет
…
Стой, братцы стой! –
Кричит Мартышка, - погодите!
Как музыке идти?
Ведь вы не так сидите…
И так, и этак пересаживались – опять музыка на лад не идет.
Вот пуще прежнего пошли у них разборы
И споры,
Кому и как сидеть…
- Как вы думаете сколько различных вариантов расположения музыкантов возможно? (учащиеся предлагают свои варианты)
- В конце урока вы узнаете кто дал правильный ответ.
Сообщение темы и цели урока.
Тема сегодняшнего урока «Основы комбинаторики. Размещения, перестановки, сочетания». Сегодня на уроке вам предстоит рассмотреть общие правила комбинаторики, ознакомится с основными понятиями комбинаторики (размещения, сочетания, перестановки), научиться решать простейшие комбинаторные задачи.
|
|
|
Объяснение нового материала.
Одним из важнейших понятий современной математики является понятие множества. Говорят о множестве учащихся в группе, о множестве букв в алфавите, о множестве изделий в упаковке и т.д.
Понятие множества относится к первоначальным, простейшим, понятиям и формально через другие более простые понятия не определяется. Оно воспринимается конкретно, посредством знакомства с различными примерами множества. Множество характеризуется объединением некоторых однородных объектов в одно целое. Объекты, образующие множество, называются элементами множества.
Множество будем записывать, располагая его элементы в фигурных скобка {a, b, c, … , e, f}.
Во множестве порядок элементов роли не играет, так {a, b} = {b, a}.
Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множествоми обозначается символом ø.
Если каждый элемент множества А является элементом множества В, то говорят, что множество А является подмножеством множества В
Множество {a, b} является подмножеством множества {a, b, c, … , e, f}.
|
|
|
Задача: Перечислите возможные варианты подмножества множества {3, 4, 5, 7, 9}.
При решении многих практических задач часто приходится имеющиеся предметы (элементы) соединять в разные наборы (комбинации). Например - парфюмерные наборы, конфеты, инструменты, спортивные команды. Задачи которые рассматривают такие соединения и находится число различных соединений, называют комбинаторными.
Комбинаторикой называется область математики, в которой изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из элементов, принадлежащих заданному множеству. В каждой из них требуется подсчитать число возможных вариантов осуществления некоторого действия, ответить на вопрос «сколькими способами». Комбинаторика возникла и развивалась одновременно с теорией вероятностей. И первоначально комбинаторные задачи касались в основном азартных игр.
Комбинаторика – раздел математики, который занят поисками ответов на вопросы: сколько всего есть комбинаций в том или ином случае, как из всех этих комбинаций выбрать наилучшую. Слово «комбинаторика» происходит от латинского слова «combinare», что в переводе на русский означает – «сочетать», «соединять». Термин "комбинаторика" был введён знаменитым Готфридом Вильгельмом Лейбницем, - всемирно известным немецким учёным.
|
|
|
Комбинаторика является важным разделом математики, который исследует закономерности расположения, упорядочения, выбора и распределения элементов с фиксированного множества.
При большом числе возможных последствий испытания способы прямого перебора возможных вариантов малоэффективны. На помощь приходят комбинаторные методы, в основе которых лежат два следующих правила называемых соответственно правилами умножения и сложения.
ПРАВИЛО СУММИРОВАНИЯ
Если два взаимоисключающие действия могут быть выполнены в соответствии 
и 
способами, тогда какое-то одно из этих действий можно выполнить 
способами.
Пример №1
Из города А в город В можно добраться 12 поездами, 3 самолетами, 23 автобусами. Сколькими способами можно добраться из города А в город В?
Решение. Проезд из А в В на поезде, самолете или автобусе являются событиями, которые не могут выполняться одновременно одним человеком (взаимоисключающими), поэтому общее количество маршрутов можно вычислить суммированием способов передвижения
N=12+13+23=38
Пример № 2
В ящике имеется n разноцветных шариков. Произвольным образом вынимаем один шарик. Сколькими способами это можно сделать?
Решение. Конечно, n способами.
Теперь эти n шариков распределены по двум ящикам: В первом m шариков, во втором k. Произвольно из какого-нибудь ящика вынимаем один шарик. Сколькими разными способами это можно сделать?
Решение. Из первого ящика шарик можно вытянуть m различными способами, из второго k различными способами, всего N = m + k способами.
ПРАВИЛО ПРОИЗВЕДЕНИЯ
Пусть две выполняемые одно за другим действия могут быть осуществлены в соответствии и способами. Тогда обе они могут быть выполнены 
способами.
Пример № 3
В турнире принимают участие 8 хоккейных команд. Сколько существует способов распределить первое, второе и третье места?
Решение. Первое место займет одна из 8 команд, второе - одна из 7, третье - одна из 6, так как каждая из них не может претендовать одновременно на два призовых места. Поэтому таких способов будет ровно
N=8 
7 6 =336
Пример № 4
Сколько можно записать двузначных чисел в десятичной системе счисления?
Решение. Поскольку число двузначное, то число десятков (m) может принимать одно из девяти значений: 1,2,3,4,5,6,7,8,9. Число единиц (k) может принимать те же значения и может, кроме того быть равным нулю. Отсюда следует, что m = 9, а k= 10. Всего получим двузначных чисел
N = m ·k = 9·10 =90.
Пример № 5
В студенческой группе 14 девушек и 6 юношей. Сколькими способами можно выбрать, для выполнения различных заданий, двух студентов одного пола?
Решение. По правилу умножения двух девушек можно выбрать 14 ·13 = 182 способами, а двух юношей 6·5 = 30 способами. Следует выбрать двух студентов одного пола: двух студентов или студенток. Согласно правилу сложения таких способов выбора будет N =182 + 30 = 212.
Типы соединений
Множества элементов называются соединениями.
Различают три типа соединений:
· перестановки из n элементов;
· размещения из n элементов по m;
· сочетания из n элементов по m (m < n).
Перестановки. Число перестановок
На практике часто возникают задачи, связанные с установлением порядка во множестве. Например, число мест равно количеству людей, на которых мы должны разместить их. Такая ситуация встречается часто – рассадить n человек на n мест, или приписать каждому человеку номер. Первый человек может выбрать любое из n мест, второй человек выбирает из (n - 1) оставшихся мест, третий человек может выбрать из уже (n - 2) мест, …, предпоследний человек выбирает из 2 мест, последний человек получает последнее место. Мы получаем произведение всех целых чисел от n до 1.
В общем виде произведение всех целых чисел от 1 до n включительно обозначают
n! = 1·2·3…(n – 2) · (n – 1) · n.
Установленный в конечном множестве порядок называют перестановкой его элементов.
Определение : Перестановкой из n элементов называется любое упорядоченное множество из n элементов.
Иными словами, это такое множество, для которого указано, какой элемент находится на первом месте, какой – на втором, какой- на третьем, …, какой – на n-м месте.
Перестановки можно образовывать из элементов любого конечного множества. Число перестановок из n элементов обозначают Рn. Возьмем одноэлементное множество {a}. Ясно, что один элемент можно упорядочить единственным образом, следовательно, Р1 = 1.
Перестановки– это такие соединения по n элементам из данных элементов, которые отличаются одно от другого порядком элементов.
Возьмем двух элементное множество {a, b}. В нем можно установить два порядка: {a, b} или {b, a}. Следовательно, число перестановок из двух элементов Р2 = 2.
Три буквы во множестве {a, b, c} можно расположить, по порядку шестью способами: {a, b, c}{a, c, b}{b, a, c}{b, c, a}{c, b, a}{c, a, b}.
Следовательно, общее число способов упорядочения трех элементов множества
Р3 = 3 · Р2 = 3 · 2 · 1 = 6.
Рn = n · (n - 1) · (n – 2) · … · 2 · 1 = n!
Определение: Пусть n - натуральное число. Через n! (читается "эн факториал") обозначается число, равное произведению всех натуральных чисел 1 от до n:
n! = 1 · 2 · 3 · ... · n.
В случае, если n = 0, по определению полагается: 0! = 1.
Пример № 6
Найдем значения следующих выражений:
1! = 1
2! = 1 · 2 = 2
3! = 1 · 2 · 3 = 6
Пример № 7
Чему равно а)Р5 ; б) Р3.
Решение.
Рn = n! =n · (n - 1) · (n – 2) · … · 2 · 1
Р5=5! = 5 · 4 · 3 · 2 ·1 = 120
Р3=3! = 1 · 2 · 3 = 6
Пример № 8
Упростите
а) 7! · 8 = 8!
б) 12! · 13 ·14 = 14!
в) κ! · (κ + 1) = (κ + 1)!
Пример № 9
Сколькими способами можно расставить 8 участниц финального забега на восьми беговых дорожках?
Решение.
n =8
Р8=8! = 8·7·6·5 · 4 · 3 · 2 ·1 =40320
Размещения.
Размещениями из m элементов по n элементов ( n ≤ m ) называются такие соединения, каждое из которых содержит n элементов, взятых из m данных разных элементов, и которые отличаются одно от другого либо самими элементами, либо порядком их расположения.
Определение. Размещением из n элементов по m называется любое упорядоченное множество из m элементов, состоящее из элементов n элементного множества.
Число размещений из m элементов по n обозначают 
(от французского «arrangement» - «размещение») и вычисляют по формуле:
Пример № 9
Учащиеся 11-го класса изучают 9 учебных предметов. В расписании учебных занятий на один день можно поставить 4 различных предмета. Сколько существует различных способов составления расписания на один день?
Решение.
Имеем 9-элементное множество, элементы которого учебные предметы. При составлении расписания мы будем выбирать 4-элементное подмножество (урока) и устанавливать в нем порядок. Число таких способов равно числу размещений из девяти по четыре, то есть A94:
Пример № 10
Сколькими способами из класса, где учатся 24 ученика, можно выбрать старосту и помощника старосты?
Решение.
Имеем 24-элементное множество, элементы которого ученики класса. При выборах старосты и помощника старосты мы будем выбирать 2-элементное подмножество (ученика) и устанавливать в нем порядок. Число таких способов равно числу размещений из девяти по четыре(m=24, n= 2), то есть A242:
Сочетания.
Сочетаниями из m элементов по n элементов ( n ≤ m ) называются такие соединения, каждое из которых содержит n элементов, взятых из m данных элементов, и которые отличаются друг от друга по крайней мере одним элементом.
Определение. Сочетанием без повторений из n элементов по m -называется любое m элементное подмножество n -элементного множества
Число сочетаний из n элементов по m обозначают 
(от французского «combination» - «сочетание») и вычисляют по формуле:
Пример № 11
Сколькими способами из класса, где учатся 24 ученика, можно выбрать два дежурных ?
Решение.
n =24, m=2
Формирование умений и навыков в решении комбинаторных задач.
При решении комбинаторных задач и выборе типа соединений важно ответить на следующие вопросы:
ü Учитывается ли порядок следования элементов в соединении?
ü Все ли элементы входят в соединение?
| Учитывается ли порядок следования элементов в соединении?
| ||||
| Все ли элементы входят в соединение?
| СОЧЕТАНИЯ
| |||
| ПЕРЕСТАНОВКИ Рn = n! =n · (n - 1) · (n – 2) · … · 2 · 1 | РАЗМЕЩЕНИЯ
| |||
Определить к какому типу относится соединений относится задача.
1. Сколькими способами можно составить расписание одного учебного дня из 5 различных уроков?
ü Учитывается ли порядок следования элементов в соединении? ( да)
ü Все ли элементы входят в соединение? (да)
Вывод: перестановка
2. В 9«Б» классе 12 учащихся. Сколькими способами можно сформировать команду из 4 человек для участия в математической олимпиаде?
ü Учитывается ли порядок следования элементов в соединении? (нет)
ü Все ли элементы входят в соединение? (на этот вопрос ответ не нужен)
Вывод: сочетания
3. Сколько существует различных двузначных чисел, в записи которых можно использовать цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, если цифры в числе должны быть различными?
ü Учитывается ли порядок следования элементов в соединении? ( да)
ü Все ли элементы входят в соединение? (нет)
Вывод: размещение
Решить задачи:
1. У нас имеется 5 книг. Известно, что у нас всего одна полка, и на ней вмещается лишь 3 книги. Сколькими способами можно расставить на полке 3 книги?
Решение.
ü Учитывается ли порядок следования элементов в соединении? ( да)
ü Все ли элементы входят в соединение? (нет)
Вывод: размещение
n =5, m=3
2. Сколькими способами можно расставить 3 тома на книжной полке, если выбирать их из имеющихся в наличии внешне неразличимых 5 книг?
Решение.
ü Учитывается ли порядок следования элементов в соединении? (нет)
ü Все ли элементы входят в соединение? (на этот вопрос ответ не нужен)
Вывод: сочетания
n =5, m=3
3. Сколькими способами могут занять I, II, III места 8 участниц финального забега на дистанции 100 м?
Решение.
ü Учитывается ли порядок следования элементов в соединении? (да)
ü Все ли элементы входят в соединение? (нет)
Вывод: сочетания
n =8, m=3
4. Вернемся к решению задачи о музыкальном квартете
Проказница Мартышка
Осёл,
Козёл,
Да косолапый Мишка
Затеяли играть квартет
…
Стой, братцы стой! –
Кричит Мартышка, - погодите!
Как музыке идти?
Ведь вы не так сидите…
И так, и этак пересаживались – опять музыка на лад не идет.
Вот пуще прежнего пошли у них разборы
И споры,
Кому и как сидеть…
Сколько различных вариантов расположения музыкантов возможно?
Решение.
ü Учитывается ли порядок следования элементов в соединении? ( да)
ü Все ли элементы входят в соединение? (да)
Вывод: перестановка
Рn = n! =n · (n - 1) · (n – 2) · … · 2 · 1
n =4
Р4 = 4! = 4 · 3 · 2 ·1=24
Работа в группе
В результате решения заданий учащиеся ответят на вопрос: кто является автором высказывания «Рано или поздно всякая правильная математическая идея находит применение в том или ином деле»? (русский математик, физик, механик, кораблестроитель Алексей Николаевич Крылов).
Задания для групп
Первая группа
| № задания | Задания | Ответ | Буква |
| 1. | 
| ||
| 2. | Сколькими способами могут занять I, II, III места 8 участниц финального забега на дистанции 100 м? | ||
| 3. | Сколькими различными способами для участия в конференции из 9 членов научного общества можно выбрать трех студентов? | ||
| 4. | Сколькими способами могут встать в очередь в билетную кассу 5 человек? | ||
| 5. | 
| ||
| 6. | Сколькими способами из 15 учеников класса можно выбрать трёх для участия в праздничном концерте? |
Вторая группа
| № задания | Задания | Ответ | Буква |
| 7. | 
| ||
| 8. | 
| ||
| 9. | 
| ||
| 10. | Сколькими способами можно установить дежурство по одному человек в день среди семи учащихся класса в течении семи дней? | ||
| 11. |  -2168
| ||
| 12. | В теннисном турнире участвуют 10 спортсменов. Сколькими способами теннисисты могут завоевать золото, серебро и бронзу? |
Третья группа
| № задания | Задания | Ответ | Буква |
| 13. |  - 3
| ||
| 14. | Сколькими различными способами для участия в конференции из 9 членов научного общества можно выбрать четырех студентов? | ||
| 15. | 
| ||
| 16. | 
| ||
| 17. | 
| ||
| 18. | Сколькими способами можно рассадить четверых детей на четырех стульях в столовой? |
Четвертая группа
| № задания | Задания | Ответ | Буква |
| 19. | 
| ||
| 20. | 
| ||
| 21. | Из 30 обучающихся группы надо выбрать старосту и помощника старосты. Сколькими способами это можно сделать | ||
| 22. | 
| ||
| 23. |  (подсказка 0!=1)
|
Таблица кодов
Результаты вычислений
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| А | Л | Е | К | С | Е | Й |
| 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 |
| Н | И | К | О | Л | А | Е | В | И | Ч |
| 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 |
| К | Р | Ы | Л | О | В |
Ответы к заданиям
Задания для первой группы:
| № задания | Задания | Буква | Ответы |
| 1. | = 
| А | 12 |
| 2. | Сколькими способами могут занять I, II, III места 8 участниц финального забега на дистанции 100 м? | Л | Размещение |
| 3. | Сколькими различными способами для участия в конференции из 9 членов научного общества можно выбрать трех студентов? | Е | Сочетания |
| 4. | Сколькими способами могут встать в очередь в билетную кассу 5 человек? | К | Перестановки |
| 5. | = 
| С | 21 |
| 6. | Сколькими способами из 15 учеников класса можно выбрать трёх для участия в праздничном концерте? | Е | Сочетания |
Задания для второй группы:
| № задания | Задания | Буква | Ответы |
| 7. |  = 
| Й | 
|
| 8. | 
| Н | 120 |
| 9. | = 
| И | 56 |
| 10. | Сколькими способами можно установить дежурство по одному человек в день среди семи учащихся класса в течении семи дней? | К | Перестановки |
| 11. | -2168= 
| О | 132 |
| 12. | В теннисном турнире участвуют 10 спортсменов. Сколькими способами теннисисты могут завоевать золото, серебро и бронзу? | Л | Размещение |
Задания для третьей группы:
| № задания | Задания | Буква | Ответы |
| 13. | – 3=  -3=5  -3=12
| А | 12 |
| 14. | Сколькими различными способами для участия в конференции из 9 членов научного общества можно выбрать четырех студентов? | Е | Сочетания |
| 15. | 
| В | 720 |
| 16. | 
| И | 56 |
| 17. | = 
| Ч | 6720 |
| 18. | Сколькими способами можно рассадить четверых детей на четырех стульях в столовой? | К | Перестановки |
Задания для четвертой группы:
| № задания | Задания | Буква | Ответы |
| 19. | 
| Р | 5040 |
| 20. | 
| Ы | 9 |
| 21. | Из 30 обучающихся группы надо выбрать старосту и помощника старосты. Сколькими способами это можно сделать | Л | Размещение |
| 22. | = 
| О | 132 |
| 23. | = 
(подсказка 0!=1)
| В | 720 |
Домашнее задание
Выучить конспект и формулы.
ОИ 8,Часть II п.1,2,3 К152,153,154,155 СР №267. Подведение итогов урока
· Какие типы соединений вы знаете?
· В чем отличие перестановок и размещений?
· В чем отличие размещений и сочетаний?
Дата добавления: 2021-02-10; просмотров: 1583; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!