Теоретические основы аналитического метода
Теоретические основы решения линейных уравнений с параметрами
1.1. Линейные уравнения. Основные понятия.
1.2. Понятие уравнения с параметрами
1.3. Понятие линейного уравнения с параметрами и одной переменной
1.4. Методы решения линейных уравнений с одной переменной, содержащих параметр
1.4.1.Теоретические основы аналитического метода
1.4.2. Теоретические основы графического метода
Линейные уравнения. Основные понятия.
Уравнения - это равенства, которые содержат неизвестные числа, обозначенные буквами. Неизвестные числа в уравнении называются переменными.
Например: 3x + 28 = 2x – 4.
Корнем уравнения с одним неизвестным называется число, при подстановке которого в уравнение получается верное числовое равенство.
Решить уравнение - это значит найти все его корни или доказать, что уравнение корней не имеет.
При решении уравнений иногда используются различные способы приведения их к более простому и понятному виду, в результате чего возможна потеря или приобретение лишних корней данного уравнения. Вследствие чего уравнение необходимо приводить к равносильному виду.
Два уравнения называются равносильными, если совпадают множества их корней или оба уравнения корней не имеют.
Если же в процессе преобразования появились новые корни или были утеряны существующие, то данные уравнения не будут являться равносильными.
|
|
|
Уравнение g(x) = 0 называется следствием уравнения f(x) = 0, если каждое решение второго уравнения является решением первого уравнения.
Уравнение вида ax = b, где a и b - данные числа, называется линейным уравнением с переменной x. Числа а и b - коэффициенты данного уравнения. а - коэффициент данного уравнения, b - свободный член.
Например: 20x + 5 = 0
Если a 
0, то уравнение ax = b называется уравнением первой степени с одной переменной. Его корень: x = b/a.
Каждое уравнение первой степени с одной переменной имеет 1 корень.
Линейное уравнение может не иметь корней или иметь один или множество корней.
Понятие уравнения с параметрами
В классическом определении параметр – это некоторое фиксированное, но неизвестное число [1].
Впервые с параметрами в школьном курсе учащиеся встречаются при изучении линейных уравнений и неравенств [2].
Если в уравнении кроме неизвестных входят числа, обозначенные буквами, то они называются параметрами, а уравнение параметрическим [3].
Решить уравнение с параметром – это значит установить соответствие, с помощью которого для каждого значения параметра указывается множество корней соответствующего уравнения.
1.3. Линейные уравнения с параметрами и одной переменной
|
|
|
Определение: Линейным уравнением с параметрами называется уравнение 
, в котором коэффициенты 
и 
неопределены (т.е. вместо и можно подставить любые числа).
При решении уравнений с параметрами рассматривают все возможные случаи (в зависимости от параметров и ).
В практике решения задач с параметрами, применительно к линейным уравнениям с одной переменной, уравнения с параметрами преимущественно встречаются двух видов [5]:
- с одной переменной и одним параметром;
- с одной переменной и двумя параметрами.
К первому виду относятся уравнения, где значение одного из параметров (a или b) изначально задано условием или в уравнение входит только один параметр.
Примером могут служить уравнения вида: a.x=0; a.x=10; 25.x=b; a.x=а и т.д.
Ко второму виду относятся уравнения, в которых значения параметров (a или b) изначально не определены, а обозначены буквами.
Примером могут служить уравнения вида: a.x=6b; (a-+2).x=b и т.д.
Все задачи с параметрами можно условно разбить на два вида [6].
К первому виду относятся задачи, в которых требуется решить уравнение при всех значениях параметра.
Ко второму виду – задачи, в которых нужно из всех значений параметра выделить те, при которых уравнение будет обладать некоторыми задаваемыми свойствами, например, будет выполняться при любом значении переменной, или вообще не будет иметь решений, или будет иметь только одно положительное или отрицательное решение и т. д.
|
|
|
1.4. Методы решения линейных уравнений с одной переменной, содержащих параметр
В этом пункте работы мы рассмотрим два основных метода решения уравнений с параметром: аналитический и графический.
Теоретические основы аналитического метода
Аналитический способ решения линейных уравнений с параметрами:
1) Если 
, то уравнение имеет единственный корень 
2) Если 
то имеем 0x+b=0, следовательно, уравнение не имеет корней.
3) Если 
то уравнение превращается в правильное равенство при любом х, то есть уравнение имеет бесконечно много корней.
Таким образом, мы получили следующую схему (Рис. 1) для решения линейных уравнений с параметром.
Рисунок 1. Блок-схема для решения линейных уравнений с параметрами аналитическим методом
По данной блок-схеме можно составить алгоритм решения линейного уравнения с параметрами.
Общий алгоритм решения линейного уравнения с параметром:
1. Упростить уравнение так, чтобы оно приняло вид ах=в.
|
|
|
2. Исследовать коэффициент уравнения (если он содержит параметр) на равенство нулю (а = 0, а ≠ 0).
3. Исследовать корни уравнения при каждом фиксированном значении параметра (уравнение имеет единственный корень, бесконечное множество корней, не имеет корней).
4. Записать ответ с учетом фиксированных значений параметра.
На практике удобно для решения линейных уравнений с одним неизвестным и одним параметром использовать таблицу 1[8].
Приведенная таблица является опорной при решении параметрических задач данного типа.
Таблица 1. Опорная таблица для решения линейных уравнений с параметром и одним неизвестным.
| Уравнение | Решение | Примеры
 Мы поможем в написании ваших работ! | |||