ВАРИАНТЫ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ ПО ТЕМЕ «ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ МАТРИЧНОЙ ИГРЫ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ

УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЛЕСОТЕХНИЧЕСКИЙ

УНИВЕРСИТЕТ имени Г.Ф. МОРОЗОВА»

Кафедра математики

Теория игр

Методические указания к выполнению расчетно-графических работ

для студентов по направлению подготовки

38.03.01 – Экономика

Воронеж 2018

УДК 512.8

Раецкая, Е. В. Теория игр [Электронный ресурс] : методические указания к выполнению расчетно-графических работ для студентов по направлению подготовки 38.03.01 – Экономика / Е. В. Раецкая, С.С. Веневитина, И.В. Сапронов ; М-во образования и науки РФ, ФГБОУ ВО «ВГЛТУ». – Воронеж, 2018.

Одобрено решением учебно-методического совета

ФГБОУ ВО «ВГЛТУ» (протокол № 6 от 23.03.2018 г.)

Рецензент: д-р физ.-мат. наук, проф. кафедры

математического анализа ВГУ С.П. Зубова

Содержание

Введение……………………………………………………………………………..4

Графический метод решения матричной игры в смешанных

стратегиях …………………………………………………………………….…….5

2.1 Варианты индивидуальных заданий по теме «Графический метод решения матричной игры в смешанных стратегиях»………..……………...14

Библиографический список…………………………………………………….17

ВВЕДЕНИЕ

Целью изучения дисциплины «Теория игр» является воспитание достаточно высокой математической культуры, привитие навыков современных видов математического мышления, ознакомление с математическими моделями конфликтных ситуаций и методами их анализа; применению методов оптимизации, которые могут использоваться при анализе и решении широкого спектра экономических задач.

Для достижения поставленной цели решаются следующие задачи:

- закрепление теоретического материала и выработка умения решать примеры и задачи для последующего применения математических методов в различных приложениях;

- демонстрация на основе математических понятий и методов сущности научного подхода, специфики математики и ее роли как способа познания мира, общности ее понятий и представлений в решении возникающих проблем.

Для эффективного освоения дисциплины «Теория игр» у обучающегося должны быть сформированы:

- представления о необходимости доказательств, при обосновании математических утверждений и роли аксиоматики в проведении дедуктивных рассуждений;

- понятийный аппарат по основным разделам курса математики; знаний основных теорем, формул и умения их применять; умения доказывать теоремы и находить нестандартные способы решения задач;

- умение моделировать реальные ситуации, исследовать построенные модели, интерпретировать полученный результат.

Студент по результатам освоения дисциплины «Теория игр» должен обладать способностью выбрать инструментальные средства для обработки данных в соответствии с поставленной задачей, проанализировать результаты расчетов и обосновать полученные выводы.

В результате освоения дисциплины студент должен уметь выбирать рациональные варианты действий в практических задачах принятия решений с использованием экономико-математических моделей и с доведением решения до практического приемлемого результата (формулы, числа, графика, качественного вывода и т.п.), уметь при решении задач выбирать необходимые вычислительные методы и средства (ПЭВМ, таблицы и справочники).

ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ МАТРИЧНОЙ ИГРЫ В СМЕШАННЫХ СТРАТЕГИЯХ

Рассмотрим игру размера 2 n с платежной матрицей

и проведем через точку (1; 0) координатной плоскости Оху прямую l , перпендикулярную оси абсцисс. После этого для каждой из стратегий ( i = 1, 2, … , n ) проведем прямую ,

соединяющую точку ( 0 ; ) на оси Оу с точкой ( 1 ; ) на прямой l . Ось Оу отвечает за стратегию , а прямая l за стратегию .

Рис. 1.1

Если игрок А применяет смешанную стратегию = , то его выигрыш в случае, если противник применяет чистую стратегию , равен

и этому выигрышу соответствует точка М на прямой c абсциссой ( рис. 2.2 ).

Ломаная , отмеченная на чертеже ( рис. 1.2 ) жирной линией, позволяет определить минимальный выигрыш игрока А при любом поведении игрока В. Точка N , в которой эта ломанная достигает максимума, определяет решение и цену игры. Ордината точки N равна цене игры , а ее абсцисса – вероятности применения стратегии в оптимальной смешанной стратегии игрока А .

Рис. 1.2

Далее, непосредственно по чертежу, находим пару активных стратегий игрока В , пересекающихся в точке N (если в точке N пересекается более двух стратегий, то выбираем любые две из них). Пусть это будут стратегии и . Поскольку выигрыш игрока А , если он придерживается оптимальной стратегии, не зависит от того, с какими вероятностями игрок В применяет эти стратегии, то неизвестные , и определяются из системы уравнений

Вероятности и в оптимальной стратегии

игрока В определяются из соотношения

З а м е ч а н и е. Иногда точка не является пересечением двух стратегий, а попадает на одну из прямых х = 0 или х = 1. В этом случае решением игры будут соответствующие чистые стратегии.

Для игры размера m 2 решение находится аналогично. Действительно, поскольку выигрыш игрока А одновременно является проигрышем игрока В , то для решения задачи нужно построить ломаную, соответствующую верхней границе выигрыша игрока А , а затем найти на ней точку с минимальной ординатой.

Пример. Решить графическим методом игру с платежной матрицей Р=

Решение. Найдем – верхнюю и – нижнюю цены игры:

и .

В данном случае , то есть в игре отсутствует седловая точка и применение чистых стратегий не дает оптимального решения игры.

Платежная матрица содержит отрицательные числа, поэтому графического решения задачи перейдем к новой матрице с неотрицательными элементами; для этого к элементам исходной матрицы достаточно добавить соответствующее положительное число.

К каждому элементу исходной платежной матрицы прибавим, например, число 2 и получим новую платежную матрицу .

На оси абсцисс откладываем единичный отрезок . Точка соответствует стратегии первого игрока, точка соответствует стратегии второго игрока. В точках и проведем оси I и II. На перпендикулярных осях I и II откладываем выигрыши при стратегиях и , соответственно.

Пусть первый игрок придерживается стратегии . Если 2-й игрок примет стратегию , то она дает выигрыш . Отложим по оси I отрезок длины вверх от точки и обозначим полученную точку с координатами через .

Пусть первый игрок придерживается стратегии . Если 2-й игрок примет стратегию , то она дает выигрыш . Отложим по оси II отрезок длины вверх от точки и обозначим полученную точку с координатами через . Через точки и проведем прямую (рис. 1.3).Уравнение прямой имеет вид: или .

Рис. 1.3

Далее строим прямую, соответствующую применению вторым игроком стратегии .

Пусть первый игрок придерживается стратегии . Если 2-й игрок примет стратегию , то она дает выигрыш . Отложим по оси II отрезок длины вверх от точки и обозначим полученную точку с координатами через . Через точки и проведем прямую . Уравнение прямой имеет вид: или (рис. 1.4).

Рис. 1.4

Оптимальную стратегию определяет точка с координатами в которой минимальный выигрыш достигает максимума. Координаты точки (как точки пересечения прямых и ) находятся как решение системы: (рис. 1.5).

Рис. 1.5

То есть: или , откуда: .

Определяем геометрически оптимальную стратегию второго игрока:

- меняем местами первого и второго игроков;

- вместо максимума нижней границы , рассматриваем минимум верхней границы.

На оси абсцисс откладываем единичный отрезок . В точках и проведем оси I и II. На перпендикулярных осях I и II откладываем выигрыши при стратегиях и .

Пусть второй игрок придерживается стратегии . Если 1-й игрок примет стратегию , то она дает выигрыш . Отложим по оси I отрезок длины вверх от точки и обозначим полученную точку с координатами через .

Пусть второй игрок придерживается стратегии . Если 1-й игрок примет стратегию , то она дает выигрыш . Отложим по оси II отрезок длины вверх от точки и обозначим полученную точку с координатами через . Через точки и проведем прямую .

Уравнение прямой имеет вид: или .

Аналогично строим прямую соответствующую применению первым игроком стратегии .

Уравнение прямой : (рис. 1.6).

Рис. 1.6

Оптимальную стратегию определяет точка с координатами . Координаты точки находятся из системы

То есть: или ,

откуда: .

Ответ: , , .

ВАРИАНТЫ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ ПО ТЕМЕ «ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ МАТРИЧНОЙ ИГРЫ

В СМЕШАННЫХ СТРАТЕГИЯХ»

Задание. Решить графическим методом игру с платежной матрицей Р

ВАРИАНТ № 1 ВАРИАНТ № 2	ВАРИАНТ № 3 ВАРИАНТ № 4

ВАРИАНТ № 5	ВАРИАНТ № 12
ВАРИАНТ № 6	ВАРИАНТ № 13
ВАРИАНТ № 7	ВАРИАНТ № 14
ВАРИАНТ № 8	ВАРИАНТ № 15
ВАРИАНТ № 9	ВАРИАНТ № 16
ВАРИАНТ № 10	ВАРИАНТ № 17
ВАРИАНТ № 11	ВАРИАНТ № 18
ВАРИАНТ № 19	ВАРИАНТ № 24
ВАРИАНТ № 20	ВАРИАНТ № 25
ВАРИАНТ № 21	ВАРИАНТ № 26
ВАРИАНТ № 22	ВАРИАНТ № 27
ВАРИАНТ № 23	ВАРИАНТ № 28
ВАРИАНТ № 29	ВАРИАНТ № 30

Библиографический список

Основная литература:

1. Конюховский, В.П. Теория игр: учебник для бакалавров / П.В. Конюховский, А.С. Малова. - М.: Издательство Юрайт, 2013. - 252 с. - Серия: Бакалавр. Базовый курс. – ЭБС «Юрайт ».

Дополнительная литература:

1.Сапронов И. В. Теория игр [Текст] : учеб. пособие : для студентов по направлению подгот. 080100 – Экономика / И. В. Сапронов, Е. О. Уточкина. Е. В. Раецкая; ВГЛТА. - Воронеж, 2013. - 204 с. - Электронная версия в ЭБС ВГЛТУ.

Дата добавления: 2021-02-10; просмотров: 90; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

Мы поможем в написании ваших работ!