ВАРИАНТЫ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ ПО ТЕМЕ «ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ МАТРИЧНОЙ ИГРЫ
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЛЕСОТЕХНИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ имени Г.Ф. МОРОЗОВА»
Кафедра математики
Теория игр
Методические указания к выполнению расчетно-графических работ
для студентов по направлению подготовки
38.03.01 – Экономика
Воронеж 2018
УДК 512.8
Раецкая, Е. В. Теория игр [Электронный ресурс] : методические указания к выполнению расчетно-графических работ для студентов по направлению подготовки 38.03.01 – Экономика / Е. В. Раецкая, С.С. Веневитина, И.В. Сапронов ; М-во образования и науки РФ, ФГБОУ ВО «ВГЛТУ». – Воронеж, 2018.
Одобрено решением учебно-методического совета
ФГБОУ ВО «ВГЛТУ» (протокол № 6 от 23.03.2018 г.)
Рецензент: д-р физ.-мат. наук, проф. кафедры
математического анализа ВГУ С.П. Зубова
Содержание
Введение……………………………………………………………………………..4
Графический метод решения матричной игры в смешанных
стратегиях …………………………………………………………………….…….5
|
|
2.1 Варианты индивидуальных заданий по теме «Графический метод решения матричной игры в смешанных стратегиях»………..……………...14
Библиографический список…………………………………………………….17
ВВЕДЕНИЕ
Целью изучения дисциплины «Теория игр» является воспитание достаточно высокой математической культуры, привитие навыков современных видов математического мышления, ознакомление с математическими моделями конфликтных ситуаций и методами их анализа; применению методов оптимизации, которые могут использоваться при анализе и решении широкого спектра экономических задач.
Для достижения поставленной цели решаются следующие задачи:
- закрепление теоретического материала и выработка умения решать примеры и задачи для последующего применения математических методов в различных приложениях;
- демонстрация на основе математических понятий и методов сущности научного подхода, специфики математики и ее роли как способа познания мира, общности ее понятий и представлений в решении возникающих проблем.
Для эффективного освоения дисциплины «Теория игр» у обучающегося должны быть сформированы:
- представления о необходимости доказательств, при обосновании математических утверждений и роли аксиоматики в проведении дедуктивных рассуждений;
|
|
- понятийный аппарат по основным разделам курса математики; знаний основных теорем, формул и умения их применять; умения доказывать теоремы и находить нестандартные способы решения задач;
- умение моделировать реальные ситуации, исследовать построенные модели, интерпретировать полученный результат.
Студент по результатам освоения дисциплины «Теория игр» должен обладать способностью выбрать инструментальные средства для обработки данных в соответствии с поставленной задачей, проанализировать результаты расчетов и обосновать полученные выводы.
В результате освоения дисциплины студент должен уметь выбирать рациональные варианты действий в практических задачах принятия решений с использованием экономико-математических моделей и с доведением решения до практического приемлемого результата (формулы, числа, графика, качественного вывода и т.п.), уметь при решении задач выбирать необходимые вычислительные методы и средства (ПЭВМ, таблицы и справочники).
ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ МАТРИЧНОЙ ИГРЫ В СМЕШАННЫХ СТРАТЕГИЯХ
Рассмотрим игру размера 2 n с платежной матрицей
|
|
и проведем через точку (1; 0) координатной плоскости Оху прямую l , перпендикулярную оси абсцисс. После этого для каждой из стратегий ( i = 1, 2, … , n ) проведем прямую ,
соединяющую точку ( 0 ; ) на оси Оу с точкой ( 1 ; ) на прямой l . Ось Оу отвечает за стратегию , а прямая l за стратегию .
Рис. 1.1
Если игрок А применяет смешанную стратегию = , то его выигрыш в случае, если противник применяет чистую стратегию , равен
,
и этому выигрышу соответствует точка М на прямой c абсциссой ( рис. 2.2 ).
Ломаная , отмеченная на чертеже ( рис. 1.2 ) жирной линией, позволяет определить минимальный выигрыш игрока А при любом поведении игрока В. Точка N , в которой эта ломанная достигает максимума, определяет решение и цену игры. Ордината точки N равна цене игры , а ее абсцисса – вероятности применения стратегии в оптимальной смешанной стратегии игрока А .
Рис. 1.2
Далее, непосредственно по чертежу, находим пару активных стратегий игрока В , пересекающихся в точке N (если в точке N пересекается более двух стратегий, то выбираем любые две из них). Пусть это будут стратегии и . Поскольку выигрыш игрока А , если он придерживается оптимальной стратегии, не зависит от того, с какими вероятностями игрок В применяет эти стратегии, то неизвестные , и определяются из системы уравнений
|
|
Вероятности и в оптимальной стратегии
игрока В определяются из соотношения
З а м е ч а н и е. Иногда точка не является пересечением двух стратегий, а попадает на одну из прямых х = 0 или х = 1. В этом случае решением игры будут соответствующие чистые стратегии.
Для игры размера m 2 решение находится аналогично. Действительно, поскольку выигрыш игрока А одновременно является проигрышем игрока В , то для решения задачи нужно построить ломаную, соответствующую верхней границе выигрыша игрока А , а затем найти на ней точку с минимальной ординатой.
Пример. Решить графическим методом игру с платежной матрицей Р=
Решение. Найдем – верхнюю и – нижнюю цены игры:
и .
В данном случае , то есть в игре отсутствует седловая точка и применение чистых стратегий не дает оптимального решения игры.
Платежная матрица содержит отрицательные числа, поэтому графического решения задачи перейдем к новой матрице с неотрицательными элементами; для этого к элементам исходной матрицы достаточно добавить соответствующее положительное число.
К каждому элементу исходной платежной матрицы прибавим, например, число 2 и получим новую платежную матрицу .
На оси абсцисс откладываем единичный отрезок . Точка соответствует стратегии первого игрока, точка соответствует стратегии второго игрока. В точках и проведем оси I и II. На перпендикулярных осях I и II откладываем выигрыши при стратегиях и , соответственно.
Пусть первый игрок придерживается стратегии . Если 2-й игрок примет стратегию , то она дает выигрыш . Отложим по оси I отрезок длины вверх от точки и обозначим полученную точку с координатами через .
Пусть первый игрок придерживается стратегии . Если 2-й игрок примет стратегию , то она дает выигрыш . Отложим по оси II отрезок длины вверх от точки и обозначим полученную точку с координатами через . Через точки и проведем прямую (рис. 1.3).Уравнение прямой имеет вид: или .
Рис. 1.3
Далее строим прямую, соответствующую применению вторым игроком стратегии .
Пусть первый игрок придерживается стратегии . Если 2-й игрок примет стратегию , то она дает выигрыш . Отложим по оси I отрезок длины вверх от точки и обозначим полученную точку с координатами через (рис. 1.4).
Пусть первый игрок придерживается стратегии . Если 2-й игрок примет стратегию , то она дает выигрыш . Отложим по оси II отрезок длины вверх от точки и обозначим полученную точку с координатами через . Через точки и проведем прямую . Уравнение прямой имеет вид: или (рис. 1.4).
Рис. 1.4
Оптимальную стратегию определяет точка с координатами в которой минимальный выигрыш достигает максимума. Координаты точки (как точки пересечения прямых и ) находятся как решение системы: (рис. 1.5).
Рис. 1.5
То есть: или , откуда: .
Определяем геометрически оптимальную стратегию второго игрока:
- меняем местами первого и второго игроков;
- вместо максимума нижней границы , рассматриваем минимум верхней границы.
На оси абсцисс откладываем единичный отрезок . В точках и проведем оси I и II. На перпендикулярных осях I и II откладываем выигрыши при стратегиях и .
Пусть второй игрок придерживается стратегии . Если 1-й игрок примет стратегию , то она дает выигрыш . Отложим по оси I отрезок длины вверх от точки и обозначим полученную точку с координатами через .
Пусть второй игрок придерживается стратегии . Если 1-й игрок примет стратегию , то она дает выигрыш . Отложим по оси II отрезок длины вверх от точки и обозначим полученную точку с координатами через . Через точки и проведем прямую .
Уравнение прямой имеет вид: или .
Аналогично строим прямую соответствующую применению первым игроком стратегии .
Пусть второй игрок придерживается стратегии . Если 1-й игрок примет стратегию , то она дает выигрыш . Отложим по оси I отрезок длины вверх от точки и обозначим полученную точку с координатами через .
Пусть второй игрок придерживается стратегии . Если 1-й игрок примет стратегию , то она дает выигрыш . Отложим по оси II отрезок длины вверх от точки и обозначим полученную точку с координатами через . Через точки и проведем прямую (рис. 4).
Уравнение прямой : (рис. 1.6).
Рис. 1.6
Оптимальную стратегию определяет точка с координатами . Координаты точки находятся из системы
То есть: или ,
откуда: .
Ответ: , , .
ВАРИАНТЫ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ ПО ТЕМЕ «ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ МАТРИЧНОЙ ИГРЫ
В СМЕШАННЫХ СТРАТЕГИЯХ»
Задание. Решить графическим методом игру с платежной матрицей Р
ВАРИАНТ № 1 ВАРИАНТ № 2 | ВАРИАНТ № 3 ВАРИАНТ № 4 |
ВАРИАНТ № 5 | ВАРИАНТ № 12 |
ВАРИАНТ № 6 | ВАРИАНТ № 13 |
ВАРИАНТ № 7 | ВАРИАНТ № 14 |
ВАРИАНТ № 8 | ВАРИАНТ № 15 |
ВАРИАНТ № 9 | ВАРИАНТ № 16 |
ВАРИАНТ № 10 | ВАРИАНТ № 17 |
ВАРИАНТ № 11 | ВАРИАНТ № 18 |
ВАРИАНТ № 19 | ВАРИАНТ № 24 |
ВАРИАНТ № 20 | ВАРИАНТ № 25 |
ВАРИАНТ № 21 | ВАРИАНТ № 26 |
ВАРИАНТ № 22 | ВАРИАНТ № 27 |
ВАРИАНТ № 23 | ВАРИАНТ № 28 |
ВАРИАНТ № 29 | ВАРИАНТ № 30 |
Библиографический список
Основная литература:
1. Конюховский, В.П. Теория игр: учебник для бакалавров / П.В. Конюховский, А.С. Малова. - М.: Издательство Юрайт, 2013. - 252 с. - Серия: Бакалавр. Базовый курс. – ЭБС «Юрайт ».
Дополнительная литература:
1.Сапронов И. В. Теория игр [Текст] : учеб. пособие : для студентов по направлению подгот. 080100 – Экономика / И. В. Сапронов, Е. О. Уточкина. Е. В. Раецкая; ВГЛТА. - Воронеж, 2013. - 204 с. - Электронная версия в ЭБС ВГЛТУ.
Дата добавления: 2021-02-10; просмотров: 71; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!