Нахождение интервалов выпуклости функции.
Достаточные признаки монотонности функции.
Если f ’( x ) > 0 в каждой точке интервала ( a, b ), то функция f ( x ) возрастает на этом интервале.
Если f ’( x ) < 0 в каждой точке интервала ( a, b ) , то функция f ( x ) убывает на этом интервале.
Точки локального экстремума.
. Число М называется локальным максимумом функции 
, если существует такая окрестность точки 
, что для всех 
из нее выполняется неравенство 
. При этом М= 
, а сама точка называется точкой локального максимума.
Определение 2. Число m называется локальным минимумом функции , если существует такая окрестность точки , что для всех из нее выполняется неравенство 
. При этом m= , а сама точка называется точкой локального минимума.
Определение 3. Локальный максимум и локальный минимум называются локальными экстремумами. Соответствующая точка называется точкой локального экстремума.
Необходимые и достаточные условия существования локального экстремума.
Пусть х0 – точка экстремума (максимума или минимума) функции у = f(x). Тогда в этой точке производная 
равна нулю или не существует.
Пусть 
равны нулю (i = 1, 2, …, n), либо хотя бы одна из них не существует.
Пусть 
-- критическая точка функции 
. Если функция не убывает в некоторой левой окрестности 
точки и не возрастает в некоторой её правой окрестности 
, то точка -- точка локального максимума.
Достаточные условия.
Если же функция не возрастает в некоторой левой окрестности и не убывает в некоторой правой окрестности , то точка -- точка локального минимума.
Доказательство. Если не убывает в 
, то 
при всех 
, поскольку из непрерывности 
. Точно так же, при всех 
. Выберем из чисел 
и 
наименьшее: 
и рассмотрим симметричную окрестность 
. При 
, очевидно, 
, то есть -- точка локального максимума.
Вторая половина утверждения теоремы сводится к первой, если положить 
и заметить, что функция 
не убывает в и не возрастает в 
; локальный максимум функции соответствует локальному минимуму функции 
.
Нахождение интервалов монотонности. Найти интервалы монотонности функции f(x) (то есть интервалы возрастания и убывания). Это делается с помощью исследования знака производной f 
(x). Для этого находят производную f (x) и решают неравенствоf (x) 
0. На промежутках, где это неравенство выполнено, функция f(x) возрастает. Там, где выполнено обратное неравенство f (x) 
0, функция f(x) убывает.
Критические точки. Внутренние точки области определения функции, в которых производная равна нулю или не существует, называются критическимиточками этой функции. Эти точки очень важны при анализе функции и построении её графика, потому что только в этих точках функция может иметьэкстремум.
Точки, в которых производная функции равна нулю, называются стационарными точками.
Наибольшее (наименьшее) значение функции на промежутке называется глобальным
экстремумом. Глобальный экстремум может достигаться либо в точках локального экстремума, либо на концах отрезка.
График функции y=f(x) называется выпуклым на интервале (a; b), если он расположен ниже любой своей касательной на этом интервале.
График функции y=f(x) называется вогнутым на интервале (a; b), если он расположен выше любой своей касательной на этом интервале.
Достаточный признак выпуклости функции на интервале.
Пусть y=f(x) дифференцируема на (a; b). Если во всех точках интервала (a; b) вторая производная функции y = f(x) отрицательная, т.е. f ''(x) < 0, то график функции на этом интервале выпуклый, если же f''(x) > 0 – вогнутый.
Нахождение интервалов выпуклости функции.
Точка 
называется точкой перегиба графика функции y = f(x), если в данной точке существует касательная к графику функции (она может быть параллельна оси Оу) и существует такая окрестность точки 
, в пределах которой слева и справа от точки М график функции имеет разные направления выпуклости.
Если функция y = f(x) имеет конечную вторую производную на интервале Х и если выполняется неравенство 
( 
), то график функции имеет выпуклость направленную вниз (вверх) на Х.
Необходимое и достаточные условия перегиба.
Пусть график функции y = f(x) имеет перегиб в точке и имеет при 
непрерывную вторую производную, тогда выполняется равенство 
.
Пусть функция y = f(x) непрерывна в точке , имеет в ней касательную (можно вертикальную) и эта функция имеет вторую производную в некоторой окрестности точки . Тогда, если в пределах этой окрестности слева и справа от , вторая производная имеет разные знаки, то является точкой перегиба графика функции.
Если , а 
, тогда является абсциссой точки перегиба графика функции y = f(x).
Пусть 
, а 
, тогда если n – четное число, то является абсциссой точки перегиба графика функции y = f(x).
Асимптоты графика функции.
Если расстояние от точки M кривой y = f(x) от некоторой прямой y = kx + b стремиться к нулю, когда точка M, двигаясь по кривой, удаляется в бесконечность, то прямая y = kx + b называется асимптотой кривой y = f(x).
Асимптоты могут быть вертикальными, наклонными .
Если 
и (или) 
, то прямая y = x0 является вертикальной асимптотой
Полное исследование функции:
1. Область определения
2. Точки разрыва и вертикальные асимптоты.
3. Чётность, нечётность, периодичность.
4. Т. Пересечения с осями координат.
5. Исследование по первой производной.интервалы убывания или возрастания,т. Экстремума.
6. Исследование по второй производной, выпуклости вогнутости,точки перегиба.
7. Наклонные и горизонтальные асимптоты.
Дата добавления: 2020-12-12; просмотров: 72; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!