Нахождение интервалов выпуклости функции.

Достаточные признаки монотонности функции.

Если f ’( x ) > 0 в каждой точке интервала ( a, b ), то функция f ( x ) возрастает на этом интервале.

Если f ’( x ) < 0 в каждой точке интервала ( a, b ) , то функция f ( x ) убывает на этом интервале.

Точки локального экстремума.

. Число М называется локальным максимумом функции , если существует такая окрестность точки , что для всех из нее выполняется неравенство . При этом М=, а сама точка называется точкой локального максимума.

Определение 2. Число m называется локальным минимумом функции , если существует такая окрестность точки , что для всех из нее выполняется неравенство . При этом m=, а сама точка называется точкой локального минимума.

Определение 3. Локальный максимум и локальный минимум называются локальными экстремумами. Соответствующая точка называется точкой локального экстремума.

Необходимые и достаточные условия существования локального экстремума.

Пусть х₀ – точка экстремума (максимума или минимума) функции у = f(x). Тогда в этой точке производная равна нулю или не существует.

Пусть равны нулю (i = 1, 2, …, n), либо хотя бы одна из них не существует.

Пусть -- критическая точка функции . Если функция не убывает в некоторой левой окрестности точки и не возрастает в некоторой её правой окрестности , то точка -- точка локального максимума.

Достаточные условия.

Если же функция не возрастает в некоторой левой окрестности и не убывает в некоторой правой окрестности , то точка -- точка локального минимума.

Доказательство. Если не убывает в , то при всех , поскольку из непрерывности . Точно так же, при всех . Выберем из чисел и наименьшее: и рассмотрим симметричную окрестность . При , очевидно, , то есть -- точка локального максимума.

Вторая половина утверждения теоремы сводится к первой, если положить и заметить, что функция не убывает в и не возрастает в ; локальный максимум функции соответствует локальному минимуму функции .

Нахождение интервалов монотонности. Найти интервалы монотонности функции f(x) (то есть интервалы возрастания и убывания). Это делается с помощью исследования знака производной f (x). Для этого находят производную f (x) и решают неравенствоf (x) 0. На промежутках, где это неравенство выполнено, функция f(x) возрастает. Там, где выполнено обратное неравенство f (x) 0, функция f(x) убывает.

Критические точки. Внутренние точки области определения функции, в которых производная равна нулю или не существует, называются критическимиточками этой функции. Эти точки очень важны при анализе функции и построении её графика, потому что только в этих точках функция может иметьэкстремум.

Точки, в которых производная функции равна нулю, называются стационарными точками.

Наибольшее (наименьшее) значение функции на промежутке называется глобальным

экстремумом. Глобальный экстремум может достигаться либо в точках локального экстремума, либо на концах отрезка.

График функции y=f(x) называется выпуклым на интервале (a; b), если он расположен ниже любой своей касательной на этом интервале.

График функции y=f(x) называется вогнутым на интервале (a; b), если он расположен выше любой своей касательной на этом интервале.

Достаточный признак выпуклости функции на интервале.

Пусть y=f(x) дифференцируема на (a; b). Если во всех точках интервала (a; b) вторая производная функции y = f(x) отрицательная, т.е. f ''(x) < 0, то график функции на этом интервале выпуклый, если же f''(x) > 0 – вогнутый.

Нахождение интервалов выпуклости функции.

Точка называется точкой перегиба графика функции y = f(x), если в данной точке существует касательная к графику функции (она может быть параллельна оси Оу) и существует такая окрестность точки , в пределах которой слева и справа от точки М график функции имеет разные направления выпуклости.

Если функция y = f(x) имеет конечную вторую производную на интервале Х и если выполняется неравенство ( ), то график функции имеет выпуклость направленную вниз (вверх) на Х.

Необходимое и достаточные условия перегиба.
Пусть график функции y = f(x) имеет перегиб в точке и имеет при непрерывную вторую производную, тогда выполняется равенство .

Пусть функция y = f(x) непрерывна в точке , имеет в ней касательную (можно вертикальную) и эта функция имеет вторую производную в некоторой окрестности точки . Тогда, если в пределах этой окрестности слева и справа от , вторая производная имеет разные знаки, то является точкой перегиба графика функции.

Если , а , тогда является абсциссой точки перегиба графика функции y = f(x).

Пусть , а , тогда если n – четное число, то является абсциссой точки перегиба графика функции y = f(x).

Асимптоты графика функции.

Если расстояние от точки M кривой y = f(x) от некоторой прямой y = kx + b стремиться к нулю, когда точка M, двигаясь по кривой, удаляется в бесконечность, то прямая y = kx + b называется асимптотой кривой y = f(x).
Асимптоты могут быть вертикальными, наклонными .

Если и (или) , то прямая y = x₀ является вертикальной асимптотой

Полное исследование функции:

1. Область определения

2. Точки разрыва и вертикальные асимптоты.

3. Чётность, нечётность, периодичность.

4. Т. Пересечения с осями координат.

5. Исследование по первой производной.интервалы убывания или возрастания,т. Экстремума.

6. Исследование по второй производной, выпуклости вогнутости,точки перегиба.

7. Наклонные и горизонтальные асимптоты.

Дата добавления: 2020-12-12; просмотров: 55; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

Мы поможем в написании ваших работ!