Решение задачи Коши для одномерного уравнения теплопроводности

Функция источника

– температура, которая возникает в стержне, если в точке в начальный момент времени выделить какое-то количество тепла .

Принцип максимума и его следствия

Принцип максимума указывает, где могут располагаться в пределах ОДЗ максимальная и минимальная значения решения уравнения теплопроводности (однородного).

ОДЗ:

Принцип максимума. Формулировка: если функция является решением уравнения теплопроводности, и в пределах ОДЗ она непрерывная, включая границы, то в этом случае ее максимальное значение может достигаться только на линиях и , .

Нестрогое доказательство (от противного)

Предположим, что точка максимума лежит где-то внутри ОДЗ.

Замечание: если производная существует везде, значит функция гладкая.

В точке - справедливо условие максимума:

Условие максимальности: все вторые производные в точке отрицательные.

Из этого следует:

Предположив, что в точке может быть максимум, возникает противоречие в уравнении . Т. е. условия (а) несовместимы с уравнением.

Доказательство нестрогое, потому что, вообще говоря, максимум может наблюдаться и в случае, если вторая производная была бы равна нулю.

Например, , ее вторая производная будет равна , максимум наблюдается в точке 0. Если посмотрим на функцию , ее максимум находится в точке 0, вторая производная этой функции
, равна нулю.

Строгое доказательство (от противного)

Для удобства введем некоторую верхнюю границу с уравнением . можно брать каким-угодно (линию можно поднимать сколь угодно высоко).

Будем предполагать, что максимальное значение будет находиться либо внутри ОДЗ, либо на линии . , T – любое число большее 0. Докажем, что это предположение является ложным. Надо показать, что найдутся точки внутри области определения (внутри ОДЗ) , которые не будут удовлетворять уравнению.

Замечание: непрерывная функция на ограниченном множестве всегда достигает своего максимального и минимального значения, которое является конечным.

Точка – точка максимального значения функции , когда . Предположим . Обозначим .

Введем новую функцию , (поделили на 2 для надежности). Задача, узнать, где функция достигает своих максимальных значений.

– замкнутая область, когда внутренняя часть и граница будут образовывать закрытое, замкнутое множество.

Замечание: максимум суммы всегда будет больше, чем разность максимумов.

– максимальное значение скобки достигается при минимальном значении , это значение .

Учитывая , выражение примет вид:

Это показывает, что максимальное значение на области будет равняться .

Теперь рассмотрим максимальное значение функции на границе Г:

Замечание: максимальное значение от суммы будет меньше, либо равно сумме максимальных значений.

Максимальное значение на границе это .

В итоге: ; .

В ходе математических размышлений возникла нестыковка, требуется изменить условие (**). Изменим его на такое: .

Символическая интерпретация:

– непрерывная и дифференцируема, – также непрерывная и дифференцируемая, к тому же линейная, из этого следует, что функция также будет являться непрерывной и дифференцируемой.

В точке экстремума (критические точки могут находиться и на отрезке T=t). . Используя (a) и (b), получаем:

Вспоминая исходное уравнение , видим, что наше предположение ложно – уравнение не выполняется.

Следствия принципа максимума

1. Минимальное значение функции U также достигается на границе; если функция U подчиняется уравнению и для нее справедлив принцип максимума, то тогда функция также является решением.

2. Если функция и удовлетворяют теореме о максимуме (т. е. они подчиняются уравнению теплопроводности, непрерывности). И , то . Итак, если на границе одна функция всегда больше другой, то и внутри ОДЗ это условие будет выполнено. Если границе связь установили, то и внутри автоматически оно будет поддерживаться.

Доказательство

Рассмотрим функцию Очевидно, что функция на границе:
(в силу того, что условие ( ) выполнено). Подставим функцию в уравнение:

Одновременно с следует, что

3. Если три функции подчиняются условию теоремы о максимуме и на границе справедливо . Доказательство вытекает из свойства 2.

4. Если функция , подчиняется условиям теоремы о максимуме и на границе справедливо условие .

Доказательство

– удовлетворяют условиям теоремы о максимуме. Почему? А потому что уравнение содержит в себе производные везде. И добавка и вычитание константы никак не сказывается, т. к. производные уничтожают эту добавку.

Особый смысл четвертого свойства: он называется – непрерывной зависимостью решения уравнения теплопроводности от граничных и начальных условий. Что под этим скрывается? Если немного изменить начальные условия, то и решение изменится немного. Небольшое изменение начальных и граничных условий приводит к такому же небольшому изменению решения. Это означает, что уравнение теплопроводности устойчиво.

Решение задачи Коши для одномерного уравнения теплопроводности

ОДЗ:

Похоже на задачу Коши волнового уравнения. Когда данная задача возникает на практике? Когда у нас длинный стержень и мы изучаем температуру где-то в средней его части. Концы находятся настолько далеко, что граничные условия, которые здесь закладываются или выполняются, абсолютно не влияют на решение в течении всего времени наблюдения. Да, возмущение некоторое может доходить, но на это понадобится настолько много времени, что к этому моменту эксперимент уже закончится.

Проведем качественное рассуждение. Возьмем какой-то изначально ограниченный, небесконечный стержень в диапазоне от -L до L, а потом сделаем предельный переход:

Т. е. мысленно будем отодвигать правую и левую концы на бесконечность и смотреть, что будет происходить с решением. Данный подход имеет ряд проблем. В зависимости от того, что ставить на границе, будем получать разные виды решения. И они не будут изначально так очевидно сходиться к одному результату. В связи с этим, эта привязка к граничным условиям немного подводит.

Пусть решается 1-я краевая задача.