Элементы математической статистики

Теория вероятностей.

Согласно классическому определению вероятность события А равна отношению числа случаев, благоприятствующих ему, к общему числу случаев, т.е. (1)

где P(A) – вероятность события;

m – число случаев, благоприятствующих событию А;

n – общее число случаев.

Пример 105. При бросании игральной кости возможны шесть исходов – выпадение 1,2,3,4,5,6, очков. Какова вероятность появления четного числа очков?

Решение. Все n = 6 исходов образуют полную группу событий и равновозможны, т.е. единственно возможны, несовместимы. Событию А – «появление четного числа очков» благоприятствуют 3 исхода (случая) – 2,4 и 6 очков. По формуле (1) .

Основные свойства вероятности события:

· Вероятность любого события заключена между нулем и единицей, т.е. 1.

· Вероятность достоверного события равна единице.

· Вероятность невозможного события равна нулю.

Для успешного решения задач с использованием классического определения вероятности необходимо знать основные правила и формулы комбинаторики – раздела математики, изучающего, в частности, методы решения комбинаторных задач – задач на подсчет числа различных комбинаций.

Пусть – элементы конечного множества. Сформулируем два важных правила, часто применяемых при решении комбинаторных задач.

Правило суммы. Если элемент A_i может быть выбран n₁ способами, элемент A₂ – другими n₂ способами, A₃ – отличными от первых двух n₃ способами и т.д., A_k – n_k способами, отличными от первых (k–1), то выбор одного из элементов A₁ или A₂,…, или A_k может быть осуществлен способами.

Пример . В ящике 300 деталей. Известно, что 150 из них – 1-го сорта, 120 2-го, а остальные – 3-го сорта. Сколько существует способов извлечения из ящика одной детали 1-го или 2-го сорта?

Решение. Деталь 1-го сорта n₁ может быть извлечена 150 способами, 2-го сорта n₂ - 120 способами. По правилу суммы существует способов извлечения одной детали 1-го или 2-го сорта.

Правило произведения. Если элемент A₁ может быть выбран n₁ способами, после каждого такого выбора элемент A₂ может быть выбран n₂ способами и т.д., после каждого (k – 1) выбора элемент A_k может быть выбран n_k способами, то выбор всех элементов A₁, A₂, …, A_k в указанном порядке может быть осуществлен n₁n₂…n_k способами.

Пример . В группе 30 человек. Необходимо выбрать старосту, его заместителя и профорга. Сколько существует способов это сделать?

Решение. Старостой может быть выбран любой из 30 учащихся, его заместителей – любой из оставшихся 29, а профоргом - любой из оставшихся 28 учащихся, т.е. По правилу произведения общее число способов выбора старосты, его заместителя и профорга равно способов.

Если комбинации из n элементов по m отличаются либо составом элементов, либо порядком их расположения (либо и тем, и другим), то такие комбинации называют размещениями из n элементов по m. Число размещений из n элементов по m

Если комбинации из n элементов по m отличаются только составом элементов, то их называют сочетаниями из n элементов по m. Число сочетаний из n элементов по m

или

Так как то .

Если комбинации из n элементов отличаются только порядком расположения этих элементов, то их называют перестановками из n элементов. Число перестановок из n элементов

Пример . Из 30 студентов 10 имеют спортивные разряды. Какова вероятность того, что выбранные наудачу 3 студента – разрядники?

Решение. Пусть событие А – 3 выбранных наудачу студента – разрядники. Общее число случаев выбора 3 студентов из 30 равно , так как комбинации из 30 студентов по 3 представляют собой сочетание, ибо отличаются только составом студентов. Точно так же число случаев, благоприятствующих событию А, рано . Итак,

Пример . По условию лотереи «Спортлото 6 из 45» участник лотереи, угадавший 4,5,6 видов спорта из отобранных при случайном розыгрыше 6 видов спорта из 45, получает денежный приз. Найти вероятность того, что будут угаданы: а) все 6 цифр; б) 4 цифры.

Решение. 1. Пусть событие А – угадывание всех 6 видов спорта из 45. Общее число всех случаев, т.е. всех вариантов заполнения карточек спортлото, есть , так как каждый вариант заполнения отличается только составом видов спорта. Число случаев, благоприятствующих событию А, есть m = 1. Поэтому

2. Пусть событие В – угадывание 4 видов спорта из 6 выигравших из 45. Вначале найдем число способов какими можно выбрать 4 вида спорта из 6 выигравших, т.е. . Но это еще не все: к каждой комбинации 4 выигравших видов спорта из 6 следует присоединить комбинации 2 невыигравших видов из ; таких комбинаций . По правилу произведения общее число случаев, благоприятствующих событию В, Итак,

Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из данных событий.

Если А и В – совместные события, то их сумма А + В обозначает наступление события А или события В, или обоих событий вместе. Если А и В – несовместные события, то их сумма А + В означает наступление события А или события В.

Произведением нескольких событий называется событие, состоящее в совместном наступлении всех этих событий.

Если А,В,С –совместные события, то их произведение АВС означает наступление события А, события В и события С.

Разностью А – В двух событий А и В называется событие, которое состоится, если событие А произойдет, а событие В не произойдет.

Теорема. Вероятность суммы несовместимых событий равна сумме вероятностей этих событий: P(A+B+…+K) = P(A) + P(B) +…+ P(K).

Следствие. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

Так, если к комплексу условий, при котором изучалась вероятность, добавить новое условие А, то полученная вероятность события В, найденная при условии, что событие А произошло, называется условной вероятностью события В и обозначается или

Событие В называется независимым от события А, если его вероятность не меняется от того, произошло событие А или нет, т.е.

или

В противном случае, если или событие В называется зависимым от А.

Пример Вероятность того, что студент сдаст первый экзамен, равна 0,9; второй – 0,9; третий – 0,8. Найти вероятность того, что студентом будут сданы: а) только 2-й экзамен; б) только один экзамен; в) три экзамена; г) по крайней мере два экзамена; д) хотя бы один экзамен.

Решение. 1. Обозначим события: А _i – студент сдаст i-й экзамен (i=1,2,3); В – студент сдаст только 2-й экзамен из трех. Очевидно, что т.е. совместное осуществление трех событий, состоящих в том, что студент сдаст 2-й экзамен и не сдаст 1-й и 3-й. Учитывая, что события независимы, получим:

2. Пусть событие С – студент сдаст один экзамен их трех. Очевидно, событие С произойдет, если студент сдаст только 1-й экзамен их трех, или только 2-й, или только 3-й, т.е.

3. Пусть событие D – студент сдаст все три экзамена, т.е. D= А₁А₂А₃. Тогда

4. Пусть событие Е – студент сдаст, по крайней мере, два экзамена. Очевидно, что событие Е означает сдачу любых двух экзаменов из трех или всех трех экзаменов, т.е. и

5. Пусть событие F студент сдал хотя бы один экзамен. Очевидно, событие F представляет сумму событий С (включающих три варианта) и Е (четыре варианта), т.е. (семь вариантов). Однако проще найти вероятность события F, если перейти к противоположному событию, включающему всего один вариант – .

т.е. сдача хотя бы одного экзамена их трех является событием практически достоверным.

Пример 111. При включении зажигания двигатель начнет работать с вероятностью 0,6. Найти вероятность того, что:

а) двигатель начнет работать при третьем включении зажигания;

б) для запуска двигателя придется включать зажигание не более трех раз.

Решение

1. Обозначим события: А – двигатель начнет работать при каждом включении зажигания; В – тоже при третьем включении зажигания. Очевидно, что и .

2. Пусть событие С – для запуска двигателя придется включать зажигание не более трех раз. Очевидно, событие С наступит, если двигатель начнет работать при 1-м включении, при 2-м или при 3-м включении, т.е. . Следовательно,

Теорема. Если событие F может произойти только при условии появления одного из событий (гипотез) , образующих полную группу, то вероятность события F равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий (гипотез) на соответствующие условные вероятности события F:

. (51)

Формулу (51) называют формулой полной вероятности.

Формула Байеса будет иметь вид

(52)

Пример . Два стрелка независимо друг от друга стреляют по мишени, делая каждый по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0,8; для второго – 0,4. После стрельбы в мишени обнаружена одна пробоина. Какова вероятность того, что она принадлежит: а) 1-му стрелку; б) 2-му стрелку?

Решение. Обозначим события:

оба стрелка не попали в мишень;

оба стрелка попали в мишень;

1-й стрелок попал в мишень, 2-й нет;

1-й стрелок не попал в мишень, 2-й попал;

в мишени одна пробоина (одно попадание).

Найдем вероятности гипотез и условные вероятности события F для этих гипотез:

, .

Теперь по формуле (52)

т.е. вероятность того, что попал в цель 1-й стрелок, при наличии одной пробоины, в 6 раз выше, чем для второго стрелка.

Формула Бернулли. Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна, то вероятность Р_m_,_n того, что событие А наступит m раз в n независимых испытаниях, составит

(53)

где р вероятность события А в одном испытании, q - противоположное испытание. Формулу (53) называют формулой Бернулли.

Пример. Вероятность изготовления на автоматическом станке стандартной детали равна 0,8. Найти вероятности возможного числа появления бракованных деталей среди 5 отобранных.

Решение. Вероятность изготовления бракованной детали . Искомые вероятности находим по формуле (53):

; ;

; .

Математическим ожиданием или средним значением М(Х) дискретной случайной величины Х называется сумма произведений всех ее значений на соответствующие им вероятности:

(54)

Дисперсией D(X) случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от математического ожидания:

или D(x)=M(x²) - (M(x))². (55)

Средним квадратическим отклонением (стандартным отклонением или стандартом) случайной величины Х называется арифметическое значение корня квадратного из ее дисперсии:

Пример . Вероятность совершить покупку равна 0,3 для первого покупателя, 0,5 – для второго, 0,6 – для третьего. Найти закон распределения случайной величины Х – числа покупателей, совершивших покупку. Найти числовые характеристики этой случайной величины.

Решение. Возможные значения случайной величины Х таковы:

X₁ = 0, X₂ = 1, X₃ = 2, X₄ = 3.

Обозначим события:

А₁ – первый покупатель совершил покупку;

А₂ – второй покупатель совершил покупку;

А₃ – третий покупатель совершил покупку; события `А₁,`А₂,`А₃ – им противоположные.

Находим вероятность p_i = P(X = x_i), i = 1,2,3,4, применяя теоремы сложения и умножения вероятностей, получаем:

P₁ = P( x = 0) = P(`А₁`А₂`А₃) = P(`А₁) ×P(`А₂) ×P(`А₃) = 0,7 × 0,5 × 0,4 = 0,14;

P₂ = P(x = 1) = P(А₁`А₂`А₃, или `А₁ А₂`А₃, или `А₁`А₂ А₃) = P(А₁`А₂`А₃) + +P(`А₁ А₂`А₃) + P(`А₁`А₂ А₃) = 0,3 × 0,5× 0,4 + 0,7× 0,5 ×0,4 + 0,7× 0,5× 0,6 = =0,41;

P₃ = P(x = 2) = P(А₁ А₂`А₃) + P( А₁`А₂ А₃) + P(`А₁ А₂ А₃) = 0,3 × 0,5×0,4 + +0,3×0,5×0,6 + 0,7 × 0,5 × 0,6 = 0,36;

P₄ = P(x = 3) = P(А₁ А₂ А₃) = 0,3 × 0,5 × 0,6 = 0,09.

Ряд распределения случайной величины Х имеет вид

x_i	0	1	2	3
P_i	0,14	0,41	0,36	0,09

åP_i = 0,14 +0,41 + 0,36 + 0,09 = 1.

Значит закон составлен, верно. Находим числовые характеристики случайной величины:

1. Математическое ожидание вычисляем по формуле (54):

М= М(х) = 0 × 0,14 + 1 × 0,41 + 2 × 0,36 + 3 × 0,09 = 1,4.

2. Дисперсию по формуле (55):

D(x) = (0 – 1,4)² ×0,14 + (1 – 1,4)² ×0,41 + (2 – 1,4)² ×0,36 + (3 – 1,4)² ×0,09 = =0,70.

3. Среднее квадратическое (стандартное) отклонение s(x) = » 0,84.

Пример . Закон распределения случайной величины Х дан ниже.

X_i	-1	0	2
P_i	0,2	0,5	0,3

Найти функцию распределения этой случайной величины и построить ее график.

Решение. Известно, что функция распределения F(x) = P(X < x). Если x £ -1, то F(x)= 0, так как случайная величина не принимает ни одного значения меньшего –1. Если –1 < x £ 0, то в промежуток (- ¥; x) попадает 1 значение случайной величины x = -1 с вероятностью 0,2, следовательно, F(x) = P(x = -1) = 0,2. Если 0 < x £ 2, то в промежуток (- ¥; x) попадают 2 значения случайной величины, т.е. она может принять значения x = -1 или x = 0, следовательно, F(x) = P(x = -1) + P(x = 0) =

= 0,2+0,5= 0,7. Если 2< x < ¥, то в промежуток ( - ¥; x) попадают все значения случайной величины, поэтому F(x) = P(x = -1) + P(x = 0) + P(x = 2) = 1. Итак, получаем функцию распределения:

0, если x £ -1,

F(x) = 0,2, если –1 < x £ 0,

0,7, если 0 < x £ 2,

1, если x > 2.

Строим график этой функции.

F(x)

0,7

-1 0 1 2

Математическое ожидание непрерывной случайной величины вычисляется по формуле:

М (х)= .

Дисперсия непрерывной случайной величины по формуле:

или

где а = М(х).

Пример Задана функция распределения случайной величины Х

0, при х £ 0,

F(x) = х, при 0 < х £ 1,

1, при х > 1.

Определить вероятность того, что в результате испытаний случайная величина примет значение большее 0,3, но меньшее 0,7. Найти плотность вероятности распределения случайной величины и дисперсию.

Решение. Вероятность того, что 0,3 < х < 0,7, найдем по формуле P(x₁ < X < x₂) = F(x₂) – F(x₁). Получаем P(0,3 < x < 0,7) = F(0,7) – F(0,3) =

= 0,7 – 0,3 = 0,4. Плотность вероятности f(x) по определению есть F¢(x), т.е.