Решить задачи по готовым чертежам
Двугранный угол. Решение задач.
Задача 1.
Точки А и В лежат на ребре данного двугранного угла, равного 120°.
Отрезки АС и ВD проведены в разных гранях и перпендикулярны к ребру двугранного угла.
Найдите отрезок СD, если АВ = АС = ВD = а.
Дано: ∠САВD= 120°, 
АС ⊥ АВ, АС ⊂ α,
BD ⊥ АВ, BD ⊂ β,
АВ = АС = ВD = а.
Найти: СD.
Решение:
Здесь дан тупой двугранный угол, ∠САВD= 120°.
АВ – ребро двугранного угла, точка С лежит в одной полуплоскости, точка D лежит в другой полуплоскости. В одной полуплоскости проведена прямая АС, перпендикулярная АВ. В другой полуплоскости проведена прямая ВD, перпендикулярная АВ.
Проведем АК перпендикулярно АВ и DК параллельно АВ (рис. 2). Тогда угол САК – линейный угол двугранного угла, а значит, ∠САК = 120°.
Так как прямые АК и ВDперпендикулярны одной и той же прямой АВ, то прямые АК и ВD – параллельны. В четырехугольнике АКDВ противоположные стороны параллельны (AK∥BD, AB∥ DK), значит, АКВD– параллелограмм. Значит, АК=BD = а.
Рассмотрим треугольник АКС. Найдем 
с помощью теоремы косинусов:
Прямая АВ перпендикулярна плоскости линейного угла (по свойству 1), значит, и параллельная ей прямая DКперпендикулярна плоскости линейного угла. А значит, прямая DК перпендикулярна прямой СК, лежащей в плоскости линейного угла, то есть угол СКD прямой.
Из прямоугольного треугольника СКD по теореме Пифагора находим гипотенузу СD.
|
|
|
Ответ: 2а.
Задача 2.
Найдите двугранный угол АВСD тетраэдра АВСD, если углы D АВ, D АС и АСВ прямые, АС = СВ = 5 D В = 
.
Дано : АВСD – тетраэдр. 
∠D АВ = ∠D АС = ∠АСВ = 90°.
АС = СВ = 5, D В = .
Найти : ∠ (АВС D)
Решение:
Прямая DA перпендикулярна пересекающимся прямым АВ и АС из плоскости АВС. Значит, прямая DA перпендикулярна плоскости АВС.
Тогда АС - это проекция D С на плоскость АВС. Проекция АС перпендикулярна прямой ВС из плоскости по условию, значит, и наклонная D С перпендикулярна прямой ВС (по теореме о трех перпендикулярах). Получаем, что угол АСD – линейный угол искомого двугранного угла.
Рассмотрим прямоугольный треугольник D СВ. Найдем D С по теореме Пифагора.
Рассмотрим прямоугольный треугольник АСD . Выразим косинус угла АСD .
.
Тогда 
Ответ: 
.
Задача 3.
Расстояние от точки М до каждой из вершин правильного ΔАВС равно 4 см. Найдите расстояние от точки М до плоскости ABC, если АВ = 6 см.
Дано: ΔАВС - правильный, М ∈ ABC АВ = 6 см, АМ = ВМ = СМ = 4 см (рис. 1).
Найти: ρ (М, пл. ABC).
Решение: Проводим МО ⊥ пл. ABC, соединим точку О с А, В, С. Равные наклонные имеют равные
проекции, поэтому АО = ОВ = ОС = R, где R - радиус окружности, описанной около ΔАВС. По теореме синусов 
Из прямоугольного ΔАОМ: ρ(М, пл.
|
|
|
ABC): 
(Ответ: 2 см.)
Задача 4.
Отрезок AD перпендикулярен к плоскости равнобедренного ΔАВС. Известно, что АВ = АС = 5 см, ВС = 6 см, AD = 12 см. Найдите расстояние от концов отрезка AD до прямой ВС.
Дано: ΔАВС, АВ = АС = 5 см, ВС = 6 см, AD ⊥ пл. ABC, AD = 12 см (рис. 2).
Найти: S (D; ВС); S (А, ВС).
Решение:
1) Проведем AE ⊥ BC, в равнобедренном ΔАВС АЕ - высота и медиана, ВЕ = ЕС = 3 см. По теореме Пифагора из ΔСЕА: 
2) Соединим точки D, Е. ВС ⊥ АЕ - по построению; ВС ⊥ DA - по условию ⇒ по теореме о трех перпендикулярах BC ⊥ DE.
3) ΔDEA - прямоугольный, по теореме
Пифагора 
(Ответ: 4 см, 4√10 см.)
Домашнее задание:
Решить задачи по готовым чертежам
1. Дано: KLMN - тетраэдр, все ребра его равны. Точка О - середина ребра MN (рис 3.).
Доказать: ∠KOL - линейный угол двугранного угла LNMK.
2. Дано: ABCD - ромб, ∠A = 60°, АВ = m, BE ⊥ ABC, (рис. 4).
Найти: угол между плоскостями ADE и ABC.
Дата добавления: 2021-02-10; просмотров: 2237; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!