Поток через различные сечения векторной трубки сохраняет постоянное значение.
В гидромеханической интерпретации – при отсутствии источников количество жидкости, протекающей через различные сечения векторной трубки, сохраняет постоянное значение.
Циркуляция. Ротор.
Рассмотрим векторное поле
F(P) = X(x,y,z) i + Y(x,y,z) j + Z(x,y,z) k (1)
и замкнутый контур (L).
F( P) dr
Fs (L)
P
Рассмотрим интеграл
- циркуляция вектора F вдоль замкнутого контура ( L).
Дадим другое выражение циркуляции. Рассмотрим векторdr = {dx, dy, dz}. Тогда
Циркуляция запишется
Ц = 
.
Физический смысл циркуляции. Если поле силовое, то циркуляция равна работе поля вдоль замкнутого контура (L).
Формула Стокса для контура (L) имеет вид
Здесь (S) – поверхность, натянутая на контур (L).
n0
(S)
(L)
Поле вектора F порождает другое векторное поле – поле ротора.
Формула Стокса в векторном виде запишется
.
Поток ротора через поверхность ( S), натянутую на замкнутый контур ( L), равен циркуляции вектора F вдоль этого контура.
Направление обхода контура( L) должно быть согласовано с выбранным направлением нормали n0, Если смотреть с конца вектора n0, обход контура ( L) должен казаться происходящим против часовой стрелки.
Если для данного векторного поля rot F = 0, то
= 0, но это означает, что существует функция u = u(x, y, z) такая, что du = X dx + Y dy + Z d z . Отсюда
|
|
|
т.е. поле вектора F является полем градиента.
Функция u( x, y, z) называется потенциалом, а поле вектора F называется потенциальным.
Очевидно, rot grad u = 0.
Примеры.
1. Дана векторная функция F(x, y, z) = 20y i + 9y j + 12z k. Найти поток вектора
a) через полную поверхность пирамиды, ограниченной плоскостями координат и плоскостью (S) 12x + 3y – 4z -12 = 0 в направлении внешней нормали;
b) через грань (S).
Р е ш е н и е.
a) 
z
k dq
B y γ
A
x dx dy
n0
C
b) 
y
y = 4 – 4x
(D)
0 1 x
|
|
|
2. В условиях предыдущей задачи найти циркуляцию векторного поля F(x, y, z) вдоль линии пересечения плоскости (S) с координатными плоскостями двумя способами
a) по формуле Стокса, приняв в качестве поверхности, по которой производится интегрирование, плоскость треугольника, отсекаемого от плоскости (S) координатными плоскостями, при этом считать нормаль направленной в сторону противоположную началу координат;
b) непосредственно, по определению циркуляции.
Решение.
a)
= − 20 k.
По формуле Стокса
∙ 
c) Непосредственно, по определению циркуляции.
Оператор Гамильтона (1805−65, Англия).
Известно, что со скалярным полем u = u(x, y, z) связывается векторное поле – поле градиента
С векторным полем F(x, y, z) = 
связывается скалярное поле – поле дивергенции и векторное поле ротора.
Гамильтон заметил, что все эти операции могут быть записаны более просто, если ввести символ
Это − знак действия над полем, т.е. оператор. Этот оператор обладает как свойствами вектора, так и свойствами оператора дифференцирования.
«Умножение» т.е. воздействие оператора на скалярное поле u и на векторное поле F производится по следующим правилам
|
|
|
При действиях с оператором 
следует пользоваться правилами векторной алгебры и правилами дифференцирования. Например.
После применения оператора 
к полю получается новое поле (скалярное или векторное), на которое можно вновь воздействовать оператором . Повторное применение операции 
называется операцией второго порядка. Не все операции второго порядка имеют смысл. Например, не имеет смысла операция div(div F).
С помощью комбинаций операций grad, div и rot можно ввести пять операций второго порядка: div( grad u), rot( grad u), grad( divF), div( rotF), rot( rotF).
rot(grad u)= [ ∙ u] = 0,
div(gradu)= ( u) = 2u = 
Дата добавления: 2020-12-12; просмотров: 72; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!