Проекція вектора на вісь. Координати вектора

Основи векторної алгебри

Поняття вектора

Розрізняють два види величин: скалярні і векторні.

Якщо деяка величина повністю визначається певним чином, то її називають скалярною. Прикладами скалярних величин є маса, довжина, об’єм, площа, кількість, температура та ін. Скалярні величини є алгебраїчними величинами і з ними можна здійснювати будь-які алгебраїчні дії: додавання, віднімання, множення, ділення, піднесення у ступінь.

Якщо при визначенні деякої величини крім числового значення треба знати і її напрямок, то така величина називається векторною. Прикладами таких величин є швидкість, прискорення, сила. Векторні величини зображуються за допомогою векторів.

Вектором називають спрямований відрізок, що має певну довжину, у якої одна з точок, що його обмежує, приймається за початок, а друга – за кінець. Якщо точка А – початок вектора, а точка В – його кінець, то вектор позначається символом і зображують його так

Вектор можна позначити й однією буквою, наприклад, . Тоді його зображення має вигляд

Довжина вектора називається його модулем і позначається символом .

Вектор називається нульовим, якщо його модуль дорівнює нулю. У такому векторі початок і кінець збігаються. Нульовий вектор не має визначеного напрямку, його довжина дорівнює нулю, і позначається . Вектор , модуль якого дорівнює 1, називається одиничним. Вектори, які лежать на паралельних прямих чи на тій же прямій, називаються колінеарними. Наприклад, колінеарними є вектори , , , , що подані на малюнку.

Колінеарні вектори, які мають однаковий напрямок, називаються рівно спрямованими, а ті, що мають протилежні напрямки, – протилежно спрямованими.

Два вектори і називаються рівними, якщо

- рівні їхні модулі ;

- вони є рівно спрямованими.

У цьому разі пишуть .

Два вектори і називаються протилежними, якщо:

- рівні їхні модулі ;

- вони є протилежно спрямованими.

У цьому разі пишуть . Цілком зрозуміло, що .

Лінійні операції над векторами.

Лінійними операціями над векторами є операції додавання, віднімання векторів і множення вектора на число.

Додавання векторів.

Сумою двох векторів і називають третій вектор , який визначається відповідно до одного з правил:

Правило трикутника:

1) від довільної точки О відкладаємо вектор ;

2) від його кінця A відкладаємо вектор ;

3) початок першого вектора з’єднується з кінцем другого;

Одержаний вектор є вектором , який дорівнює

Правило паралелограма.

1) від довільної точки О відкладаємо вектор ;

2) від тієї ж точки відкладаємо вектор ;

3) побудуємо на цих векторах як на сторонах паралелограма OACB діагональ OC ;

4) вектор , що є діагоналлю цього паралелограма, є вектор , який є сумою векторів і : .

Властивості суми векторів :

1. Сума двох векторів має комутативну (переставну) властивість:

;

2. Сума векторів має асоціативну (поєднувальну) властивість:

Поняття суми векторів можна узагальнити на випадок довільної скінченої кількості векторів.

Сумою n векторів називають вектор, початок якого збігається з початком вектора , а кінець - з кінцем вектора за умови, що точка прикладання кожного наступного вектора збігається з кінцем попереднього. Наприклад, сумою векторів є вектор

Віднімання векторів.

Різницею двох векторів і називають третій вектор , який під час додавання з вектором дає вектор . Побудувати вектор можна за малюнком

Множення вектора на число.

Добутком вектора на число λ називається вектор , модуль якого дорівнює модулю вектора , помноженого на λ, тобто , а напрямок збігається з напрямком вектора при λ > 0 і протилежний йомупри λ < 0. Наприклад, вектори , 3 , -2 мають вигляд

Два вектори і є колінеарними, якщо існують такі числа α і β, що має місце рівність .

Проекція вектора на вісь. Координати вектора

Віссю називається спрямована пряма. Напрямок прямої на малюнку зазвичай позначають стрілкою. Заданий напрямок вісі вважається позитивним, протилежний до нього – від'ємним. Вісь Ох однозначно визначається одиничним вектором , ( ), напрямок якого зібгається з напрямком вісі Ох.

Такий вектор називається ортом вісі Ох.

Кутом між вектором і віссю Ох називається кут φ між векторами і .

Проекцією точки А на вісь Ох називається точка А₁ перетину цієї вісі з площиною, яка проходить через дану точку А перпендикулярно вісі Ох.

Проекцією вектора на вісь Ох називається алгебраїчна величина відрізка А₁В₁, де А ₁, В₁ – проекції точок А і В на дану вісь. Довжина відрізка А ₁В₁ береться зі знаком +, якщо напрямок відрізка збігається з позитивним напрямком осі Ох і зі знаком – у протилежному випадку. Відповідно до малюнка

проекція вектора на вісь ОХ є додатною величиною і визначається довжиною відрізка А₁В₁. Проекція вектора на вісь О x є від’ємною величиною і дорівнює - С₁D₁.

Проекція вектора на вісь Ох дорівнює добутку його модуля на косинус кута φ між цим вектором і віссю Ох .

пр_х = а_х = соs φ.

Звідси випливає, що проекція вектора на вісь додатна, якщо вектор утворює з віссю гострий кут; від’ємна, якщо цей кут тупий, дорівнює нулю, якщо цей кут прямий.

Проекції рівних векторів на ту саму вісь рівні між собою.

Проекції векторів і на дану вісь мають такі властивості:

1. пр_х ( + ) = пр_х + пр_х = а_х + b_х,

2. пр_х (λ ∙ ) = λ ∙пр_х = λ ∙а_х.

Якщо α, β, γ – кути, утворені вектором з координатними вісями Ох, Оу, Оz прямокутної системи координат, то проекції вектора на координатні вісі визначаються за формулами

а_х = ∙соs α, а_у = ∙ соs β, а_z= ∙ соs γ.

Модуль вектора через його проекції на вісі прямокутної системи координат обчислюється за формулою:

= .

Тоді напрямні косинуси визначаємо так:

Для напрямних косинусів існує формула:

соs² α + соs²β + соs² γ = 1.

Приклад. Вектор заданий координатами . Знайти модуль цього вектора і значення його напрямних косинусів.

Розв’язання: Модуль вектора обчислюється за формулою , а його напрямні косинуси дорівнюють , , .

Відповідь: ; , , .

Якщо - одиничні вектори, спрямовані по координатних осях Ох, Оу, Оz відповідно, то розкладання вектора за трьома координатними осями має вигляд

де а_х, а_у, а_z – проекції вектора на координатні вісі Ох, Оу, Оz, які називаються координатами вектора і позначаються як ( а_х, а_у, а_z).

Якщо початок вектора співпадає з початком координат, а його кінець- точка А - має координати х, у, z, то тоді його проекції на координатні вісі дорівнюють координатам його кінця, тобто а_х = х, а_у = у, а_z = z.

У цьому разі вектор називається радіусом-вектором точки А. Радіус-вектор точки позначається зазвичай через , а модуль радіуса-вектора обчислюється за формулою .

Якщо для вектора відомі координати його початку А(х₁, у₁, z₁) і кінця В(х₂, у₂, z₂),причому початок вектора не обов’язково збігається з початком координат, то проекції вектора на координаті вісі визначаються таким чином