Механический смысл векторного произведения.

Стр 1 из 2Следующая ⇒

Лекция 3.

1. Приложение скалярного произведения.

2. Векторное произведение векторов.

3. Механический смысл векторного произведения.

4. Векторное произведение в ортонормированном базисе.

Приложение скалярного произведения.

Напомним, что скалярное произведение векторов – это число вида

Скалярное произведение векторов, заданных в ортонормированном базисе, вычисляется по формуле

Рассмотрим следующие приложения скалярного произведения.

1). Вычисление работы.

Пусть вдоль пути приложена сила . Тогда работа этой силы равна скалярному произведению вектора силы на вектор пути .

(1)

2). Нахождение длины вектора.

Модуль вектора найдём из скалярного произведения вектора самого на себя.

или

Для ортонормированного базиса: если дан вектор в ортонормированном базисе, то модуль вектора

3). Нахождение угла между векторами.

Из скалярного произведения векторов , следует, что угол между векторами вычисляется по формуле

(4)

если вектора перпендикулярны , то скалярное произведение равно нулю - условие перпендикулярности.

Для ортонормированного базиса условие перпендикулярности.

4).Нахождение проекции одного вектора на направление другого.

Из свойства 2. следует: так как , то и получаем формулу для нахождения проекции вектора на вектор

(6)

Для ортонормированного базиса

(7)

Нахождение направляющих косинусов.

Определение:

- называются направляющими косинусами вектора

в заданной системе координат.

аналогично получим выражения для других углов.

Формулы для нахождения направляющих косинусов:

(8)

Тогда имеет место формула:

(9)

Доказать самостоятельно формулу (9).

Орт-вектор имеет координатами направляющие косинусы

(10)

Пример 1:Найти , если .

Решение: Вектор задан в ортонормированном базисе. Найдем . Для этого воспользуемся формулой . Получим:

Пример 2: Вычислить если , , , , угол между векторами и – .

Решение: Векторы и заданы в базисе векторов и . Базис и – не ортонормированный. Для решения воспользуемся определением скалярного произведения векторов и его свойствами.

Векторное произведение векторов.

Определение: Упорядоченная тройка некомпланарных векторов

называется парвоориентированной (правой) если кратчайший поворот 1-го вектора ко 2-му из конца 3-го виден происходящим против часовой стрелки. В противном случае тройка векторов называется левой.

Определение: Векторным произведением векторов называется вектор удовлетворяющей трём условиям: