Высоты в околоземном пространстве
ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ И СИСТЕМЫ ВЫСОТ
Гравитационное поле земли и поле силы тяжести
В соответствии с законом всемирного тяготения на массу m в околоземном пространстве действует сила тяготения, равная
, (2.1)
где: ƒ = 6,672·10-11 Н∙м2/кг2 – гравитационная постоянная;
dm – элементарная масса, т.е. масса, заключенная в объеме, принимаемом за элементарный при рассматривании Земли и околоземного пространства;
– радиус-вектор массы m относительно элементарной массы dm;
M = 5,974242·1024 кг – масса Земли.
Действие этой силы приводит к тому, что при отсутствии других сил (реакции опоры и т.п.) масса m в околоземном пространстве будет двигаться с ускорением 
, которое называется гравитационным ускорением или ускорением силы тяготения Земли. Особенностью околоземного навигационного пространства является вращение Земли, что приводит к тому, что каждая точка пространства движется с центростремительным ускорением
. (2.2)
Эта же величина входит как составляющая в абсолютное ускорение любой массы m, совершающей движение в околоземном навигационном пространстве. Это стало причиной того, что часто гравитационное и центростремительное ускорения рассматриваются совместно как ускорение силы тяжести (рис. 1) – векторная разность вида
|
|
|
. (2.3)
Направление гравитационного ускорения называется гравитационная вертикаль, а угол между нею и плоскостью земного экватора – гравитационная широтаj¢¢ .
В литературе по навигации не существует единого подхода к обозначению этих ускорений: в ряде авторитетных источников (например, [2]) принято гравитационное ускорение определять символом g ¢ , а ускорение силы тяжести символом g, в некоторых других, не менее авторитетных источниках, встречается обратное обозначение. Описание проекций векторов 
и 
на оси координатных трехгранников, известным образом ориентированных в навигационном пространстве, дает исчерпывающую характеристику информационного поля тяготения и тяжести соответственно.
Вычисление интеграла (2.1) является сложной научной проблемой, теснейшим образом связанной с проблемой определения фигуры Земли – так как значение интеграла определяется формой поверхности Земли и законом распределения масс внутри нее. Фактически на разных исторических этапах степень решенности проблемы интегрирования уравнения (2.1) соответствовала представлениям о фигуре Земли – сфера, сфероид, эллипсоид, геоид – и о плотности Земли. Приведем некоторые наиболее известные выражения для ускорения силы тяжести на поверхности Земли, полученные в разное время:
|
|
|
– формула Кассиниса (1930 г.), принятая как международная на Стокгольском международном геодезическом конгрессе в 1930 году
g 0 = 9,78049× (1+0,0052884×sin2j – 0,0000059×sin22j); (2.4)
– формула Гейсканена (1957 г.)
g 0 = 9,780497× (1+0,0052902×sin2j – 0,0000059×sin22j), (2.5)
– формула Пицетти-Сомильяна (1929 г.)
, (2.6а)
где g e, gρ – значение силы тяжести на экваторе и полюсе.
Наиболее точная – формула Пицетти-Сомильяна; как правило, ее упрощают, заменяя величину b малой полуоси земного эллипсоида на величину b = a(1 – a), а gρ заменяя на g e (1 + β) и представляя в виде степенного ряда
g0 = ge (1+(b – ab – 0,5a2) sin2j +(0,5a2+ ab)×sin4j)
или, поскольку
sin4j = sin2j – 0,25sin2 2j:
g0 = ge (1 + b×sin2j – 0,25(a2 + 2ab)×sin22j) = ge (1 + b×sin2j – b1×sin22j). (2.6б)
|
|
|
Численные значения коэффициентов ge, β, β1 определяются эмпирически. В 1971 году на ассамблее Международного союза геофизики и геодезии в Москве была рекомендована формула нормального значения ускорения силы тяжести, получившая название системы 1967 года:
g0 = 9,780318×(1 + 0,0053024×sin2j – 0,0000059×sin22j)
или
g0 = 9,7803185×(1 + 0,005278895×sin2j + 0,000023462×sin4j). (2.6в)
Исследования с применением космических аппаратов позволили определить нормальное ускорение силы тяжести на эллипсоиде в форме Сомильяна в виде:
(2.6г)
Для GRS-80 принята формула:
g0 = 9,780327×(1 + 0,0053024×sin2j - 0,0000058× sin22j). (2.6д)
Используется также понятие потенциал гравитационного поля Земли – скалярная функция, с точностью до знака совпадающая с силовой функцией (П = -W). Наиболее простой вид эта функция имеет при записи ее в виде разложения в ряд по сферическим функциям геоцентрических координат λ и φ′ [5]:
, (2.7)
где ρ – геоцентрический радиус точки,
a – большая полуось земного эллипсоида;
Pn – полином Лежандра n-го порядка;
|
|
|
Pnm – присоединенные сферические функции;
Jn, С nm, Snm – коэффициенты разложения, характеризующие форму и гравитационное поле Земли.
Первый член этой формулы соответствует потенциалу сферической Земли, а в совокупности с первыми двумя четными членами одинарной суммы – потенциалу эллипсоида вращения. Коэффициенты Jn, С nm, Snm определяются методами космической геодезии и гравиметрии. Для системы ПЗ-90.11 коэффициент J2 = 1,08262575∙10-3, J4 = – 2,37089∙10-6, /J4/ > /J6/.
Сложность математического описания поверхности геоида, не говоря уже о поверхности реальной Земли с ее рельефом, приводит к тому, что потенциал гравитационного поля представляется в виде суммы двух функций. Одна из них – потенциал нормальной составляющей гравитационного поля – это потенциал гравитационного поля, создаваемого телом, ограниченным поверхностью, имеющей строгое описание. Другая – это потенциал аномальной составляющей гравитационного поля, дополняющий нормальный потенциал до реального гравитационного потенциала Земли. На долю нормальной составляющей приходится основная доля гравитационного потенциала Земли, а аномальная составляющая выступает в качестве малой поправки к ней, учитываемой при решении достаточно тонких задач. Соответственно, стандартной единицей измерения ускорения тяготения, создаваемого нормальной составляющей гравитационного поля, является м/с2, а для аномальной составляющей используется более мелкая величина миллиГал, получившая свое название в честь знаменитого итальянского ученого Галилео Галилея (1564 – 1642). Соответствие этих величин следующее:
1 мГал = 10-3 Гал = 10-3 см/с2 = 10-5 м/с2
Нормальная составляющая может быть описана аналитически для всего околоземного пространства, а аномальная – в виде аппроксимаций экспериментальных данных для отдельных малых областей пространства.
В настоящее время в качестве нормального потенциала используется потенциал Земли, имеющей форму эллипсоида; выражение для него с точностью, достаточной для решения большинства задач навигации в околоземном пространстве, запишется в виде:
, (2.8)
где 
.
Нормальный потенциал в околоземном пространстве имеет осесимметричное распределение. Введя обозначение μ = 3∙J2/2, выражение для него можно записать в виде:
, (2.9)
или, выразив ρ и sinj′ через координаты X, Y, Z в виде
,
получим:
. (2.10)
Проекции вектора удельной силы гравитационного поля Земли на оси гринвичского координатного трехгранника суть частные производные силовой функции гравитационного поля Земли:
; 
; 
.
Дифференцируя (2.10), получим выражения для составляющих нормального гравитационного ускорения в проекциях на оси гринвичского координатного трехгранника OXYZ:
(2.11)
где k = ƒ·М, k1 = μ·k·a2.
Примечание. Далее обозначение 
используется для удельной силы нормальной составляющей гравитационного поля; использование ускорения полного гравитационного поля, включающего нормальную и аномальную составляющие, будет оговариваться особо.
Выражения для проекций 
на оси трехгранника OE ' N ' H ' могут быть получены дифференцированием выражения для потенциала вида (2.9):
(2.12)
Величина геоцентрического радиуса ρ определяется формулой (4.11)
, (2.12а)
в которой 
– большая полуось и квадрат эксцентриситета земного эллипсоида или квазиэллипсоида – той поверхности, на которой находится рассматриваемая точка (геометрия квазиэллипсоида описана во второй главе).
Модуль гравитационного ускорения g ' и угол δφg = φ'' – φ' между гравитационным ускорением и геоцентрической вертикалью определятся по формулам
;
.
Подставив в эти формулы выражения (2.12) и проведя преобразования с точностью до величины второго порядка малости относительно е2, получим
δφg = μ∙sin2φ'. (2.13)
Выпишем формулу (1.20), связывающую приведенную и геоцентрическую широты:
(2.14)
Сравнивая величины коэффициентов
μ = 0,001623938 и α/2 =1/(2∙298,3) = 0,001676401
в формулах (2.13) и (2.14), замечаем, что углы δφg и δφ''' отклонения, соответственно, гравитационной и приведенной вертикалей от геоцентрической, отличаются не более чем на 11 угловых секунд:
δφ''' – δφg = (α/2 – μ)∙sin2φ' ≈ 11''∙sin2φ'.
Это означает, что фактически гравитационная широта совпадает с приведенной широтой, поэтому при решении большинства навигационных задач между этими широтами не делают различий. (В частности, поэтому для них были использованы одинаковые обозначения – φ''.)
Проецируя вектор 
на оси трехгранника OE ' N ' H '
;
выражения для проекций ускорения силы тяжести 
можно записать в виде, аналогичном (2.12):
(2.15)
Здесь 
– отношение величины центростремительного ускорения на экваторе к величине гравитационного ускорения, создаваемого центральной частью поля тяготения – параметр фигуры Земли. Его величина, вычисленная для эллипсоида геодезической системы ПЗ-90.02, составляет 0,003461 ≈ α.
Модуль ускорения силы тяжести g и угол δφ = φ – φ' между силой тяжести и геоцентрической вертикалью определятся по формулам
;
.
Подставив в эти формулы выражения (2.15) и проведя преобразования с точностью до величин второго порядка малости относительно е2, получим
δφ = (μ+q/2)∙sin2φ'. (2.16)
Сравнивая эту формулу с формулой (1.17)
для угла между геодезической и геоцентрической вертикалями на земном эллипсоиде, замечаем, что углы δφ и Δφ' практически совпадают:
Из сказанного следует важнейший для навигации в околоземном пространстве вывод: вектор нормальной составляющей силы тяжести (не учитывающий гравитационные аномалии) направлен вдоль местной геодезической вертикали, т.е. вдоль нормали к местному квазиэллипсоиду и к земному эллипсоиду.
В общем случае разница между вектором силы тяжести и геодезической вертикалью определяется
j - B = x,
l - L = h × sec j,
где x - уклонение отвеса в направлении меридиана,
h - уклонение отвеса в направлении первого вертикала.
Для практического применения формул (2.15) значение геоцентрического радиуса ρ может быть рассчитано по формуле вида (2.12а), однако это не всегда удобно. Целесообразнее переписать эти выражения относительно более распространенных криволинейных координат: геодезической широты и высоты и в осях OENH, тем более, что в этом случае горизонтальные проекции вектора равны нулю. Существует большое количество расчетных формул такого рода, выведенных в разное время с различной степенью точности, в том числе формулы (2.4)-(2.6). Высота в этих формулах может быть учтена в виде
g = g 0 (1-2 h / r ) = g 0 – 0.000003086 h .
В [2] выведено выражение для ускорения силы тяжести при условии представления Земли в виде эллипсоида Красовского в форме уравнения Клеро
(2.17)
где g эо = 9,78049 м/с2, b = 0,005317, h – высота над эллипсоидом (параметр h-эллипсоида).
Примечание. Строго говоря, высотный параметр h-эллипсоида геометрически соответствует расстоянию от h-эллипсоида до земного эллипсоида на экваторе, т.е. экваториальной высоте. С другой стороны, как показано в [2], в первом приближении величина h соответствует барометрической высоте, измеряемой с помощью барометрических приборов.
Для расчета гравитационного ускорения в осях трехгранника OENH воспользуемся уравнениями (2.12) и следующими соображениями. Вертикальная составляющая практически совпадает с вертикальной составляющей в осях трехгранника OE ' N ' H '. Поэтому используем ее для расчёта g ¢ H . Не будет большой ошибки, если в составляющих первого порядка малости положить r = a , а в первом множителе r представить по формуле (2. 12а). После упрощения и отбрасывания величин второго порядка малости, получим
,
где 
м/с2, 
.
Горизонтальная составляющая может быть вычислена двумя способами. Наиболее простой способ – это использование уравнения (2.13):
.
Более точный способ основан на уравнении (2.3). Из того факта, что горизонтальные составляющие силы тяжести в осях трехгранника OENH равны нулю, следуют, что для горизонтальных составляющих гравитационного ускорения верно равенство
.
В этом выражении величина r фактически равна радиусу кривизны в направлении, перпендикулярном меридиану, и равен RE + h , где RE определяется формулой (1.29).
Таким образом, окончательные формулы для расчета гравитационного ускорения имеют следующий вид:
(2.18)
Установим полезное соотношение между эквипотенциальной поверхностью нормального поля силы тяжести и подобным h-эллипсоидом. Потенциал нормального поля силы тяжести равен сумме потенциала тяготения (2.9) и потенциала центробежных сил из-за вращения Земли:
или, используя введенный параметр фигуры Земли q:
. (2.19)
Уравнение эквипотенциальной поверхности получим, приравнивая этот потенциал постоянной величине, равной потенциалу в точке с координатами (ρ = (a + h ), φ' = 0):
Выразив отсюда зависимость ρ(φ'), получим c точностью до величин второго порядка малости относительно q, μ и h / a [2]:
.
Учитывая приближенные численные равенства q ≈ α и μ ≈ α/2, перепишем с той же степенью точности:
. (2.20)
Сравнивая это уравнение с каноническим уравнением h-эллипсоида в полярных координатах ρ и φ':
с учетом (1.0), можно в принятых допущениях по точности считать, что эти уравнения соответствуют друг другу, т.е. эквипотенциальная поверхность нормального поля тяжести в первом приближении совпадает с h-эллипсоидом.
В аэронавигационных приборах согласно ГОСТ 4401-81 используется усредненное значение ускорения силы тяжести для сферической модели Земли, равное gc = 9,80665. Величина gc называется стандартным ускорением силы тяжести, а изменение ускорения силы тяжести для сферической модели Земли при изменении высоты выражается зависимостью
(2.21)
где r = 6356766 м – условный радиус Земли, при котором ускорение свободного падения gc = 9,80665 м/с2 и вертикальный градиент ускорения наиболее близки к истинным, измеренным на широте 45°32¢33².
Стандартное ускорение gc и выражение (2.21) используется при составлении таблицы стандартной атмосферы, а также в аэрометрических приборах, в которых информация о широте отсутствует.
высоты в околоземном пространстве
Как было указано, геометрической основой модели фигуры Земли, а, следовательно, и околоземного навигационного пространства, является эллипсоид вращения, принимаемый за поверхность нулевого уровня. Кроме эллипсоида, в качестве такой поверхности может быть указан геоид, а также физическая земная поверхность. Напомним, что геоид – это уровенная поверхность потенциала силы тяжести, совпадающая в океане с уровнем невозмущенной воды. Положение материальной точки А в околоземном пространстве относительно этих поверхностей определяется соответствующей высотой. Не останавливаясь пока на их особенностях, укажем несколько различных типов высот полета (рис. 2.2):
– высота абсолютная (Набс) – расстояние от точки до геоида (до «уровня моря»), измеренное вдоль местной вертикали;
– высота геодезическая (Н) – расстояние от точки до эллипсоида, измеренное вдоль местной вертикали;
– высота истинная или геометрическая (Нист) – расстояние от точки до физической поверхности Земли, измеренное вдоль местной вертикали;
– в ысота относительная (Нотн) – расстояние от точки до произвольно выбранного уровня – например, аэродрома (на рис. 2.2 не показана).
На рис. 2.2 показаны также высотные параметры, характеризующие взаиморасположение некоторых поверхностей:
– превышение геоида (ζ) над эллипсоидом – расстояние между ними в соответственных точках, измеренное вдоль нормали;
– высота рельефа земной поверхности (Нр) – превышение реальной поверхности над геоидом («уровнем моря») в соответственных точках.
Существует практическая сложность измерения любой из высот точки А. Обычно в обозначении высоты точки А указывается инструмент измерения. Потому что, кроме разной точности измерения, разные инструменты измеряют разные высоты. Так радиовысотомер измеряет расстояние до поверхности земли (истинная высота). Спутниковая навигационная система определяет расстояние до эллипсоида (геодезическая высота). Баровысотомеры определяют высоту от некого уровня с известным атмосферным давлением.
К точности измерения высоты рельефа, который наносят на карты, предъявляется наибольшие требования. Фактически до недавнего времени единственным способом определения высоты рельефа являлось геометрическое нивелирование, сущность которого заключается в последовательном измерении элементарных превышений соседних точек относительно плоскости местного горизонта, определяемой по отвесу [5]. Так как величина элементарного нивелирного превышения зависит от направления отвеса в месте установки нивелира, то результат суммирования всех элементарных превышений Δhi, полученных на i-ых шагах, будет существенно зависеть от вида трассы, проложенной на поверхности Земли. На рис. 2.3 показаны две трассы нивелирования от начальной точки А до конечной точки Е и эквипотенциальные поверхности поля тяжести, перпендикулярно к которым направлена отвесная линия.
Видно, что в общем случае сумма элементарных превышений на трассе I (суммирование по индексу i) не равна такой же сумме на трассе II (суммирование по индексу j), а обе они не равны сумме на трассе А– D – E (суммирование по индексу k):
.
Для устранения этого неудобства вместо нивелирных превышений в качестве высотного параметра используют приращение потенциала силы тяжести (геопотенциала), равное работе, которую необходимо затратить, чтобы поднять единицу массы на высоту h:
. (2.22)
Так как полное приращение потенциала силы тяжести при перемещении из точки А в точку Е не зависит от пути, то справедливо
.
Осуществляя предельный переход, запишем:
.
Для вычисления значения интеграла воспользуемся теоремой о среднем значении и вынесем среднее значение ускорения силы тяжести gm на участке D –Е [5]:
.
Отсюда получим выражение для определения ортометрической высоты Н ED как отношение приращения геопотенциала к среднему значению ускорения силы тяжести на отрезке между точкой и геоидом
. (2.23)
Формула (2.23) определяет систему ортометрических высот земной поверхности относительно геоида. Основной недостаток этой формулы, ограничивающий возможности ее применения, состоит в том, что в ней используется средняя величина ускорения фактической силы тяжести, включающей наряду с нормальной составляющей поля также и аномальную составляющую, точное определение которой часто вызывает сложности. При практическом расчете используют модель гравитационного поля геоида, которая фактически отражает отклонение геоида от эллипсоида. Последняя такая модель EGM2008 (Earth Gravitational Model) имеет более 2 тысяч элементов. От недостатков ортометрических высот свободна предложенная М.С. Молоденским система нормальных высот. При определении нормальной высоты по формуле вида (2.23) в качестве ускорения силы тяжести используется среднее значение нормальной силы тяжести на отрезке между точкой и начальной поверхностью. Нормальная сила тяжести на начальной поверхности вычисляется по формулам вида (2.6), а ее среднее значение – по формуле
gm= g0 – 0.000003086 ×Н/2 .
Таким образом, система нормальных геопотенциальных высот строится относительно квазигеоида – уровенной поверхности нормального поля тяжести. За начало отсчета нормальных геопотенциальных высот в СССР, а теперь – России, принят нуль кронштадтского футштока, совпадающий со средним уровнем Балтийского моря приблизительно за 100 лет [5]. Эта точка является исходным пунктом для нивелирной сети и в ней превышение геоида над эллипсоидом Красовского принята равной нулю. Нивелирная сеть, действующая на территории РФ называется Балтийской системой высот 1977 года (БСВ-77). На сегодняшний день только в Европе существует около десятка различных систем нормальных и ортометрических высот, в каждой из них значение высоты одной и той же точки земной поверхности будет различным, что необходимо учитывать при решении навигационных задач. Возможно, в будущем будет принято единое начало отсчёта для всего мира, но пока такого не произошло.
Различие нормальной 
и ортометрической 
геопотенциальных высот точки определится как разность
(2.24)
где
– среднее значение ускорения силы тяжести;
– среднее значение ускорения нормальной силы тяжести;
– среднее значение аномальной составляющей ускорения силы тяжести.
Эта величина составляет от нескольких сантиметров до нескольких метров в зависимости от аномальности поля тяжести.
Карты высот квазигеоида над общим земным эллипсоидом и референц-эллипсоидом Красовского на территории Российской Федерации издаются Роскартографией и Топографической службой ВС РФ.
Заметим, что из (2.23) следует, что нормальные высоты точек, лежащих на одной эквипотенциальной поверхности, но на разных широтах, будут различаться – из-за того, что величина gm зависит от широты. Для исключения этого неудобства вводится система динамических высот. Динамическая высота – это высота, определенная с помощью формулы вида (2.23), в которой в качестве коэффициента используется постоянная величина ускорения силы тяжести gφ. Система динамических высот строится для ограниченных участков земной поверхности, при этом в качестве постоянного коэффициента принимается величина ускорения силы тяжести на характерной географической широте рассматриваемого участка. Особенностью системы динамических высот является то, что они одинаковы для всех точек, лежащих на одной и той же эквипотенциальной поверхности.
Частным случаем динамической геопотенциальной высоты является геопотенциальная высота, которая получается с помощью формулы вида (2.23), где в качестве среднего значения ускорения силы тяжести используется стандартное ускорение gc = 9,80665:
. (2.25)
Именно эту высоту с определенной точностью измеряют баровысотомеры.
Другой системой высот является геодезическая высота Н точки, определяемая чисто геометрически как расстояние от этой точки пространства до эллипсоида.
Рис. 2.2 иллюстрирует связь геодезической высоты Н точки (относительно эллипсоида) с ее высотами, основанными на геопотенциале: Н(g) или Н(n), и превышениями: геоида ζ(g) или квазигеоида ζ(n) над эллипсоидом:
. (2.26)
Очевидно, что при использовании формулы (2.26) высоты и превышение геоида (квазигеоида) должны быть заданы в одной и той же системе высот (отсчитываться от одного и того же нулевого пункта).
В околоземном пространстве геодезическая высота является одной из трех координат любой точки, в том числе и лежащей на реальной земной поверхности. Связь геодезических координат (долготы λ, широты φ и высоты Н) с декартовыми координатами X, Y, Z описывается выражениями (2.2). Непосредственное определение геодезической высоты точки возможно методами космической геодезии и навигации с помощью измерения расстояний от этой точки до спутников, значения координат которых относительно гринвичского трехгранника OXYZ известны. Расстояние Si до i-го спутника выразится формулой
. (2.27)
Решая систему трех таких уравнений относительно координат X, Y, Z , а затем – систему (2.2) относительно координат λ, φ, Н, можно получить значение геодезической высоты точки.
Основным достоинством системы геодезических высот является ее универсальный характер, обеспечивающий однозначную трансформацию координат из одной СК в другую и перевычисление из одного вида СК в другой.
Нормальные высоты не зависят от выбора эллипсоида. Именно эти высоты отображаются на топографических картах Российской Федерации. Геодезические высоты, высоты геоида и квазигеоида зависят от выбора эллипсоида. Нормальные и ортометрические высоты зависят только от исходного пункта для нивелирной сети.
При задании навигационной точки, которую предполагается трансформировать из одной СК в другую следует вводить геодезическую высоту. Для её определения необходимо по карте определить нормальную высоту Н( n ), из каталога возвышения квазигеоида над поверхностью референц-эллипсоида определить ζ(n) и по формуле (2.26) вычислить требуемую геодезическую высоту.
Системы времени
В соответствии с решаемыми задачами применяются два типа систем времени: астрономические и атомные системы времени. Астрономические системы времени должны с максимальной правдоподобностью отображать неравномерное суточное вращение Земли. В противоположность им, атомные системы времени должны иметь строго равномерную шкалу. Кроме того, должна обеспечиваться надежная взаимосвязь между системами.
Дата добавления: 2021-01-21; просмотров: 169; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!