Вычисление определённых методом замены переменной
Понятие определённого интеграла и формула Ньютона-Лейбница
Определённым интегралом от непрерывной функции f(x) на конечном отрезке [a, b] (где 
) называется приращение какой-нибудь её первообразнойна этом отрезке. При этом употребляется запись 
Как видно на графиках внизу (приращение первообразной функции обозначено 
), определённый интеграл может быть как положительным, так и отрицательным числом (Вычисляется как разность между значением первообразной в верхнем пределе и её же значением в нижнем пределе, т. е. как F(b) - F(a)).
Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, а отрезок [a, b] – отрезком интегрирования.
Таким образом, если F(x) – какая-нибудь первообразная функция для f(x), то, согласно определению, 
Равенство называется формулой Ньютона-Лейбница. Разность F(b) – F(a) кратко записывают так: 
Поэтому формулу Ньютона-Лейбница будем записывать и так:
Таким образом, для вычисления определённого интеграла необходимо найти любую первообразную подынтегральной функции, т.е. сначала следует найти неопределённый интеграл. Постоянная С из последующих вычислений исключается. Затем применяется формула Ньютона-Лейбница: в первообразную функцию подставляется значение верхнего предела b, далее - значение нижнего предела a и вычисляется разность F(b) - F(a). Полученное число и будет определённым интегралом.
|
|
|
При a = b по определению принимается 
Пример 1. Вычислить определённый интеграл 
Решение. Сначала найдём неопределённый интеграл: 
Применяя формулу Ньютона-Лейбница к первообразной 
(при С = 0), получим
Пример 2. Вычислить определённый интеграл 
Решение. Используя формулу 
получим 
Пример 3. Найти определённый интеграл 
. Решение. В записи определённого интеграла фигурируют a и b. Но в условии задачи не сказано, чему равны a и b. Значит ли это, что нам нужно гадать, чему они равны или искать какие-то хитроумные способы вычисления данного интеграла? Вовсе нет. В данном случае a и b - это обозначение любых некоторых чисел. А это значит, что нужно записать первообразную и воспользоваться формулой Ньютона-Лейбница:
.
Пример 4. Найти определённый интеграл 
. Решение. Сначала преобразуем подынтегральное выражение с помощью известного по школьной математике тригонометрического тождества 
. 
Свойства определённого интеграла
1. Определённый интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю, т.е. 
Это свойство содержится в самом определении определённого интеграла. Однако его можно получить и по формуле Ньютона-Лейбница:
2. Величина определённого интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования, т.е. 
|
|
|
Пусть F(x) – первообразная для f(x). Для f(t) первообразной служит та же функция F(t), в которой лишь иначе обозначена независимая переменная. Следовательно, 
3. Постоянный множитель можно выносить за знак определённого интеграла, т.е.
4. Определённый интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме определённых интегралов от этих функций, т.е.
5. Если отрезок интегрирования разбит на части, то определённый интеграл по всему отрезку равен сумме определённых интегралов по его частям, т.е. если
то 
6. При перестановке пределов интегрирования абсолютная величина определённого интеграла не меняется, а изменяется лишь его знак, т.е.
Свойства определённого интеграла позволяют упрощать непосредственное вычисление интегралов.
Пример 5. Вычислить определённый интеграл 
Решение:
Вычисление определённых методом замены переменной
Пример 6. Вычислить определённый интеграл 
Решение. Произведём замену переменной, полагая 
Тогда d t = 2x dx, откуда x dx = (1/2)dt, и подынтегральное выражение преобразуется так:
Найдём новые пределы интегрирования. Подстановка значений x = 4 и x = 5 в уравнение
|
|
|
даёт 
а 
Получим:
После замены переменной мы не возвращались к старой переменной, а применили формулу Ньютона-Лейбница к полученной первообразной.
Пример 7. Найти определённый интеграл 
.
Решение. Производим замену переменной: 
Тогда получаем
Пример 8. Найти определённый интеграл 
.
Решение. Производим замену переменной: 
Тогда получаем 
Дата добавления: 2021-01-21; просмотров: 66; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!