Монотонные последовательности.
Ответы на экзамен по матанализу. Первый курс.
Аванпост ЛаПлаза № 3X^3+const
Вопрос №1. Множества и действия над ними.
Эквивалентность множеств:
Пусть А и В-два множества. Если найдется такое правило, по которому для любого а из мн-ва А найдется единственный b из множества В, причем для любого b из В поставлен в соответствие единственному а из А, то это значит, что между этими множествами установлено взаимно-однозначное соответствие, а мн-ва А и В называются эквивалентными.
Счетность и несчётность множеств. Счетность множества рациональных чисел и несчетность множества действительных чисел :
Вопрос №2 Точная верхняя и точная нижняя грани множества вещественных чисел. Теоремы об их существовании.
Вопрос №3 Комплексные числа, алгебраическая и тригонометрическая формы их записи. Извлечение корня из комплексного числа.
|
|
|
Вопрос №4 Числовые последовательности. Предел последовательности. Теоремы о единственности предела и ограниченности сходящейся последовательности.
Предел последовательности:
Последовательность, имеющая предел-сходящаяся. Иначе-расходящаяся. (Записывается через определение и отрицание определения для предела последовательности)
На сходимость или расходимость последовательности не влияет добавление, отбрасывание или изменение конечного числа начальных членов.
Теорема о единственности предела:
Теорема об ограниченности сходящейся
последовательности:
Обратное, вообще говоря, некорректно. (Доказывается через рассмотрение последовательности
Вопрос №5 Теорема о пределе суммы и разности двух сходящихся последовательностей. Теоремы о пределе произведения двух последовательностей.
Теорема о пределе суммы и разности двух сходящихся последовательностей:
Теорема о пределе произведения двух последовательностей:
Вопрос №6 Теорема о пределе частного двух сходящихся последовательностей. Теорема о пределе абсолютной величины и сохранении знака сходящейся последовательности.
|
|
|
Теорема о пределе частного двух сходящихся последовательностей:
Теорема о пределе абсолютной величины:
Теорема о сохранении знака сходящейся последовательности:
Вопрос №7 Теоремы о предельном переходе в неравенствах для двух и трех последовательностей.
Теорема о предельном переходе в неравенствах для двух последовательностей:
Теорема о предельном переходе в неравенствах для трех последовательностей:
Вопрос №8 Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Их свойства.
Бесконечно малые последовательности:
Бесконечно большие последовательности:
Свойства бесконечно малых и бесконечно больших последовательностей:
Вопрос №9 Монотонные последовательности. Критерий сходимости.
Монотонные последовательности.
|
|
|
Критерий сходимости:
Вопрос №10 Свойство стягивающейся системы отрезков.
Вопрос №11 Число “e” как предел последовательности.
Вопрос №12 Подпоследовательности, частичные пределы. Частичные пределы сходящейся последовательности.
Подпоследовательность:
Частичные пределы:
Частичные пределы, сходящейся последовательности:
Вопрос №13 Теорема Больцано-Вейерштрасса. 
Вопрос №14 Фундаментальные последовательности. Критерий Коши сходимости числовых последовательностей.
Вопрос №15 Два определения предела функции в точке. Теорема об их эквивалентности. (лекция 8)
Определение
Теорема об их эквивалентности.
Вопрос №16 Односторонние и бесконечные пределы. Связь двустороннего и одностороннего пределов. (лекция 8)
Теоремы о связи. (ниже)
|
|
|
Вопрос №17 Теоремы о единственности предела функции, о локальной ограниченности функции, имеющей предел и о сохранении знака функции имеющей ненулевой предел.
Теорема о единственности предела. (лекция 8)
О локальной ограниченности
О сохранении знака
Вопрос №18 Арифметические свойства функции, имеющей предел. Предельный переход в неравенствах для двух и трех функций. (лекция 9)
Арифметические свойства
Предельный переход
Вопрос №19 Определение сложной функции. Предел сложной функции (лекция 9).
Определение
Предел сложной функции
Вопрос №20 Критерий коши существования предела функции (лекция 9).
Вопрос №21 Бесконечно большие и бесконечно малые функции и их свойства (лекция 9).
Определения
Свойства
Вопрос №22 Первый замечательный предел (лекция 9).
Вопрос №23 Второй замечательный предел (лекция 10).
Вопрос №24 Виды сравнения функция по порядку роста (малости), связь между ними. Поведение отношения сравниваемых функций в случае ненулевого знаменателя (лекция 10).
Поведение отношения
Вопрос №25 Эквивалентность функций, его коммутативность. Поведение отношения эквивалентных функций, в случае ненулевого знаменателя (лекция 10).
Эквивалентность
Коммутативность
Поведение отношения
Вопрос №26 Виды сравнения функция по порядку роста (малости). Эквивалентность функций (Смотри предыдущие вопросы). Сохранение порядка роста (малости) в случае сравнения в случае сравнения с пропорциональной или эквивалентной функцией.
Вопрос №27 Непрерывность функции в точке и на множестве. Локальная ограниченность и сохранение знака у непрерывной функции. Непрерывность сложной функции (лекция 11).
Непрерывность функции в точке.
На множестве
Локальная ограниченность и сохранение знака у непрерывной функции
Непрерывность сложной функции
Вопрос №28 Непрерывность функции в точке и на множестве (Смотри предыдущий вопрос). Арифметические свойства непрерывной функции. Точки разрыва и их классификация (лекция 11).
Арифметические свойства непрерывной функции
Точки разрыва и их классификация (лекция 12).
Вопрос №29 Теоремы Коши о нуле и о промежуточных значениях непрерывной на отрезке функции (лекция 11).
О нуле и о промежуточных значениях
Вопрос №30 Теоремы Вейерштрасса об ограниченности непрерывной на отрезке функции (Т7) и о достижении ею своих точных граней (Т8) (лекция 11).
Вопрос №31 Монотонные функции. Критерий непрерывности строго монотонной функции (лекция 11).
Определение ( строго убывающие и возрастающие - монотонные)
Критерий
Вопрос №32 Обратная функция. Достаточные условия существования и непрерывности обратной функции (лекция 12).
Определение
Достаточные условия
Вопрос №33 Равномерная непрерывность функции на множестве. Теорема кантора. (лекция 13).
Равномерная непрерывность
Теорема Кантора
Вопрос №34 Понятие производной. Односторонние и бесконечные производные. Непрерывность функции, имеющей производную (лекция 13).
Производная
Непрерывность
Вопрос №35 Производная суммы, разности произведения и частного двух функций (лекция 13).
Вопрос №36 Определение сложной функции (смотри вопрос 19). Производная сложной функции (лекция 13).
Вопрос №37 Определение обратной функции (смотри вопрос 32). Производная обратной функции. Производная функции, заданной параметрически (лекция 13).
Производная обратной функции
Производная функции, заданной параметрически
Вопрос №38 Производные основных элементарных функций (лекция 14).
Вопрос №39 Геометрический смысл производной. Касательная и нормаль к графику функции (лекция 14).
Вопрос №40 Производные высших порядков. Формула Лейбница.
Производные высших порядков
Формула Лейбница
Вопрос №41 Понятие дифференцируемой функции и её первого дифференциала. Критерий и необходимое условие дифференцируемости. Инвариантность первого дифференциала. Дифференциал суммы, разности, произведения и частного двух функций.
(лекция 14).
Определение
Критерий
Инвариантность
Дифференциал суммы, разности, произведения и частного двух функций
Вопрос №42 Дифференциалы высших порядков, случаи их инвариантности и не инвариантности (лекция 15).
Вопрос №43 Малая теорема Ферма. Теорема Ролля о нуле производной. Равенство нулю коэффициентов многочлена, тождества равного нулю (лекция 15).
Теорема Ферма
Теорема Ролля
Вопрос №44 Теорема Дарбу о нуле и промежуточных значениях производной на отрезке и интервале (лекция 15).
Вопрос №45 Теорема Лагранжа о конечных приращениях. Различные формы записи формулы Лагранжа. Постоянство функции, имеющей нулевую производную. Связь одностороннего предела предела производной с односторонней производной. Характер точек разрыва производной (лекция 16).
Теорема Лагранжа
Связь одностороннего предела предела производной с односторонней производной
Характер точек разрыва производной
Вопрос №46 Теорема Коши о конечных приращениях (лекция 16).
Вопрос №47 Правила Лопиталя раскрытия неопределенности вида 0/0 (лекция 16).
Вопрос №48 Правила Лопиталя раскрытия неопределенности вида
бесконечность/ бесконечность (лекция 17).
Вопрос №49 Многочлен Тейлора, его существование и единственность. Локальная формула Тейлора с остаточным членом в формах Пеано (лекция 17).
Формула Тейлора
Существование и единственность
Локальная формула Тейлора с остаточным членом в формах Пеано (лекция 18)
Вопрос №50 Глобальная формула Тейлора с остаточным членом в формах Шлёмильха-Роша, Лагранжа и Коши (лекция 18).
Вопрос №51 Формулы Тейлора (Маклорена) для функций 
(лекция 18).
Вопрос №52 Понятие локального экстремума. Монотонность функции и необходимое условие экстремума (лекция 19).
Экстремум
Монотонность
Необходимое условие экстремума
Вопрос №53 Понятие локального экстремума. Достаточное условие экстремума по знаку первой производной. (Смотри предыдущий вопрос)
Вопрос №54 Понятие локального экстремума. Достаточное условие экстремума по знаку высших производных, в частности, второй производной (лекция 19).
Вопрос №55 Направления выпуклости функции. Достаточные условия строгой выпуклости. Расположение графика выпуклой функции по отношению к своей касательной (лекция 19).
Выпуклость
Условия
Вопрос №56 Направления выпуклости функции (смотри предыдущий вопрос). Точки перегиба. Необходимое условие точки перегиба (лекция 19).
Определение
Условия
Вопрос №57 Направления выпуклости функции (смотри предыдущий вопрос). Точки перегиба (смотри предыдущий вопрос). Достаточные условия точки перешиба по знаку второй и третьей производной (смотри предыдущий вопрос).
Вопрос №58 Асимптоты графика функции и их нахождение (лекция 20).
Асимптота
Нахождение
Вопрос №59 Соприкосновение кривых, порядок соприкосновения. Соприкасающаяся прямая и соприкасающаяся окружность (лекция 20).
Соприкасающаяся прямая и соприкасающаяся окружность (лекция 21)
Вопрос №60 Кривизна плоской кривой и её вычисление (лекция 21).
Дата добавления: 2021-01-21; просмотров: 45; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!