Теорема 4 (о размерности пространства решений).
Лекция 9. 07.11.2020.
Однородные системы линейных уравнений.
Если в каждом уравнении правая часть 
, такая система называется однородной.
Расширенная матрица содержит столбец, состоящий только из 0, то есть ранг расширенной матриц точно не больше, чем ранг основной! По теореме Кронекера-Капелли получается, что однородная система всегда совместна, то есть существует хотя бы одно решение.
Заметим, что при подстановке всех 0 вместо неизвестных, 
, все равенства автоматически выполняются, т.е. нулевое решение для такой системы всегда существует. Оно называется тривиальным решением. Тривиальное решение может быть не единственным, возможно, есть ещё какие-то наборы чисел, которые можно подставить в систему. Основной задачей для однородных систем как раз и является поиск ненулевых решений.
Нетривиальные решения есть, например:
решения (1,1), (2,2), и т.д.
Любое (С,С) для 
есть решение.
Здесь ранг равен 1, и 2-я переменная свободная.
А здесь ранг основной матрицы равен 2. 
, базисный минор фактически заполняет всю основную матрицу, до правого края, в этом случае нет свободных переменных. Решение только тривиальное.
Если решать методом Гаусса, то получим 
тогда 
, и отсюда 
. После приведения к треугольному виду, последняя неизвестная получится 0, за ней и предпоследняя и т.д. Если матрица невырожденная, то решение единственно, но поскольку обязательно существует тривиальное, то единственное оно и есть тривиальное (все нули), других решений нет. Итак, сформулируем обнаруженный нами факт в виде теоремы:
|
|
|
Теорема 1.
1) Система линейных однородных уравнений имеет нетривиальные решения 
.
2) Система линейных однородных уравнений с квадратной основной матрицей 
имеет нетривиальные решения 
.
Доказательство.
Система имеет решение, отличное от нуля для столбцов основной матрицы выполняется равенство 
при некотором наборе ненулевых коэффициентов 
система 
является линейно зависимой ранг системы векторов строго меньше 
ранг матрицы строго меньше .
Итак, однородная система с квадратной основной матрицей имеет нетривиальные решения тогда и только тогда, когда основная матрица вырожденная.
Следствия из теоремы о наложении решений:
Теорема 2. Линейная комбинация решений однородной системы тоже является решением (множество решений образует линейное пространство).
Доказательство. Дано 
, 
, тогда 
.
Теорема 3. Сумма решений неоднородной и соответствующей однородной системы есть решение неоднородной системы.
Доказательство. Пусть 
решение неоднородной системы, 
- решение соответствующей однородной системы (с той же основной матрицей, но 0 в правой части).
|
|
|
, , тогда 
.
Следствие. Разность двух различных частных решений неоднородной системы есть решение соответствующей однородной системы.
Геометрический смысл. Если взять разность двух радиус-векторов, проведённых к точкам какой-либо прямой, не проходящей через начало координат, получится вектор, лежащий на параллельной прямой, проходящей через начало координат.
Теорема 4 (о размерности пространства решений).
Пусть дана линейная однородная система с неизвестными, ранг основной матрицы равен 
. Тогда существует 
линейно-независимых решений однородной системы, всякое другое решение есть их линейная комбинация.
Доказательство.
1) Если ранг основной матрицы равен , то свободных переменных переносятся вправо, тогда можно построить по крайней мере не меньше, чем линейно-независимых решений, присваивая поочерёдно значение 1 каждой из свободных переменных (а остальным в это время 0).
Существует такая система решений:
...
Данная система линейно независима, так как объединяя их в матрицу, увидим, что в её последних столбцах будет минор, устроенный как единичная матрица 
, т.е. заведомо ненулевой, равный 1.
|
|
|
2) Докажем, что любое другое решение будет их линейной комбинацией. Рассмотрим последние координат произвольного решения.
Пусть 
- решение однородной системы.
Линейная комбинация решений:
тоже является решением.
Но на последних n-r местах она содержит 0, а числа, отличные от 0 на первых r местах. Но тогда первые r столбцов образовали бы ЛЗС – было бы противоречие. Тогда единственная возможность: нулевой вектор.
Тогда 
, то есть новое решение можно представить в виде такой линейной комбинации ранее найденных решений.
Таким образом, существует не меньше, но и не больше, чем различных линейно-независимых решений.
Определение. Данная система, состоящая из линейно-независимых решений, называется фундаментальной системой решений (ФСР) однородной системы уравнений.
Пример. ( 
, 
). Решить однородную систему:
Решение. Если преобразовывать расширенную матрицу, то получим:
Видим, что справа всё равно как был, так и остаётся столбец из нулей, так что в будущем для однородных систем можно использовать только основную матрицу, ведь расширенная не несёт никакой новой информации, всё равно там справа нулевой столбец, и он не меняется при преобразованиях строк.
|
|
|
Итак, получили систему 
базисный минор можно заметить в первых двух столбцах, так что 
свободная переменная, переносим её вправо: 
. Теперь последовательно выражаем через свободную переменную две базисные переменные.
Из 2-го: 
, а подставляя в 1-е, получим
, т.е. 
.
Общее решение системы : 
.
Также записывается в виде вектора: 
.
Частные решения: 
, 
, 
, и т.д.
То есть все тройки чисел будут пропорциональны какой-то одной.
ФСР (фундаментальная система решений). ФСР состоит из одного вектора .
Ответ. Общее решение , ФСР 
.
Пример. ( 
, ). Решить систему уравнений:
Базисный минор порядка 2 можно найти в левом углу, тогда считаем, что 3-я и 4-я переменная - свободные. Перенесём их через знак равенства. 
.
уже фактически выражено: 
, подставим это в первое уравнение, чтобы выразить 
.
.
Общее решение: { , }.
Если поочерёдно присвоить значение 1 каждой из свободных переменных (а другая в это время 0) то получим гарантированно 2 линейно-независимых вектора, они не пропорциональны, так как 1 на разных местах.
.
Эти 2 вектора { , } и есть ФСР. Это 
частных решений, из которых можно составить любые другие частные решения: любые их линейные комбинации будут частными решениями однородной системы.
Например, их сумма 
также является решением системы.
Примечание. При решении системы в прошлой задаче, со следующей стадии: 
может использоваться и метод Крамера.
= 
.
= 
.
* Для системы с квадратной матрицей справа были только числа, для системы с прямоугольной матрицей к ним добавляются свободные переменные, и там будут выражения типа 
. А для однородной системы справа констант нет (они 0), но туда перенесены свободные переменные. Т.е. решение методом Гаусса во всех этих 3 параграфах выполняется похожим образом, только справа разные типы объектов.
Дата добавления: 2021-01-21; просмотров: 302; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!