Решение. По формуле Ньютона-Лейбница имеем
Тема урока: Правила нахождения первообразных. Площадь криволинейной трапеции и интеграл
Задания:
1. Посмотреть видеоуроки по темам:
1.«Правила нахождения первообразных» по ссылке https://youtu.be/Hzi7kPtwbWA
2. «Определенный интеграл. Как вычислять площадь фигуры» по ссылке: https://youtu.be/MtgiI_56XdQ
2. Законспектировать теоретический материал.
3. Работу отправить до 18.00 в л/с или на почту pervushina86@bk.ru
Теоретический материал
Три правила нахождения первообразных
Правило №1: Если F есть первообразная для функции f, а G – первообразная для g, то
F+G – есть первообразная для f+g.
(F(x) + G(x))’ = F’(x) + G’(x) = f + g
Правило №2: Если F – первообразная для f, а k – постоянная, то функция kF – первообразная для kf.
(kF)’ = kF’ = kf
Правило №3: Если F – первообразная для f, а k и b– постоянные ( 
), то функция
- первообразная для f(kx+b).
Неопределенный интеграл
Определение 2: Выражение F ( x ) + C , где C - произвольная постоянная, называют неопределенным интегралом и обозначают символом
Из определения имеем: 
(1)
Неопределенный интеграл функцииf(x), таким образом, представляет собой множество всех первообразных функций дляf(x).
В равенстве (1) функциюf(x) называется подынтегральной функцией, а выражение f(x)dx– подынтегральным выражением, переменную x – переменной интегрирования, слагаемое C - постоянной интегрирования.
Интегрирование представляет собой операцию, обратную дифференцированию. Для того чтобы проверить, правильно ли выполнено интегрирование, достаточно продифференцировать результат и получить при этом подынтегральную функцию.
|
|
|
Свойства неопределенного интеграла.
Опираясь на определение первообразной, легко доказать следующие свойства неопределенного интеграла
1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, то есть если 
= f(x), то
2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению
3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная
4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух или нескольких функций равен алгебраической сумме их интегралов
5. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, то есть если a=const, то
Примеры:
( 
Определенный интеграл
Если заданы границы интегрирования, то мы получаем определенный интеграл:
Здесь число 
- нижний предел интегрирования, число 
- верхний предел интегрирования. Определенный интеграл - это ЧИСЛО, значение которого вычисляется по формуле Ньютона - Лейбница:
Посмотрите видеоурок по теме «Формула Ньютона-Лейбница» по ссылке https://interneturok.ru/lesson/algebra/11-klass/integralb/formula-nyutona-leybnitsa-primery
|
|
|
Если функция 
непрерывна на 
, а функция 
- одна из ее первообразных, т.е. 
, то
Формула Ньютона-Лейбница
F(a)-это значение первообразной функции 
в точке , и, соответственно, 
- это значение первообразной функции в точке .
Пример 1. Вычислить определенный интеграл 
.
Решение. По формуле Ньютона-Лейбница имеем
.
Пример 2. Вычислить интеграл 
.
Решение. 
.
Для нас с точки зрения решения задач важное значение имеет геометрический смысл определенного интеграла.
Рассмотрим фигуру, изображенную на рисунке:
Зеленая фигура, ограниченая сверху графиком функции 
, слева прямой 
, справа прямой 
, и снизу осью ОХ называется криволинейной трапецией.
Геометрический смысл определенного интеграла:
Определенный интеграл 
- это число, равное площади криволинейной трапеции - фигуры, ограниченой сверху графиком положительной на отрезке 
функции , слева прямой , справа прямой , и снизу осью ОХ.
Площадь криволинейной трапеции вычисляется по формуле S=F(b)-F(a), где F(x) – любая первообразная функции f(х).
Задача: На рисунке изображён график некоторой функции . Функция 
— одна из первообразных функции 
. Найдите площадь закрашенной фигуры.
|
|
|
Закрашенная фигура представляет собой криволинейную трапецию, ограниченную сверху графиком функции , слева прямой 
, справа прямой 
, и снизу осью ОХ.
Дата добавления: 2021-01-21; просмотров: 46; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!