Практическая работа №3. «Логические основы работы ЭВМ. Элементарные логические функции. Логический синтез вычислительных схем».
1. Цель работы:
1.1. Изучить элементарные логические операции.
1.2. Изучить законы алгебры логики.
1.3. Научиться синтезировать вычислительные схемы устройств.
2. Общие сведения.
Алгебра логики – это раздел математической логики, значение всех элементов (функций и аргументов) которой определены в двухэлементном множестве: 0 и 1. Алгебра логики оперирует с логическими высказываниями.
Высказывание – это любое предложение, в отношении которого имеет смысл утверждение о его истинности или ложности. При этом считается, что высказывание удовлетворяет закону исключенного третьего, т.е. каждое высказывание или истинно или ложно. Одновременно истинным и ложным или НЕ истинным и НЕ ложным оно быть не может.
Простейшими операциями в алгебре логики являются операции логического сложения (ИЛИ, OR, операция дизъюнкции) и логического умножения (И, AND, операция конъюнкции). Для обозначения дизъюнкции используют символы + или V, а конъюнкции – или Λ. Правила выполнения операций в алгебре логики определяются рядом аксиом, теорем и следствий. В частности, для алгебры логики применимы следующие законы.
- Сочетательный:
(a + b) + c = a + (b + c),
(a ּ b) ּ c = a ּ (b ּ c).
- Переместительный
(a + b) = (b + a),
(a ּ b) = (b ּ a).
- Распределительный
a ּ (b + c) = a ּ b + a ּ c,
(a + b) ּ c = a ּ c + b ּ c.
Также справедливы соотношения:
a + a = a, a + b = b, если a ≤ b,
|
|
|
a ּ a = a, a ּ b = a, если a ≤ b,
a + a ּ b = a, a ּ b = b, если a ≥ b,
a + b = a, если a ≥ b,
a + b = b, если a ≤ b,
Наименьшим элементом алгебры логики является 0, наибольшим – 1. В алгебре логики также вводится еще одна операция – отрицания (НЕ, инверсия), обозначаемая чертой над элементом.
По определению:
, 
- операция отрицания
- закон дополнения
- закон противоречивости
Кроме того, справедливы такие соотношения:
- закон двойного отрицания
, 
- закон де Моргана
Функция в алгебре логики – выражение, содержащее элементы алгебры логики a, b, c и др., связанные операциями, определенными в этой алгебре.
Пример логической функции:
Согласно теоремам разложения функций на конституэнты (составляющие), любая функция может быть разложена на конституэнты 1 и 0:
(3.1)
Эти соотношения используются для синтеза логических функций и вычислительных схем.
Логический синтез вычислительных схем. В качестве примера рассмотрим синтез одноразрядного двоичного полусумматора, имеющего два входа (a, b) и два выхода (S, P) и выполняющего операцию сложения. Алгоритм работы двоичного полусумматора задан в виде таблице истинности (табл. 3.1). Таблица истинности представляет собой все возможные сочетания входных сигналов и соответствующие им состояния выходных сигналов.
|
|
|
Таблица 3.1. Таблица истинности для синтеза полусумматора.
| a | b | f1(a,b)=S | f2(a,b)=P |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 1 |
где f1(a,b) = S – значение цифры суммы в данном разряде;
f2(a,b) = Р – цифра переноса в следующий (старший) разряд.
Согласно (3.1), можно произвести разложение на конституэнтиы:
Логическая блок-схема устройства, реализующего полученную функцию, представлена на рис. 3.1. На рис. 3.2. представлены логические блоки, используемые при построении схем в соответствии с международным стандартом и их аналоги согласно ГОСТ. Таблицы истинности наиболее часто используемых в ЭВМ операций представлены в табл. 3.2-3.5.
Операция OR (ИЛИ) – логическое сложение, выполняет поразрядную дизъюнкцию битов двух чисел; устанавливает 1 в тех битах результата, в которых была 1 хотя бы у одного из исходных операндов.
|
|
|
Таблица 3.2. Таблица истинности «ИЛИ».
| a | 0 | 0 | 1 | 1 |
| b | 0 | 1 | 0 | 1 |
| a OR b | 0 | 1 | 1 | 1 |
Операция AND (И) – логическое умножение, выполняет поразрядную конъюнкцию битов двух чисел; устанавливает 1 в тех битах результата, в которых у обоих исходных операндов были 1.
Таблица 3.3. Таблица истинности «И».
| a | 0 | 0 | 1 | 1 |
| b | 0 | 1 | 0 | 1 |
| a AND b | 0 | 0 | 0 | 1 |
Операция XOR (исключающее ИЛИ) – устанавливает 1 в тех битах результата, в которых операнды отличались.
Таблица 3.4. Таблица истинности «исключающее ИЛИ».
| a | 0 | 0 | 1 | 1 |
| b | 0 | 1 | 0 | 1 |
| a XOR b | 0 | 1 | 1 | 0 |
Операция NOT (НЕ) – устанавливает обратное значение битов в числе (инверсия).
Таблица 3.5. Таблица истинности «НЕ».
| a | 0 | 1 |
| NOT a | 1 | 0 |
Рис. 3.1. Логическая блок-схема одноразрядного полусумматора.
а) «ИЛИ»; б) «И»; в) «НЕ»;
Рис. 3.2. Обозначение логических операций.
При построении логической блок-схемы устройства по некоторой логической функции ее необходимо минимизировать (т.е. упростить) в соответствии с рассмотренными выше соотношениями и законами. Это необходимо для уменьшения стоимости устройств.
|
|
|
Для логических функций «ИЛИ», «И», «НЕ» существуют типовые технические схемы, реализующие их на реле, электронных лампах, дискретных полупроводниковых элементах. Для построения современных ЭВМ применяются системы интегральных элементов, называемые сериями. Для максимальной унификации в качестве базовой логической схемы используется только одна из схем (минимальный базис): «И-НЕ» (NAND, штрих Шеффера), «ИЛИ-НЕ» (NOR, стрелка Пирса) или «И-ИЛИ-НЕ» (NORAND).
3. Задания для выполнения практической работы.
3.1. Синтезировать логическую блок-схему устройства, в соответствии с таблицей истинности. Произвести при необходимости минимизацию функции.
4.Варианты заданий для практической работы приведены в таблице 3.6.
Таблица 3.6. Варианты заданий.
| Функция | Название функции | Х1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| Х2 | 0 | 1 | 0 | 1 | ||
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
| F1= x1 /\ x2 | Конъюнкция – логическое умножение (И) | 0 | 0 | 0 | 1 | |
| F2= x1 \/ x2 | Дизъюнкция – логическое сложение | 0 | 1 | 1 | 1 | |
| F3= x1 → x2 | Импликация х1 в х2 | 1 | 1 | 0 | 1 | |
| F4= х1 ← х2 | Импликация х2 в х1 | 1 | 0 | 1 | 1 | |
| F5=x1 x2 | Запрет х2 | 0 | 0 | 1 | 0 | |
| F6=x1 Ü x2 | Запрет х1 | 0 | 1 | 0 | 0 | |
| F7=x1 ~ x2 | Эквивалентность | 1 | 0 | 0 | 1 | |
| F8=x1 x2 | Сложение по модулю 2 | 0 | 1 | 1 | 0 | |
| F9=x1/x2 | И-НЕ – Штрих Шеффера | 1 | 1 | 1 | 0 | |
| F10=x1 ↓ x2 | ИЛИ-НЕ – Стрелка Пирса | 1 | 0 | 0 | 0 | |
| F11=x1 | Повторение х1 | 0 | 0 | 1 | 1 | |
| F12=x2 | Повторение х2 | 0 | 1 | 0 | 1 | |
| F13=1 | Константа 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| F14=0 | Константа 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | |
| F15=x1^ | Инверсия х1- НЕ х1 | 1 | 1 | 0 | 0 | |
| F16=x2^ | Инверсия х2- НЕ х2 | 1 | 0 | 1 | 0 | |
5. Контрольные вопросы.
1. Сформулируйте основные законы алгебры логики?
2. Приведите пример разложения функции конституэнты 1.
3. Сформулируйте последовательность действий необходимых для синтеза логической схемы устройства.
Дата добавления: 2021-01-21; просмотров: 206; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!