Решение задачи о максимальном потоке
| Пункт отправления | Пункт назначения | План перевозок | Пропускная способность |
| 0 | 1 | 2 | 2 |
| 0 | 2 | 3 | 3 |
| 0 | 3 | 1 | 1 |
| 1 | 2 | 0 | 4 |
| 1 | 3 | 0 | 1 |
| 1 | 4 | 2 | 3 |
| 2 | 3 | 1 | 1 |
| 2 | 4 | 2 | 2 |
| 3 | 4 | 2 | 2 |
Задача линейного программирования при максимизации потока. Дадим формулировку задачи о максимальном потоке в терминах линейного программирования. Пусть ХKM - объем перевозок из пункта К в пункт М. Согласно рис. 2.9 К = 0,1,2,3, М = 1,2,3,4, причем перевозки возможны лишь в пункт с большим номером. Значит, всего имеется 9 переменных ХKM, а именно, Х01, Х02, Х03, Х12, Х13, Х14, Х23, Х24, Х34. Задача линейного программирования, нацеленная на максимизацию потока, имеет вид:
F → max ,
Х01 + Х02 + Х03 = F (0)
- Х01 + Х12 + Х13 + Х14 = 0 (1)
- Х02 - Х12 + Х23 + Х24 = 0 (2)
- Х03 - Х13 - Х23 + Х34 = 0 (3)
- Х14 - Х24 - Х34 = - F (4)
Х01 ≤ 2
Х02 ≤ 3
Х03 ≤ 1
Х12 ≤ 4
Х13 ≤ 1
Х14 ≤ 3
Х23 ≤ 1
Х24 ≤ 2
Х34 ≤ 2
ХКМ ≥ 0 , К, М = 0, 1, 2, 3, 4
F ≥ 0.
Здесь F - целевая функция, условие (0) описывает вхождение грузов в транспортную систему. Условия (1) - (3) задают балансовые соотношения для узлов 1- 3 системы. Другими словами, для каждого из внутренних узлов входящий поток грузов равен выходящему потоку, грузы не скапливаются внутри и системы и не "рождаются" в ней. Условие (4) - это условие "выхода" грузов из системы. Вместе с условием (0) оно составляет балансовое соотношение для системы в целом ("вход" равен "выходу"). Следующие девять неравенств задают ограничения на пропускную способность отдельных "веток" транспортной системы. Затем в системе ограничений задачи линейного программирования указана неотрицательность объемов перевозок и целевой функции. Ясно, что последнее неравенство вытекает из вида целевой функции (соотношения (0) или (4)) и неотрицательности объемов перевозок. Однако последнее неравенство несет некоторую общую информацию - через систему может быть пропущен либо положительный объем грузов, либо нулевой (например, если внутри системы происходит движение по кругу), но не отрицательный (он не имеет экономического смысла, но формальная математическая модель об этом "не знает").
|
|
|
О многообразии оптимизационных задач. В различных проблемах принятия решений возникают самые разнообразные задачи оптимизации. Для их решения применяются те или иные методы, точные или приближенные. Задачи оптимизации часто используются в теоретико-экономических исследованиях. Достаточно вспомнить оптимизацию экономического роста страны с помощью матрицы межотраслевого баланса Василия Леонтьева или микроэкономические задачи определения оптимального объема выпуска по функции издержек при фиксированной цене (или в условиях монополии) или минимизации издержек при заданном объеме выпуска путем выбора оптимального соотношения факторов производства (с учетом платы за них).
|
|
|
Кроме затронутых выше методов решения задач оптимизации, напомним о том, что гладкие функции оптимизируют, приравнивая 0 производную (для функций нескольких переменных - частные производные). При наличии ограничений используют множители Лагранжа. Эти методы обычно излагаются в курсах высшей математики и потому опущены здесь.
Представляют интерес задачи оптимизации с нечеткими переменными [5], а также задачи оптимизации, возникающие в эконометрике [6]. Они рассматриваются в соответствующей литературе.
Литература
1. Гасс С. Путешествие в страну линейного программирования / Пер. с англ. - М.: Мир, 1973. - 176 с.
|
|
|
2. Кофман А., Фор Р. Займемся исследованием операций / Пер. с франц. - М,: Мир, 1966. -280 с.
3. Белов В.В., Воробьев Е.М., Шаталов В.Е. Теория графов. - М.: Высшая школа, 1976. - 392 с.
4. Бурков В.Н., Заложнев А.Ю., Новиков Д.А. Теория графов в управлении организационными системами. – М.: Синтег, 2001. – 124 с.
5. Орлов А.И. Задачи оптимизации и нечеткие переменные. – М.: Знание, 1980. – 64 с.
6. Орлов А.И. Эконометрика. – М.: Экзамен, 2002. – 576 с.
Задачи по оптимизационным методам принятия решений
1. Изобразите на плоскости ограничения задачи линейного программирования и решите (графически) эту задачу:
400 W1 + 450 W2 → min,
5 W1 + 10 W2 ≥ 45,
20 W1 + 15 W2 ≥ 80,
W1 ≥ 0, W2 ≥ 0.
2. Решите задачу линейного программирования:
W1 + 5 W2 → max,
0,1 W1 + W2 ≤ 3,8 ,
0,25 W1 + 0,25 W2 ≤ 4,2 ,
W1 ≥ 0 , W2 ≥ 0 .
3. Решите задачу целочисленного программирования:
10 Х + 5 У → max.
8 Х + 3 У ≤ 40,
3 Х + 10 У ≤ 30,
Х ≥ 0 , У ≥ 0 , Х и У - целые числа.
4. Решите задачу о ранце:
|
|
|
Х1 + Х2 + 2Х3 + 2Х4 + Х5 + Х6 → max,
0,5 Х1 + Х2 + 1,5Х3 + 2Х4 + 2,5Х5 + 3Х6 ≤ 3.
Управляющие параметры Хk, k = 1,2,…, 6 , принимают значения из множества, содержащего два элемента - 0 и 1.
5. Транспортная сеть (с указанием расстояний) приведена на рис. 2.10. Найдите кратчайший путь из пункта 1 в пункт 4.
 |
|
4
|
Рис. 2.10. Исходные данные к задаче о кратчайшем пути.
6. Как послать максимальное количество грузов из начального пункта 1 в конечный пункт 8, если пропускная способность путей между пунктами транспортной сети (рис. 2.11) ограничена (табл. 2.15)?
Рис. 2.11. Транспортная сеть к задаче о максимальном потоке.
Таблица 2.15
Дата добавления: 2021-01-21; просмотров: 161; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!