От некоторых видов воздействий

А) в обычной форме – развёрнутое и компактное представления; (21)

 

    В компактном виде:

                                    ,             ( 1.13 ) 

        

    В развёрнутом виде:

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

            ( 1.14 )

  б) в матричной форме – поэлементная и укрупненная записи.(22)

  или   ( 1.15 )

           r                Z        R_S

 

20. Раскрыть смысл:

А) системы КУМП в целом; (21)

Система канонических уравнений в целом по сути – статические условия эквивалентности основной системы МП  и заданной системы  при одинаковых воздействиях  и  истинных

перемещениях Z расчётных узлов; по форме – отрицание полных

реакций всех дополнительных связей в расчётных узлах.

 

  б) произвольного (i-го) канонического уравнения; (22)

Произвольное ( i - е ) уравнение – отрицание полной реакции i - й введённой связи в ОСМП ( суммарной реакции R_i  от заданных  воздействий  ( S )   и   одновременных   смещений   всех введённых связей, равных истинным перемещениям Z расчётных узлов ).

 

  в) левой части i-го канонического уравнения; (22)

Левая часть i - го уравнения – полная реакция i - й введённой  связи в ОСМП  ( суммарная реакция R_i от заданных воздействий ( S ) и одновременных смещений  всех введённых связей, равных истинным перемещениям Z расчётных узлов ).

  г) свободного члена i-го канонического уравнения R_iS (R_iF , R_it ,  R_ic ); (22)

Свободный член i - го уравнения R_iS  – реакция i - й введён-ной связи в ОСМП от заданных воздействий ( S ).

 

  д) слагаемого r_ik Z_k ; (22)

Слагаемое r_ik Z_k i - го уравнения – реакция R_ik i - й введён-ной связи в ОСМП  от смещения k - й связи, равного истинному перемещению Z_k .

 

   е) коэффициента r_ik . (22)

Коэффициент r_ik принеизвестном Z_k  в i - м уравнении – реакция i - й введенной связи в ОСМП  от  единичного  смещения  k - й  связи  Z_k = 1 ( единичная реакция ).

 

 

21. Как называется и какой смысл имеет матрица r коэффициентов КУМП? (23)

r – матрица коэффициентов КУМП – матрица внешней жёсткости  основной  системы МП  по  направлениям  основных неизвестных Z ;

 

 

22. Как называются и какой смысл имеют коэффициенты r_ii ? коэффициенты r_ik  (22)

    Собственные единичные реакции r₁₁, r₂₂ , …, r_ii , …, r_nn введённых связей в ОСМП называются главными коэффициентами канонических уравнений МП, а величины – побочными реакциями (побочными коэффициентами уравнений).

 

23. Обозначить на схеме ОСМП и истолковать смысл r_ik (i и k – по заданию) и/или R_iF . (см. рис. 2.6, 2.11, 2.12)

 

24. Свойства компонентов матрицы r. Теорема о взаимности единичных реакций в ЛДС (теорема Рэлея). (23)

1) матрица r  –  квадратная   n - го  порядка,   невырожденная

( ), положительно определённая ( Det (r) > 0 ), симметричная относительно главной диагонали;

2) главные коэффициенты – собственные реакции r_ii  – существенно положительные ( r_ii > 0 );

3) побочные коэффициенты ( побочные реакции введённых связей ) – попарно равные ( r_ik = r_ki ); они могут быть и положительными, и отрицательными, и нулевыми;

4) сумма компонентов матрицы жёсткости существенно положительная:  

 

 

       По теореме Рэлея о взаимности единичных реакций r_ik = r_ki .

25. Какой должна быть сумма компонентов матрицы r – положительной? отрицательной? равной 0? любой? (23)

Сумма компонентов матрицы жёсткости существенно положительная:  

                                                       

    

26. Каким главным требованиям должны удовлетворять деформированные состояния ОСМП при единичных смещениях связей и при заданных воздействиях? (47)

В единичных состояниях перемещения и деформации элементов таковы, что выполняются условия их совместности в узлах и кинематические граничные условия в опорных закреплениях.   

     

27. Типы элементов ОСМП, стандартные задачи для них, табличные эпюры и способы их получения. (26)

Типовые стержневые элементы в общем случае различаются по

– способам закрепления концов в узлах ( внутренних или опорных ) выбранной основной системы;

– виду деформации ( изгиб, растяжение-сжатие, сложное сопротивление );

 – закону изменения жёсткости ( при изгибе, растяжении-сжатии, кручении ) по длине стержня.  

     В плоских стержневых ОСМП выделяют четыре основных типа элементов постоянного сечения ( рис. 1.19 ).

                        Тип 1                                   Тип 2

                 EI = const                             EI = const

 

                     Тип 3                                    Тип 4

                 EA = const                            EI = const

                                           Рис. 1.19

     Для элементов 1-го и 2-го типов возможен учёт сдвига при поперечном изгибе ( при этом считается, что GA / k_t = const ); для элементов 3-го и 4-го типа деформация сдвига в расчёте по методу перемещений не имеет значения.

     Элементы 1-го, 2-го и 4-го типов могут рассматриваться одновременно и как изгибаемые, и как продольно деформируемые с жёсткостью ЕА = const.

     Шарнир у элемента 2-го типа может располагаться на любом конце – левом или правом.

     В случае примыкания конца некоторого стержня к опорному узлу его защемление или шарнирное опирание может быть подвижным:                             .

 

     Если элемент 3-го типа абсолютно жёсткий ( , то при отсутствии  температурных воздействий стержень может

рассматриваться как линейная связь.

     Стандартные задачи для типовых элементов ОСМП – определение реакций концевых связей ( усилий в концевых сечениях ) и внутренних силовых факторов ( эпюр M, Q, N ) от следующих воздействий:

     1) от смещений концевых связей (кинематических воздействий):

     а) поворота на угол q  защемлённого конца стержня ( для элементов 1-го и 2-го типов );

     б) линейного смещения D конца стержня относительно его противоположного конца:

– по нормали к исходной ( недеформированной ) продольной оси;

– в направлении исходной продольной оси;

     2) от силовых воздействий  –  стандартных нагрузок  ( произвольно расположенной одиночной сосредоточенной силы или сосредоточенного момента; нагрузки, распределённой по определенному закону, в частности, равномерной );

     3) от изменения температуры.

     Решения стандартных задач получаются методом сил или методом начальных параметров. Они приведены в табл. 1.1 и 1.2 ( без учёта влияния сдвига ). Аналогичные данные с учётом сдви-га представлены в приложении ( см. также [ 6 ] ).

     Если нагрузка F или q – наклонная к оси j-го элемента     ( рис. 1.20 ), то в формулы таблиц 1.1 и 1.2 для характерных ординат эпюр М следует подставлять:

– вариант 1 – вместо F или q – нормальные к оси стержня составляющие нагрузок F_yj = F sin g или q_yj = q sin² g;

– вариант 2 – вместо длины стержня l_j – длину его проекции, пер-

пендикулярной к направлению действия нагрузки: l_0j = l _j sin g.

     Для определения Q используются F_yj и q_yj .

	xr lj
			q

xl lj

F

yj

lj

qxj

Fxj

l0j

lj

l0j

qyj

xj

xj

yj

Fyj

 

			g
					g

 

Эпюры внутренних силовых факторов 

в типовых элементах постоянного сечения плоских ОСМП

От смещений концевых сечений

Тип элемента	В и д с м е щ е н и я
	Поворот q концевого сечения на угол q	Взаимное линейное смещение концевых сечений D
Т и п 1	q
Т и п 2
Т и п 3 ( для типов 1 и 2 – так же )		EAj = const M = 0, Q = 0
Т и п 4		D EIj = сonst                                 M = 0, Q = 0

                            Эпюры внутренних силовых факторов 

в типовых элементах постоянного сечения плоских ОСМП

От смещений концевых сечений

Тип элемента	В и д с м е щ е н и я
	Поворот q концевого сечения на угол q	Взаимное линейное смещение концевых сечений D
Т и п 1	q
Т и п 2
Т и п 3 ( для типов 1 и 2 – так же )		EAj = const M = 0, Q = 0
Т и п 4		D EIj = сonst                                 M = 0, Q = 0

 

 

Эпюры внутренних силовых факторов 

в типовых элементах постоянного сечения плоских ОСМП

от некоторых видов воздействий

Тип элемента	Н а г р у з к и			Изменение температуры
	q Равномерно распределённая	Сосредоточенная сила	Сосредоточенный момент
Т и п 1     q	lj	xl + xr = 1                F          xl lj  xr lj                                                Q M F	M      xl lj  xr lj Q M M	Dt1j hj          Dt2j      lj            Dtnr , j = Dt1j – Dt2j Q = 0, N = – aj Dt0j EAj  М и N даны для  Dtnr, j > 0 иDt0j > 0 соответственно
Т и п 2	lj q	F       xl lj  xr lj Q F M	M      xl lj  xr lj	hj          Dt2j Dt1j         lj          N = – aj Dt0j EAj
Т и п 3	lj N	F N                      xl lj   xr lj               F xr                      F xl		M = 0, Q = 0 N – как для элементов 1-го и 2-го типов

Примечания: 1). Для элемента типа 4  эпюры М и Q от поперечных нагрузок – как в однопролётной балке, шарнирно опёртой по концам.

                   2). При вычислении изгибающих моментов в концевых сечениях элемента по приведённым в таблице формулам в случае загружения

                        сосредоточенным моментом М может получиться отрицательное число. Это означает, что ордината эпюры М должна быть отложена

                        от оси эпюры в противоположную сторону по сравнению с изображённой на схеме в таблице.

28. Методы и способы определения коэффициентов и свободных членов КУМП. (23)

    Коэффициенты ( единичные реакции ) и свободные члены ( реакции введённых связей от заданных воздей-

ствий ) канонических уравнений МП могут определяться

    1) статическим методом – из условий равновесия узлов   ( способ вырезания узлов ) или частей основной системы ( способ отсечения частей );

    2) кинематическим методом в двух вариантах:

        – через возможную работу концевых усилий и узловых нагрузок:  ^*);

        – способом «перемножения» эпюр:

                    ;            ( 1.16 )

,        ( 1.17 )

                 

где и – внутренние силовые факторы и реакции упругих связей от заданной нагрузки ( силового воздействия ) в любой статически определимой системе, полученной из рассчитываемой системы удалением лишних связей;

          e_{S , t}  – свободные (нестеснённые) температурные деформации, соответствующие силовым факторам S ;

          D_(j) – компоненты заданных смещений связей;

S_i, R_j,i и R_{(j), i} – внутренние усилия, реакции упругих и смещаемых связей  в  i - м  единичном состоянии ( от Z_i = 1 )

          C_S  – жёсткость сечения стержня при деформации, соответствующей усилию S;

           C_j  – жёсткость j-й упругой связи.

 

    Для плоской стержневой системы:

; ( 1.18 )

( 1.19 )

     Применение любого из указанных способов требует знания внутренних силовых факторов в элементах основной системы от различных воздействий – силовых, температурных ( заданных нагрузок и изменений температуры ) и кинематических ( заданных смещений связей, а также единичных смещений  дополнительных связей в расчётных узлах ). Для этого служат результаты решения стандартных задач для типовых элементов ОСМП, которые даны в следующем параграфе.

29. Статический метод нахождения r_ik и R_iF , его разновидности (способы). (24)

Статическим методом – из условий равновесия узлов   ( способ вырезания узлов ) или частей основной системы ( способ отсечения частей );

 

30. Кинематический метод определения реакций связей (идея) и его варианты (способы). (24)

) кинематическим методом в двух вариантах:

        – через возможную работу концевых усилий и узловых нагрузок:  ^*);

        – способом «перемножения» эпюр:

                    ;            ( 1.16 )

,        ( 1.17 )

                   

где и – внутренние силовые факторы и реакции упругих связей от заданной нагрузки ( силового воздействия ) в любой статически определимой системе, полученной из рассчитываемой системы удалением лишних связей;

          e_{S , t}  – свободные (нестеснённые) температурные деформации, соответствующие силовым факторам S ;

          D_(j) – компоненты заданных смещений связей;

S_i, R_j,i и R_{(j), i} – внутренние усилия, реакции упругих и смещаемых связей  в  i - м  единичном состоянии ( от Z_i = 1 )

          C_S  – жёсткость сечения стержня при деформации, соответствующей усилию S;

           C_j  – жёсткость j-й упругой связи.

 

31. Теорема об определении реакций связей через возможную работу концевых усилий и узловых нагрузок. (24)

Теорема: реакция R_iS  i - й связи от заданного воздействия ( S ) равна разности между возможной работой  концевых усилий всех элементов системы  от воздействия S  на перемещениях концевых сечений от единичного смещения  i- й связи  ( от Z_i = 1 ) и  возможной  работой  узловых нагрузок состояния S на перемещениях узлов от Z_i = 1; r_ik  –  частный случай, где состояние k – от  единичного смещения  k - й связи ( от Z_k = 1 ).

 

32. Матричная формулировка теоремы (вопрос 31) и её частные случаи (кинематические воздействия, только узловые нагрузки, определение реакций в единичных состояниях). (34)

 

33. Матричные выражения для вычисления:

  а) величин r_ik , R_iS , R_iF  , R_it , R_ic ; (34)

                                     

                   

         б) матриц r , R_S , R_F  , R_t , R_c . (35, 39)

Вся матрица внешней жёсткости вычисляется по формуле

                                            r = a ^т S₀ ,                               ( 1.35 )

где  a = [ a₁ a₂ … a_i … a_n ] – матрица перемещений концевых сечений элементов ОСМП во всех единичных состояниях;

 

S₀ = [ S₁ S₂ … S_i … S_n ]  – матрица усилий в концевых сечениях элементов ОСМП  во всех единичных состояниях.

                                                                  ( 1.39 )

где c  =  [ c₁  c₂ … c_i … c_n ]  – матрица перемещений расчётных

                                               узлов  ОСМП во  всех  единичных

                                               состояниях.

 

 

34. Как выполняются универсальная и построчная проверки коэффициентов КУМП? (25, 26, 51)

     Вычисленные коэффициенты и свободные члены канонических уравнений должны быть проверены, для чего используется способ «перемножения» эпюр и суммарные единичные силовые факторы – внутренние усилия S _s от одновременных единичных смещений всех связей,  введённых в расчётные узлы

( Z₁ = 1,  Z₂ = 1, …, Z_n = 1 ), реакции упругих связей R_{j , s} ( )   и реакции R_(j),s связей с заданными смещениями D_(j) ( ):

     1) собственная обобщённая суммарная единичная реакция r_ss всех введённых связей, вычисляемая по формуле

                                          ( 1.20 )

должна быть равна сумме всех коэффициентов КУМП ( это универсальная проверка коэффициентов ):

                                    ;                       ( 1.21 )

     2) суммарная единичная реакция i - й связи

                                 ( 1.22 )

должна быть равна сумме коэффициентов i - го канонического уравнения ( это построчная проверка коэффициентов, производимая при невыполнении условия ( 1.21 ) ):

                                                                     ( 1.23 )

     3) обобщённая ( суммарная ) реакция R _sS  всех введённых связей от заданных воздействий, вычисляемая по формуле

 ( 1.24 )  

должна быть равна сумме всех свободных членов КУМП:

                                  .                           ( 1.25 )

     Суммарные реакции r_is , r_ss , R _iS  и R _sS  можно вычислять также через возможные работы концевых усилий и узловых нагрузок:  

     Дополнительными проверками коэффициентов, основанными на использовании свойств единичных реакций связей, могут служить

     а) контроль положительности собственных реакций r_ii ;

     б) сопоставление значений пар реакций r_ik и r_ki , вычисленных различными способами и приёмами ( статическими – из условий равновесия разных узлов или частей ОСМП, либо кинематическими ) – они должны удовлетворять условию взаимности r_ik = r_ki .

 

35. Матрицы внешней и внутренней жёсткости ОСМП, их связь. (36)

K – матрица внутренней жёсткости основной системы МП, формируемая как блочная диагональная из матриц внутренней жёсткости элементов ОСМП:

                            K = diag [ K₁ K₂ … K_j … K_m ] .              

Второй вариант определения матрицы r внешней жёсткости ОСМП – через матрицу её внутренней жёсткости K, не требующий нахождения усилий в единичных состояниях:

                                          r = a^т K a .       

 

 

36. Матрицы внутренней жёсткости элементов ОСМП разных типов, их структура, смысл компонентов и способы формирования. (23, 36, 37)

Компоненты матрицы внешней жёсткости r – реакции связей в расчётных узлах ОСМП от их единичных смещений;  i - я строка матрицы – значения реакции i - й связи от смещений ( по-следовательно )  Z₁ = 1,  Z₂ = 1, …, Z_k = 1, …, Z_n = 1;   k - й столбец матрицы  –  реакции всех связей  от  единичного смещения  k - й связи ( от Z_k = 1 ).

     Порядок и структура матрицы K_j   j - го элемента определяется его типом. Матрицы внутренней жёсткости типовых элементов в их локальных ( собственных ) координатных осях приведены в табл. 1.3. Для их построения использованы данные стандартных задач ( см. табл. 1.1 ) – столбцы матрицы жёсткости K_j элемента состоят из значений концевых усилий, возникающих от единичных компонентов смещений концевых сечений.       Например, для элемента 2-го типа:

 

 

 

при изгибе и растяжении-сжатии.

 погонные  жёсткости  j - го  элемента

 

 

 

37. Общий и частный случаи исходных матриц (смещений концевых сечений и концевых усилий) для элементов разных типов; условия применения частного случая. (37)

---

Дата добавления: 2020-12-12; просмотров: 71; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!