Осевые моменты инерции некоторых тел

Л/р №1

Момент силы (синонимы: крутящий момент, вращательный момент, вертящий момент, вращающий момент) — векторная физическая величина, равная векторному произведению радиус-вектора (проведённого от оси вращения к точке приложения силы — по определению), на вектор этой силы.

Характеризует вращательное действие силы на твёрдое тело.

где — F сила, действующая на частицу, а r — радиус-вектор частицы.

Единица измерения СИ: H•м.

Момент силы относительно точки О - это вектор, модуль которого равен произведению модуля силы на плечо - кратчайшее расстояние от точки О до линии действия силы.

Направление вектора момента силы перпендикулярно плоскости, проходящей через точку и линию действия силы, так, что глядя по направлению вектора момента, вращение, совершаемое силой вокруг точки О, происходит по часовой стрелке.

Определяется по правилу буравчика!!!!!(Если вращ буравчик- штопор от к то направление винта совпадает с направлением момента силы)

M⃗ _O(F⃗ )=r⃗ ×F⃗ .

Действительно, модуль этого векторного произведения:

|M⃗ _O|=|r⃗ ×F⃗ |=|r⃗ ||F⃗ |sinα.

В соответствии с рисунком |r⃗ |sinα=h, поэтому:

|M⃗ _O|=|F⃗ |h.

Вектор M⃗ _O, как и результат векторного произведения, перпендикулярен векторам r⃗ и F⃗ , которые принадлежат плоскости Π. Направление вектора M⃗ O таково, что глядя по направлению этого вектора, кратчайшее вращение от r⃗ к F⃗ происходит по часовой стрелке. Другими словами, вектор M⃗ _O достраивает систему векторов (r⃗ ,F⃗ ) до правой тройки.

Момент силы относительно оси

Проекция момента силы относительно точки на некоторую ось, проходящую через эту точку называется моментов силы относительно оси.

Физический смысл момента инерции – мера инертности во вращательном движении.

!!( Из двух взаимодействующих тел, то тело более инертно, которое медленнее изменяет свою скорость (Более инертное тело имеет большую массу))

Момент инерции — скалярная (в общем случае — тензорная) физическая величина, мера инертности во вращательном движении вокруг оси, подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении.

Характеризуется распределением масс в теле: момент инерции равен сумме произведений элементарных масс на квадрат их расстояний до базового множества (точки, прямой или плоскости).

Единица измерения СИ: кг·м².

Момент инерции твёрдого тела относительно какой-либо оси зависит от массы, формы и размеров тела, а также и от положения тела по отношению к этой оси

Моментом инерции механической системы относительно неподвижной оси («осевой момент инерции») называется величина J_a, равная сумме произведений масс всех n материальных точек системы на квадраты их расстояний до оси:

где:

m_i — масса i-й точки,
r_i — расстояние от i-й точки до оси.

Осевой момент инерции тела J_a является мерой инертности тела во вращательном движении вокруг оси подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении.

где:

m — масса малого элемента объёма тела
— плотность,
r — расстояние от элемента до оси a.

Если тело однородно, то есть его плотность всюду одинакова, то

Теорема Гюйгенса — Штейнера

Момент инерции твёрдого тела относительно какой-либо оси зависит от массы, формы и размеров тела, а также и от положения тела по отношению к этой оси. Согласно теореме Штейнера (теореме Гюйгенса-Штейнера), момент инерции тела J относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела J_c относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно рассматриваемой оси, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями:

где m — полная масса тела.

Осевые моменты инерции некоторых тел

Моменты инерции однородных тел простейшей формы относительно некоторых осей вращения

Тело

Описание

Положение оси a

Момент инерции J_a

Материальная точка массы m

На расстоянии r от точки, неподвижная

mr²

Полый тонкостенный цилиндр или кольцо радиуса r и массы m

Ось цилиндра

mr²

Сплошной цилиндр или диск радиуса r и массы m

Ось цилиндра

Полый толстостенный цилиндр массы m с внешним радиусом r₂ и внутренним радиусом r₁

Ось цилиндра

Сплошной цилиндр длины l, радиуса r и массы m

Ось перпендикулярна к цилиндру и проходит через его центр масс

Полый тонкостенный цилиндр (кольцо) длины l, радиуса r и массы m

Ось перпендикулярна к цилиндру и проходит через его центр масс

Прямой тонкий стержень длины l и массы m

Ось перпендикулярна к стержню и проходит через его центр масс

Прямой тонкий стержень длины l и массы m

Ось перпендикулярна к стержню и проходит через его конец

Тонкостенная сфера радиуса r и массы m

Ось проходит через центр сферы

Шар радиуса r и массы m

Ось проходит через центр шара

Конус радиуса r и массы m

Ось конуса

Равнобедренный треугольник с высотой h, основанием a и массой m

Ось перпендикулярна плоскости треугольника и проходит через вершину

Правильный треугольник со сторонойa и массой m

Ось перпендикулярна плоскости треугольника и проходит через центр масс

Квадрат со стороной a и массой m

Ось перпендикулярна плоскости квадрата и проходит через центр масс

Моме́нт и́мпульса L ( момент количества движения) характеризует количество вращательного движения. Величина, зависящая от того, сколько массы вращается, как она распределена относительно оси вращения и с какой скоростью происходит вращение.

Замечание: момент импульса относительно точки — это псевдовектор, а момент импульса относительно оси — псевдоскаляр.

В системе СИ момент импульса измеряется в единицах джоуль-секунда; Дж·с.

Момент импульса материальной точки относительно некоторого начала отсчёта определяется векторным произведением еёрадиус-вектора и импульса:

где r — радиус-вектор частицы относительно выбранного неподвижного в данной системе отсчёта начала отсчёта, p — импульс частицы.( P=mv)

Для нескольких частиц момент импульса определяется как (векторная) сумма таких членов:

Если имеется материальная точка массой , двигающаяся со скоростью и находящаяся в точке, описываемой радиус-вектором , то момент импульса вычисляется по формуле:

где — знак векторного произведения.

где L=I*w?w- угловая скорость,I- момент инерции

W=v*r,где v- линейная скорость, r-радиус

Чтобы рассчитать момент импульса тела, его надо разбить на бесконечно малые кусочки и векторно просуммировать их моменты как моменты импульса материальных точек, то есть взять интеграл:

Можно переписать это через плотность :

уравнение для закона сохранения углового момента твердого тела в виде Lz = Jzω = const.

Дата добавления: 2021-01-20; просмотров: 171; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

12 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!