Фотография и «Золотое сечение»

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №20 города Йошкар-Олы»

«Золотое сечение – гармония и красота»

Выполнили: Двоеглазова М. Отчество. ученица 6В класса, Кошкарова А. Отчество. ученица 11А класса Руководитель: Ятманова А.С. учитель математики

Йошкар-Ола

2020

Содержание

Введение. 3

Методика исследования. 5

«Золотое сечение» вокруг нас. 11

Природа. 11

Люди. 11

Архитектура. 12

Живопись. 13

Фотография и «Золотое сечение». 14

Заключение. 16

Список литературы.. 17

Приложение 1. 18

«Золотой прямоугольник» учебников. 18

Приложение 2. 19

Золотая пропорция в природе. 19

Приложение 3. 20

Пропорция человеческого тела. 20

Приложение 4. 21

Введение

«…Геометрия владеет двумя сокровищами – теоремой Пифагора и золотым сечением, и если первое из них можно сравнить с мерой золота, то второе – с драгоценным камнем…» Иоганн Кеплер

Цель проекта – выявить «золотое сечение» в математике, природе, архитектуре, искусстве, технике.

Задачи:

1. Изучить понятия «пропорция» и «золотое сечение».

2. Исследовать присутствие золотого сечения в окружающей жизни.

3. Изучить практическое применение этого понятия, провести эксперименты с элементами золотого сечения.

Методы исследования:

1) Анализ учебной и научно-популярной литературы, ресурсов сети Интернет.

2) Эксперимент, наблюдение, сравнение, аналогия.

Объект исследования: «золотое сечение».

Предметы исследования: математика, искусство, живопись, архитектура, природа.

Актуальность:

Окружающий нас мир многообразен … Все, наверное, обращали внимание, что мы неодинаково относимся к предметам и явлениям окружающей действительности. Беспорядочность, бесформенность, несоразмерность воспринимаются нами как безобразное и производят отталкивающее впечатление. А предметы и явления, которым свойственна мера, целесообразность и гармония воспринимаются как красивое и вызывают у нас чувство восхищения, радости, поднимают настроение.

Людей с давних времён волновал вопрос, подчиняются ли такие неуловимые вещи как красота и гармония, каким-либо математическим расчётам. Можно ли «проверить алгеброй гармонию?» – как сказал А.С. Пушкин.

Конечно, все законы красоты невозможно вместить в несколько формул, но, изучая математику, мы можем открыть некоторые слагаемые прекрасного.

Мы познакомились с одним из таких математических соотношений, там, где оно присутствует, ощущается гармония и красота.

Теорему Пифагора знают многие люди, а вот что такое «золотое сечение» – далеко не все. Именно поэтому мы выбрали данную тему для того, чтобы поближе познакомить окружающих с ним.

Методика исследования

Мы познакомились с понятием «золотое сечение», научились делить отрезок в золотом отношении, увидели, где оно встречается, как используется в технике и произведениях искусства.

Что же такое золотое сечение?

Рассмотрим отрезок АВ (рис. 1).

А С В

Рисунок 1. Золотое сечение отрезка АВ

Его можно разделить точкой С на две части бесконечным множеством способов, но говорят что точка С производит золотое сечение отрезка АВ, если выполняется пропорция: длина меньшего отрезка так относится к длине большего, как больший отрезок относится к длине всего отрезка, т.е.

Термин «золотое сечение» ввёл в XVI веке великий художник, учёный и изобретатель Леонардо да Винчи. В истории утвердились три варианта названия: золотое сечение, золотая пропорция и третье – деление отрезка в среднем и крайнем отношениях. Кроме того, золотое сечение награждали эпитетами «божественное», «чудесное», «превосходнейшее», потому что-то, где оно присутствует, вызывает у нас ощущение красоты и гармонии.

Чтобы и вы смогли увидеть золотое сечение в природе, в произведениях искусства, мы научим вас сейчас делить отрезок в среднем и крайнем отношениях, т.е. делить отрезок в золотом отношении (рис. 2).

Рисунок 2. «Золотое сечение»

Дано: Отрезок АВ.

Построить: золотое сечение отрезка АВ, то есть точку С так, чтобы

Построим прямоугольный треугольник, у которого один катет в два раза больше другого. Для этого восстановим в точке В перпендикуляр к прямой АВ и на нем отложим отрезок Далее, соединив точки A и D, отложим отрезок DE=BD, и, наконец, AC=AE. Точка С является искомой, она производит золотое сечение отрезка АВ.

Доказательство:

- прямоугольный по построению. По теореме Пифагора Так как отрезок AD равен сумме отрезков AE и ED, то равенство перепишем в виде:

Задача имеет единственное решение.

ч. т. д.

Деление отрезка в золотом отношении – это очень древняя задача. Она присутствует в «Началах» Евклида.

Золотое сечение записывается с помощью пропорции. Пропорция – это равенство двух отношений. Всем, мы думаем, интересно узнать численное значение этих отношений. Сейчас мы его найдем.

Для удобства длину отрезка АВ обозначим за а, а длину отрезка АС – за х, то длина отрезка СВ будет а – х (рис. 3).

Рисунок 3. Золотое сечение через пропорцию

Пропорция (1) примет вид: (2).

(Отношение длины меньшего отрезка а – х к длине большего отрезка х равно отношению большего отрезка х к длине всего отрезка а).

Так как отношения составляющие пропорцию равны, то найдём численное значение, например, отношения

По свойству пропорции: произведение средних членов равно произведению крайних членов. Равенство (2) перепишется в виде:

Раскроем скобки и все слагаемые перенесём в левую часть:

Решаем получившееся квадратное уравнение относительно х

Так как, а – это длина отрезка, поэтому D > 0 , уравнение имеет 2 корня.

Напоминаем, что мы находим значение

Получилось два значения х, но х – это длина отрезка, т.е. число положительное.

Проверим, удовлетворяет ли этому условию? ( не удовлетворяет условию, так как меньше нуля).

Удовлетворяет ли этому условию?

Значит,

Находим отношение

Вычисляем значение этого выражения с помощью микрокалькулятора с точностью до сотых.

Следовательно, отношение длины меньшего отрезка к длине большего отрезка и отношение большего к длине всего отрезка равно 0,62 . Такое отношение и будет золотым. Полученное число обозначается буквой . Это первая буква в имени великого древнегреческого скульптора Фидия, жившего в V в до н.э., который часто использовал золотое отношение в своих произведениях.

Итак, мы узнали, что такое золотое сечение и как разделить произвольный отрезок в золотом отношении.

Так когда же некоторая точка С производит золотое сечение отрезка AD? (Точка С производит золотое сечение отрезка АВ, если выполняется пропорция: длина меньшего отрезка так относится к длине большего, как больший отрезок относится к длине всего отрезка, т.е.

На уроках геометрии мы изучали равнобедренный треугольник, равносторонний треугольник, оказывается, существует ещё так называемый золотой треугольник.

Золотым называется такой равнобедренный треугольник, основание и боковая сторона которого находятся в золотом отношении (рис. 4):

Рисунок 4. «Золотой равнобедренный треугольник»

Мы провели психологический опыт.

Попросили одноклассников начертить на альбомном листе любой прямоугольник, какой больше нравиться(!). Попросили найти отношение ширины прямоугольника к его длине.

Результаты показали, что у большинства из них отношение сторон оказалось близким к числу 0,62. И это не случайно, так как многим людям кажутся красивыми и гармоничными именно те фигуры, в которых есть элементы, связанные друг с другом золотым отношением.

Прямоугольник, стороны которого находятся в золотом отношении, т.е. отношение ширины к длине даёт число 0,62, называется золотым прямоугольником.

Рисунок 5. «Золотой прямоугольник»

В «золотом прямоугольнике» построили квадрат со стороной, равной меньшей стороне прямоугольника, у которого с прямоугольником общий прямой угол. Оказывается, снова получим золотой прямоугольник меньших размеров. В этом прямоугольнике снова построили квадрат, у которого с прямоугольником общий угол, и со стороной равной меньшей стороне прямоугольника. Снова получился золотой прямоугольник. Произведём несколько аналогичных построений.

Видим, что весь прямоугольник оказался составленным из вращающихся квадратов. Соединим противолежащие вершины квадратов плавной кривой. Сделаем это с помощью циркуля следующим образом…

Рисунок 6. Золотая спираль

Мы получили кривую, которая является золотой спиралью.

«Золотое сечение» вокруг нас

Природа

Оказывается, в природе встречаются и золотое сечение и золотая спираль.

Окружающие нас предметы дают примеры золотого прямоугольника: обложки многих книг, журналов, тетрадей, открытки, картины, крышки столов, экраны телевизоров и т.д. близки по размерам к золотому прямоугольнику (Приложение 1).

Интерес человека к природе привёл к открытию её физических и математических закономерностей. Красота природных форм рождается во взаимодействии двух физических сил – тяготении и инерции. Золотая пропорция – это математический символ этого взаимодействия, поскольку выражает основные моменты живого роста: стремительный взлёт юных побегов сменяется замедленным ростом «по инерции» до момента цветения.

Рассматривая расположение листьев на общем стебле многих растений, можно заметить, что между каждыми двумя парами листьев третья расположена в месте золотого сечения. Точка С делит отрезок АВ в золотом отношении, точка Е делит отрезок DA в золотом отношении и так далее (Приложение 4 рис.1).

Золотую спираль также можно заметить в созданиях природы.

Рассмотрим расположение семечек в корзине подсолнуха. Они выстраиваются вдоль спиралей, которые закручиваются как слева направо, так и справа налево. В одну сторону у среднего подсолнуха закручено 13 спиралей, в другую – 21 . Отношение 13/21 равно 0,62. У более крупных соцветий подсолнуха число соответствующих спиралей больше, но отношение числа спиралей, закручивающихся в разных направлениях также равно числу 0,62([Приложение 4 рис. 2).

По золотой спирали свёрнуты раковины многих улиток и моллюсков, некоторые пауки, сплетая паутину, закручивают нити вокруг центра по золотым спиралям. Рога архаров закручиваются по золотым спиралям. (Приложение 4 рис. 3; рис. 4; рис. 5.).

Природа повторяет свои находки, как в малом, так и в большом. По золотым спиралям закручиваются многие галактики, в частности и галактика Солнечной системы (Приложение 4 рис. 6).

Люди

Человек – венец творения природы… Установлено, что золотые отношения можно найти и в пропорциях человеческого тела (Приложение 3).

Начнём с пропорции головы человека (Приложение 4 рис.7).

Оказывается, что у большинства людей, верхняя точка уха, на рисунке это точка В, делит высоту головы вместе с шеей, т.е. отрезок АС, в золотом отношении.

Нижняя точка уха, точка D, делит в золотом отношении расстояние ВС, т.е. расстояние от верхней части уха до основания шеи.

Подбородок делит расстояние от нижней точки уха до основания шеи в золотом отношении, т.е. точка Е делит в золотом отношении отрезок DC .

Пропорции золотого сечения проявляются и в отношении других частей тела – длина плеча, предплечья и кисти, кисти и пальцев и т.д. (Приложение 4 рис. 8)

Перейдем к пропорциям тела.

Измерения нескольких тысяч человеческих тел позволили обнаружить, что пупок делит высоту человека в золотом отношении (Приложение 4 рис.9).

Основание шеи делит расстояние от макушки до пупка в золотом отношении.

Эти пропорции мы показали в изображении знаменитой скульптуры Аполлона Бельведерского. Аполлон считается образцом мужской красоты. Получается, что золотое сечение встречается и в архитектуре. Обратимся к этой теме более подробно.

Архитектура

Великолепные памятники архитектуры оставили нам зодчие Древней Греции (рис. 7). И среди них первое место по праву принадлежит Парфенону. Как указывает исследователь Г. И. Соколов, протяженность холма перед Парфеноном, длины храма Афины и участка за Парфеноном относятся как отрезки золотого сечения. Размеры Парфенона хорошо изучены. Ширина Парфенона оценена в 100 греческих футов (3089 см), а размер высоты несколько варьирует у различных авторов. Так, по данным Н. Бруно, высота Парфенона 61,8 , высота трех ступеней основания и колонны – 38,2 , высота перекрытия и фронтона – 23,6 футов. Указанные размеры образуют ряд золотой пропорции: 100 : 61,8 = 61,8 : 38,2 = 38,2 :23,6 1,6 = (Приложение 4 рис.10; рис. 11).

Рисунок 7. Памятники архитектуры

АВ:ВС=ВС:ВD= ВD:СD=

Многие исследователи, стремившиеся раскрыть секрет гармонии Парфенона, искали и находили в соотношениях его частей золотую пропорцию.

Золотое соотношение мы можем увидеть и в здании собора Парижской Богоматери (Нотр-дам де Пари) (Приложение 4 рис.13; рис. 14).

Живопись

Переходя к примерам «золотого сечения» в живописи, нельзя не остановить своего внимания на творчестве Леонардо да Винчи. Его личность одна из загадок истории. Сам Леонардо да Винчи говорил: “Пусть никто, не будучи математиком, не дерзнет читать мои труды”. Сам термин “золотое сечение” в живопись ввел Леонардо да Винчи.

Он говорил о пропорции человеческого тела: «Если мы человеческую фигуру – самое совершенное творение Вселенной – перевяжем поясом и отмерим потом расстояние от пояса до ступней, то эта величина будет относиться к расстоянию от того же пояса до макушки, как весь рост человека к длине от пояса до ступней» (Приложение 4 рис. 15).

Пропорциональный анализ Венеры убеждает нас в этом

Теперь перейду к исследованию картины Леонардо да Винчи «Мадонна в скалах» Голова Мадонны делит картину в золотом отношении по вертикали (Приложение 4 рис.16).

Но золотую пропорцию можно найти не только в изображении людей. Хорошо просматривается она и в пейзажах. Для исследования мы взяли картину «Корабельная роща» И.И. Шишкин (Приложение 4 рис. 17).

На этой знаменитой картине с очевидностью просматриваются мотивы золотого сечения. Ярко освещенная солнцем сосна (стоящая на первом плане) делит картину золотым

сечением по горизонтали. Справа от сосны - освещенный солнцем пригорок. Он делит картину золотым сечением по вертикали.

Таким образом, можно сделать вывод: Наличие в картинах ярких вертикалей и горизонталей, делящих ее в отношении золотого сечения, придает ей характер уравновешенности и спокойствия в соответствии с замыслом художника.

Фотография и «Золотое сечение»

Еще в эпоху Возрождения художники открыли, что любая картина имеет определенные точки, невольно приковывающие наше внимание, так называемые зрительные центры. При этом абсолютно неважно, какой формат имеет картина - горизонтальный или вертикальный. Таких точек всего четыре, они делят величину изображения по горизонтали и вертикали в золотом сечении, т.е. расположены они на расстоянии примерно 3/8 и 5/8 от соответствующих краев плоскости (Приложение 4 рис. 18; рис. 19).

Данное открытие у художников того времени также получило название «золотое сечение» картины. Поэтому, для того чтобы привлечь внимание к главному элементу фотографии, необходимо совместить этот элемент с одним из зрительных центров. Задаем вопрос: «Почему надо помещать объект в линию или точку золотого сечения?» Из психологии восприятия известно, что элемент сцены (камень, цветок, освещённое солнцем пятно на склоне горы), помещённые в точки золотого сечения, привлекают на себя внимание зрителя. Этим, безусловно, надо пользоваться для подчёркивания интересных, несущих смысловую нагрузку элементов сцены, или, наоборот, не помещать туда бессмысленные, несоответствующие художественному замыслу элементы.

Исследуя выбранную фотографию, приходим к выводу, что и здесь сработало правило золотого сечения - основа гармоничной и легко воспринимаемой композиции. Формально, правило золотого сечения заключается в расположении линий и объектов не посередине кадра, а немного сбоку - так, чтобы соотношение расстояний от, например, линии до ближней и до дальней границ кадра равнялось соотношению расстояния от линии до дальней границы к размеру всего кадра.

Из всего сказанного можно сделать выводы:

· Золотое сечение является отображением окружающегося мира

· Человеческое представление о красивом формировалось под влиянием порядка и гармонии

· Закономерности «Золотого сечения» заложены в подсознании человека, они использовались и используются архитекторами в своих работах.

С возрастом увеличивается количество людей, выбирающих Золотую пропорцию.

Золотое сечение имеет большое применение в нашей жизни. На летательных аппаратах с электромагнитными источниками энергии создаются прямоугольные ячейки с пропорцией золотого сечения.

Заключение

В результате исследовательской работы мы познакомились с понятием «золотое сечение», рассмотрели пропорцию, научились делить отрезок в золотом отношении, изучили золотой треугольник, золотой прямоугольник, спираль. Исследовали предметы на золотой прямоугольник, пропорцию человеческого тела, увидели пропорцию в окружающей нас природе: архитектуре, живописи, искусстве. Приобрели навыки исследовательской работы, опыт работы в поисковой системе Интернет. В своей работе мы хотели продемонстрировать красоту и широту «Золотого сечения» в реальной жизни. Проведенные исследования доказали, что многое в окружающем мире подчиняется правилу золотого сечения

С давних пор так повелось: все самое лучшее, ценное и желанное люди называли золотым. В трудах Пифагора, Платона, Аристотеля, Евклида часто упоминается о загадочном «Золотом сечении». Именно оно управляет всей нашей жизнью. Тайный смысл этого термина скрыт в глубинах философии, математики, физики, музыки, поэзии. Известно лишь, что он трактуется как гармония — стройное сочетание, взаимное соответствие предметов, явлений и частей, соединяющих их в единое целое. Законам «Золотого сечения», то есть абсолютной гармонии, подчиняются не только плоды человеческой деятельности, но и сам человек — его внутренние органы и системы, его душа, его мысли. С рождения человеку предписано находиться в гармонии с собой и с внешним миром. В конце своей работы хотим сказать, что окружающий нас мир - это прежде всего мир гармонии, в которой действует "закон золотого сечения".

Анализируя все вышеизложенное можно еще раз подивиться грандиозности процесса познания мира, открытием все новых его закономерностей и сделать вывод: принцип золотого сечения – высшее проявление структурного и функционального совершенства целого и его частей в искусстве, науке, технике и природе. Проведенные исследования привели нас к выводу, что выдвинутая нами гипотеза о том, что человек постоянно сталкивается с предметами, содержащими в основе «золотое сечение» верна. В дальнейшем мы продолжим исследование применения «золотого сечения» в музыке и литературе, в живой и неживой природе.

Список литературы

1. Азевич А.И. Двадцать уроков гармонии: гуманитарно-математический курс. - М.: Школа-пресс, 1998.

2. Волошинов А.В. Математика и искусство. М., 1992.

3. Мурадова Р. Обобщающий урок по теме «Золотое сечение». // Математика (Приложение к газете «Первое сентября»). - 1999. № 1.

4. Пидоу Д. Геометрия и искусство. – М.: Мир, 1989.

5. Самохвалова В.И. Красота против энтропии. М., 1990.

6. Энциклопедический словарь юного математика. М., 1989.

7. Васютинский Н.А. Золотая пропорция. — М.: Молодая гвардия, 1990.

8. Волошинов А.В. Математика и искусство. — М.: Просвещение, 2000.

9. Коробко В.И., Примак Г.Н. Человек и золотая пропорция. - Ставрополь, Кавказская библиотека, 1991. 174 c.

10. Ковалев Ф.В. Золотое сечение в живописи – К: Высшая школа, 1989, 32 с.

11. Шевелѐв И.Ш. Принцип пропорции в архитектуре. — М.: Стройиздат, 1986.

12. Вергазова О.Б. Золотая пропорция: от древнерусских саженей до современного дизайна // Математика в школе. М.: «Школа-Пресс», – 2007. – №8. – 96 с.

13. (http://www.goldenmuseum.com/index_rus.html.

14. http://www.photoline.ru/tcomp1.html.

15. http://arbuz.narod.ru/y_zol.html.

16. http://nt.ru/tp/iz/zs.html.

17. http://www.pskovedu.ru/?project_id=1928&pagenum=3157).

Приложение 1

«Золотой прямоугольник» учебников

учебник	ширина а (см)	длина в (см)	отношение а/в
Русский язык 6 кл.	16,9	21,8	0,77
История России 11кл	15	22	0,68
Химия 11кл.	14.8	22	0,67
Геометрия 11кл.	17	22	0.77
Литература 6 кл.	17	22,3	0,76
Тетрадь 48 листов	16,5	20,5	0,80
Биология 6 кл.	17	22,2	0,76
Английский язык	21	29,5	0,71
География11 кл.	17,1	22,3	0,76
Физика 11 кл.	14,7	22	0,66
Алгебра 11 кл.	15	22,2	0,67
Математика 6 кл.	16,7	22,2	0,75
Дневник	17	21,5	0,79

Из исследования можно сделать вывод, что форма учебников близка к золотому прямоугольнику.

Приложение 2

Золотая пропорция в природе

Выбрали растения, которые мы посчитали наиболее красивыми. Сделали необходимые измерения между тройками листьев и посчитали соответствующие отношения (с точностью до тысячных).

Данные измерений и вычислений занесены в следующую таблицу:

№	Название	АС	СВ	АВ	АС/СВ	СВ/АВ
1.	алое	2 см	2 см	4 см	1	0,5
2.	пандаус	3 см	5 см	8 см	0,6	0,625
3.	папоротник	2,2 см	2,4 см	4,6 см	0,916	0,521
4.	герань	1,5 см	2,5см	4 см	0,6	0,625

Из таблицы видно, что не все отношения получаются близкими к числу 0,618. Наиболее совершенным с точки зрения математики, оказался цветок под номером 4 герань . Следовательно, расположение листьев на стебле подчиняется «божественной пропорции».

Приложение 3

Пропорция человеческого тела

Фамилия ,имя	От головы до талии (а), см	От талии до пола (в), см	Отношение а / в
Никифоров Дмитрий	75	104	0,72
Булыгина Арина	57	95	0,6
Вахменко Виктория	63	106	0,59
Михеева Екатерина	55	90	0,61
Ямбаршев Матвей	54	87	0,62
Сидоркин Антон	54	90	0,6
Богданов Сергей	59	94	0,62
Строкатова Екатерина	56	87	0,64
Логинова Карина	57	97	0,58
Воронцов Роман	56	86	0,65

Из 10-ти человек, участвовавших в исследовании, наименьшее отклонение от золотой пропорции среди юношей и девушек имеют: Ямбаршев Матвей, Богданов Сергей, Михеева Екатерина.

Приложение 4