Правила и формулы дифференцирования

Стр 1 из 2Следующая ⇒

Раздел 3. Основные понятия и методы

Дифференциального и интегрального исчисления

Тема «Определение производной. Производная сложной функции» (Т9)

План лекции:

1. Задачи, приводящие к понятию «производная».

2. Приращение аргумента и функции.

3. Производная.

4. Нахождение производной функции.

5. Правила и формулы дифференцирования.

6. Производная сложной функции.

При изучении тех или иных процессов и явлений часто возникает задача определения скорости этих процессов. Ее решение приводит к понятию производной, являющемуся основным понятием дифференциального исчисления.

Метод дифференциального исчисления был создан в XVII и XVIII вв. С возникновением этого метода связаны имена двух великих математиков – И.Ньютона и Г.Лейбница.

Механическое истолкование производной было впервые дано И.Ньютоном. Оно заключается в следующем: скорость движения материальной точки в данный момент времени равна производной пути по времени.

Лейбниц пришел к открытию дифференциального исчисления при решении задачи о построении касательной к любой кривой, заданной уравнением.

Решение этой задачи имеет большое значение. Ведь скорость движущейся точки направлена по касательной к ее траектории, поэтому определение скорости снаряда на его траектории, скорости любой планеты на ее орбите сводится к определению направления касательной к кривой.

Определение сложному понятию «производная» мы будем давать на основании понятия более простого «Приращение функции».

Часто нас интересует не значение какой – либо величины, а ее изменение. Например, сила упругости пружины пропорциональна удлинению пружины; работа есть изменение энергии; средняя скорость – это отношение перемещения к промежутку времени, за который было совершено перемещение, и т. д.

Пусть дан график функции у=f(x).

Рассмотрим точку М₀ с абсциссой x_o. Пусть ∆х – это изменение абсциссы от точки x_oдо х, т.е. ∆х = х – x_o, M₀М – секущая, M₀N – касательная.

Рассмотрим две такие задачи.

Задача 1. Пусть дан график функции у=f(x).

Найдем:

а) угловой коэффициент секущей (это средняя скорость изменения функции);

б) угловой коэффициент касательной (подсказка: касательная – это предельное положение секущей)

Решение: у= f(x) – заданная функция, ∆х = х – x_o– изменениеабсциссы от точки x_o до х.

v_ср = . В нашем случае k_сек =

При х→х₀ (или ∆х →0)будет f(x)→f(x₀), следовательно, M₀М→ M₀N.

Тогда k _асс = .

Задача 2. Рассмотрим движение материальной точки М по прямой с выбранным на ней началом отсчета – точкой О. Расстояние от начала отсчета до точки М в каждый момент времени t обозначим буквой s. Тогда движение точки М будет описываться функцией

s = s (t), t[ t₀ ; t].

Найдем:

а) среднюю скорость за отрезок [t₀ ; t];

б) скорость точки в момент времени t₀ (мгновенную скорость).

Решение: За промежуток времени длительности t – t₀ между моментами времени t₀и t точка проходит путь равный s(t) –s(t₀ ).

Среднюю скорость получают, разделив перемещение материальной точки s на изменение времени, в течение которого оно совершено.

Тогда v_ср = ;

Чем меньше рассматриваемый промежуток времени, тем точнее можно охарактеризовать движение. А мгновенной скоростью называется число, к которому стремится разностное отношение средней скорости за промежуток времени от t₀до t при t→ t_0.

Тогда v_мгн = .

Подобные задачи рассматриваются и в экономике, и в анализе ценовой политики. Например: «цена товара напрямую зависит от расходов на производство» или «объем реализации некоторой продукции зависит от роста или снижения его цены».

А теперь давайте подведём итоги нашей исследовательской работы. Вы решали различные задачи, но все они привели к одной и той же математической модели: к числу, к которому стремиться отношение разности значений функции к разности значений аргумента. В русском языке для величины, на которую изменилось начальное количество, используется слово «прирост».

Приращение функции

Пусть нам дана какая- то функция y=f(x).

Проведем произвольную кривую линию и будем считать, что это график нашей функции.

Возьмем на оси ОХ первоначальное значение аргумент обозначим его Хо. Найдем графически соответствующее ему значение функции y₀= f ( x₀) .

Возьмем на оси ОХ новое значение аргумента, обозначим его x. Разность между новым значением аргумента x и первоначальным x₀ – это и есть приращение аргумента ∆x (дельта x).

Определение. Разность между новым значением аргумента и первоначальным называются приращение аргумента

∆х = х – х₀ – приращение аргумента ( дельта икс равно икс минус икс нулевое).

Из этого равенства следует, что

x= x₀+∆x

Найдем графически значение функции в точке x, то есть в точке x₀+ ∆x.

Определение. Разность между новым значением функции и первоначальным называется приращением функции.

Записывается так: ∆f = f ( x₀+∆x) – f ( x₀).

F(x₀+ ∆x) – новое значение функции (эф от икс нулевое плюс дельта икс).

F ( x₀) – первоначальное значение функции.

∆f – приращение к функции (дельта эф).

Пример №1. Дано: f(x)= ; X₀= -2; ∆X= 0.1

Найти приращение функции f в точке X₀, т.е. ∆f.

Решение:

1. Формула ∆f = f(x₀+ ∆x) – f (x₀)

2. X₀+ ∆X= -2+0.1=-1.9

3. f(x₀+∆x)=f(-1.9)=

4. f(x₀)=f(-2)=

5. ∆f= ;

Ответ: ;

Пример №2. Дано: f(x)=3x+1; x₀=5;∆x=0.001.

Найти: ∆f

Решение:

1. формула ∆f = f (x₀+∆x)-f(x₀)

2. x₀+∆x= 5+0.001=5.001;

3. f(x₀+∆x)=f(5.001)=3 · 5.001+1=15.003+1=16.003;

4. f(x₀)=f(5)=3· 5+1=16

5. ∆f=16.003-16=0.003

Ответ: 0,003.

Производная

Рассмотренные выше две задачи имели разные формулировки. Однако в обоих случаях мы действовали, по существу, придерживаясь одной схемы. В применении к произвольной функции f и любой точки X₀ ее области определения эта схема может быть описана следующим образом.

1) с помощью формулы, задающей функции f, находим ее приращение в точке X₀ :

Δf = f (х₀ + Δх) – f(х₀).

2) находим выражение для разностного отношения :

, которое затем преобразуем – упрощаем, сокращаем на Δх и т. п.

3) выясняем, к какому числу стремится , если считать, что Δх стремится к нулю.

Найденное таким образом число иногда называется (по аналогии с физикой) скоростью изменения функции f в точке х₀ или (что более принято) производной функции f в точке х₀.

Определение. Производной функции f в точке х₀ называется число, к которому стремится разностное отношение

при Δх, стремящемся к нулю.

Производная функции f в точке х₀ обозначается х), у′ – эти обозначения для производной ввел Жозеф Луи Лагранж.

Пример 1. Найдем производную функции f(х) = 5х + 3 в точке х₀.

Будем действовать по описанной выше схеме.

1) Δf = 5(х₀ + Δх) + 3 – (5х₀ + 3) = раскрываем скобки

= 5х₀ +5· Δх + 3 – 5х₀ – 3 = проводим сокращение

= 5Δх

2) При Δх → 0 получаем, что х) = 5.

Пример 3. Пользуясь определением и схемой вычисления производной, найдите производную функции f(х) = х².

Решение:

Аргументу х дадим приращение ∆х, тогда

∆f = f(x + ∆х) – f(x)=

= (x +∆х)² – х² =

= х²+ 2∙х∙∆х + (∆х)² – х²= 2∙х∙∆х + (∆х)² = ∆х∙(2х +∆х)

= 2х = 2х.

Итак, (х² )′ = 2х.

Рассмотрев последние два примера

можно по аналогии записать, что

или, например,

Итак, можно сделать вывод, что производная степенной функции в общем виде записывается так:

(xⁿ) ′ = nxⁿ^-1

Пример 4. Дана функция f(x)=9. Найти производную

Действуем по описанной выше схеме:

По определению производной (подставляя известные значения f (х₀) и f (х₀ + ∆х)) получаем

= 9 – 9/ ∆х (при ∆х ≠ 0 и ∆х → 0 ) = 0 / ∆х = 0

Вместо 9 могло быть любое другое постоянное число, обозначим буквой С [це] (константа).

Получили формулу - производная постоянной величины равна нулю.

Правила и формулы дифференцирования

Итак, мы уже знаем три формулы для нахождения производных:

= 0 (хⁿ)' = nx^n-1 x¹= 1

Пользуясь этими формулами и вспомогательными формулами действий над степенями из школьного курса.

и ,

выведем формулы для нахождения производных функций и

Получили формулу (*)

Пример. 1)

из формулы (*) следует формула

Найдем производную функции f(x)=

Будем использовать формулы:

Итак, получили новую формулу: производная корня квадратного имеет вид

Правила и формулы дифференцирования следует обязательно знать, чтобы не повторять каждый раз все выкладки при нахождении данной функции. Ведь существует бесконечное множество функций и с их усложнением непосредственное дифференцирование становится все более трудоемким.

Формулы дифференцирования