Сортировка массива простыми включениями
Обзор алгоритмов сортировки
Сортировка - это процесс перестановки объектов данного множества в определённом порядке. Цель сортировки - облегчить последующий поиск элементов в отсортированном множестве. Поэтому элементы сортировки присутствуют во многих задачах прикладного программирования.
Рассмотрим алгоритмы сортировки "на месте", то есть те алгоритмы в которых не используется копирование массива.
Удобной мерой эффективности алгоритмов сортировки "на месте" является число необходимых сравнений в ходе сортировки и число необходимых пересылок элементов.
Эффективные алгоритмы сортировки требуют порядка
сравнений, где N - число элементов, а С - число необходимых сравнений.
Мы рассмотрим простые методы сортировки, которые требуют число сравнений порядка
Методы сортировки "на месте" можно разбить на три основных класса:
сортировка выбором
сортировка вставками
сортировка обменом
В сортировке выбором выбирается элемент с наибольшим значением ключа и меняется местами с последним. Затем то же самое повторяется для s-1 элемента. Найденный элемент с наибольшим значением ключа меняется
 |
местами предпоследним элементом и т.д. (рисунок 1).
Рисунок 1. Сортировка простым выбором
В сортировке включениями элементы разделяются на уже упорядоченную и неупорядоченную последовательности. В начале упорядоченная часть содержит только один элемент. Очередной элемент из начала неупорядоченной части вставляется на подходящее место в упорядоченную часть. При этом упорядоченная часть удлиняется на один элемент, а неупорядоченная - укорачивается. Сортировка заканчивается при исчезновении неупорядоченной части (рисунок 2).
|
|
|
Рисунок 2. Сортировка простыми включениями
Основная характеристика сортировки обменом - перестановка местами двух соседних элементов, если они расположены не так, как требует отсортированный массив.
Рисунок 3. Сортировка простым обменом
В рассмотренной классификации существуют разные алгоритмы. Они отличаются сложностью, быстротой выполнения, последовательностью операций.
Например:
сортировка вставками;
пузырьковая сортировка;
корневая сортировка;
пирамидальная сортировка;
сортировка слиянием;
быстрая сортировка;
сортировка Шелла и др.
Рассмотрим подробнее основные типы и виды сортировок (сначала простые сортировки затем более сложные).
Сортировка массива простым выбором
Метод основан на следующем правиле:
Выбирается элемент с наибольшим значением ключа
Он меняется местами с последним элементом arr [s-1]. Затем эти операции повторяются с оставшимися первыми s-1 элементами, затем - с s-2 первыми элементами и т.д. до тех пор, пока не останется только первый элемент - наименьший. Пример сортировки методом простого выбора показан на рисунке 4:
|
|
|
Рисунок 4. Сортировка массива простым выбором
Эффективность сортировки простым выбором. Число сравнений ключей не зависит от начального порядка ключей. Операция сравнения выполняется в теле цикла с управляющей переменной kи средним числом повторений size/2. Этот цикл, в свою очередь, находится в теле цикла с управляющей переменной L и числом повторений size −1. Таким образом, число сравнений
С= (size −1) * size −1/2
Число пересылок, напротив, зависит от начального порядка ключей. Если принять, что операция сравнения в теле цикла по k дает результат "истина" в половине случаев, то среднее число пересылок в этом цикле равно size/4. Цикл по L, как указывалось выше, выполняется size −1 раз и в теле цикла выполняется три пересылки и цикл по k. С учетом этого число пересылок:
М= (3+ size/4) * (size −1)
Получаем, что при сортировке простым выбором и число сравнений, и число пересылок пропорционально 
.
|
|
|
Сортировка массива простыми включениями
Метод простых вставок предполагает разделение всего массива элементов на упорядоченную часть, которая вначале содержит лишь один элемент, и неупорядоченную. Очередной элемент из неупорядоченной части вставляется в определенное место упорядоченной части, проходя сравнение с ее элементами. При поиске подходящего места удобно чередовать сравнения и пересылки, т.е. как бы "просеивать" выбранный элемент, сравнивая его с очередным элементом a [j] и либо вставляя, либо пересылая a [i] направо и продвигаясь налево. Заметим, что "просеивание" может закончиться при двух различных условиях: найден элемент a [j] с ключом меньшим, чем ключ x или достигнут левый конец готовой последовательности.
При этом упорядоченная часть удлиняется на один элемент. Сортировка заканчивается при окончании неупорядоченной части.
При данной сортировке общее число сравнений приблизительно равно
,
При этом требуется количество проходов по данным P
 |
Рассмотрим пошагово сортировку методом простых вставок на рис.5
Рисунок 5. Пример сортировки массива простыми включениями
Число Ci сравнений ключей при i-м просеивании составляет самое большее i-1, самое меньшее 1 и, если предположить, что все перестановки n ключей равновероятны, в среднем равно i/2. Число Мi пересылок (присваиваний) равно Ci+2 (учитывая барьер). Поэтому общее число сравнений и пересылок есть
|
|
|
Cmin = n-1 Mmin = 2 (n-1)
Cср. = (n2+n-2) /4 Mср. = (n2+9n-10) /4
Cmax = ( (n2+n) - 1) /2 Mmax = (n2+3n-4) /2.
Алгоритм сортировки простыми включениями можно легко улучшить, пользуясь тем, что готовая последовательность a [1],…, a [i-1], в которую нужно включить новый элемент, уже упорядочена. Поэтому место включения можно найти значительно быстрее, применив бинарный поиск, который исследует средний элемент готовой последовательности и продолжает деление пополам, пока не будет найдено место включения.
Сортировка массива простым обменом ("метод пузырька")
Данный алгоритм основан на принципе сравнения и обмена пары соседних элементов до тех пор, пока не будут отсортированы все элементы массива.
Очевидно, что в наихудшем случае, когда минимальное значение ключа элемента имеется у самого правого элемента, число просмотров равно size −1.
ффективность сортировки. За один проход среднее число сравнений равно С=size/2. При этом среднее число возможных пересылок М=1.5*С (в предположении, что проверяемое условие выполняется в половине случаев). Минимальное количество проходов равно1, максимальное − size -1, а среднее − size/2.
Следовательно,
Сортировка Шелла
На рисунке 9 продемонстрирована сортировка методом Шелла:
Рисунок 9. Сортировка Шелла
На первом проходе отдельно группируются и сортируются все элементы, отстоящие друг от друга на четыре позиции. Этот процесс называется 4-сортировкой. В нашем примере из восьми элементов каждая группа содержит ровно два элемента. После этого элементы вновь объединяются в группы с элементами, отстоящими друг от друга на две позиции, и сортируются заново. Этот процесс называется 2-сортировкой. Наконец на третьем проходе все элементы сортируются обычной 1-сортировкой включением.
На каждом шаге в сортировке участвует либо сравнительно мало элементов, либо они уже довольно хорошо упорядочены и требуют относительно мало перестановок. Очевидно, что этот метод дает упорядоченный массив, и также совершенно ясно, что каждый проход будет использовать результаты предыдущего прохода, поскольку каждая i-сортировка объединяет две группы, рассортированные предыдущей 2i-сортировкой. Также ясно, что приемлема любая последовательность приращений, лишь бы последнее было равно 1, так как в худшем случае вся работа будет выполняться на последнем проходе. Однако менее очевидно, что метод убывающего приращения дает даже лучшие результаты, когда приращения не являются степенями двойки. Таким образом, программа разрабатывается вне связи с конкретной последовательностью приращений. Все t приращений обозначаются через
h1, h2,..., hn с условиями ht=1, hi+1 < hi.
Каждая h-сортировка программируется как сортировка простыми включениями, при этом, для того чтобы условие окончания поиска места включения было простым, используется барьер. Ясно, что каждая h-сортировка требует собственного барьера и что программа должна определять его место как можно проще.
ДЕРЕВО СРАВНЕНИЙ.
В качестве примера использования прохождения бинарного дерева можно привести один из способов сортировки. Допустим, мы имеем некоторый массив и пытаемся упорядочить его элементы по возрастанию. Сама сортировка при этом распадается на две фазы
1. построение дерева
2. прохождение дерева
Дерево строится по следующим принципам. В качестве корня создается узел, в который записывается первый элемент массива. Для каждого очередного элемента создается новый лист. Если элемент меньше значения в текущем узле, то для него выбирается левое поддерево, если больше или равен √ правое.
Рис. Сортировка по возрастанию с прохождением бинарного дерева
Для создания очередного узла происходят сравнения элемента со значениями существующих узлов, начиная с корня.
Во время второй фазы происходит прохождение дерева в симметричном порядке. Результатом сортировки является последовательность значений элементов, извлекаемых их пройденных узлов.
Для того чтобы сделать сортировку по убыванию, необходимо изменить только условия выбора поддерева при создании нового узла во время построения дерева.
Дата добавления: 2021-01-20; просмотров: 196; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!