Интегрирование методом подведения

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 3Следующая ⇒

Под знак дифференциала

Метод интегрирования «подведением под знак дифференциала» основан на свойстве инвариантности интеграла.

Таблицу интегралов можно переписать следующим образом:

Таблица 2

10.

11.

12.

13.

14.

15.

Основная формула, которую мы используем в этом параграфе, следующая:

Запишем таблицу подведения под знак дифференциала. Она похожа и на таблицу производных (дифференциалов) и на таблицу интегралов. Помним, что операция подведения под знак дифференциала есть операция интегрирования, так как под дифференциалом оказывается первообразная для функции, находящейся в левой части формулы перед dx .

Таблица 3

10.

11.

Примеры применения формулы 1 были разобраны в §2. Обратимся к другим формулам.

1. Найти

Применим формулу 5 из таблицы 3:

Тогда

Используя свойство инвариантности где и табличный интеграл получим

Легко проверить дифференцированием, что интеграл найден верно:

2. Найти

Решение.

Применим формулу 8 таблицы 3 и табличный интеграл 2 таблицы 2:

3. Найти

Решение.

Воспользуемся формулой 6 из таблицы 3.

4. Найти

Решение.

Воспользуемся формулой 3 из таблицы 3 и табличным интегралом 3 из таблицы 2.

5. Найти

Здесь нам придется применить подведение под дифференциал дважды. Сначала воспользуемся формулой 1 таблицы 3:

Теперь воспользуемся формулой 3 таблицы 3 и табличным интегралом 7 таблицы 2:

6. Найти .

Решение.

Сначала воспользуемся формулой 4 из таблицы 3, а затем формулой 9 таблицы 3 и табличным интегралом 2 таблицы 2:

7. Найти где a – любое число.

Решение.

Под дифференциалом нужно получить выражение Для этого используем формулы 1 и 2 из таблицы 3 и 2а таблицы 2.

Примеры для самостоятельного решения

Задание.	Ответ.
1.
2.
3.	(Рекомендуется внести в таблицу)
4.	(Рекомендуется внести в таблицу)
5.
6.
7.

Интегрирование по частям

Формула интегрирования по частям

где u, v – дифференцируемые функции.

Применение формулы целесообразно, если интеграл проще исходного интеграла или подобен ему.

В качестве u выбирается функция, которая упрощается в результате дифференцирования, а в качестве – оставшаяся часть подынтегрального выражения, из которой интегрированием можно найти . При этом – одна из первообразных, и, определяя , произвольную постоянную учитывать не будем.

Для некоторых интегралов можно дать общие рекомендации при интегрировании по частям. Эти рекомендации представим в виде таблиц.

Таблица 4

– многочлен от x степени n.

Примеры.

1 Найти .

Решение.

Пользуясь рекомендацией таблицы 4, выберем

, Далее следует найти du и v.

, так как

Заметим, что при нахождении указывается одна из первообразных (произвольная постоянная не нужна). Используя формулу интегрирования по частям, получаем

Итак, мы получили более простой интеграл Найдя его и добавив постоянную C, получаем все семейство первообразных и окончательный ответ:

В дальнейшем для удобства и наглядности будем оформлять запись подстановок определенным образом. Рассмотренный пример выглядит так:

1. Найти

Решение.

Пользуясь таблицей 4, выберем . Получим

3. Найти

Решение.

Обратите внимание на то, что в этом примере интегрирование по частям применено дважды. Причем, на первом этапе было видно, что мы на правильном пути, так как, понизив степень многочлена, мы уже упростили интеграл.

3. Найти