Пример расчёта сложной цепи методом контурных токов
Первый закон Кирхгофа
Формулировка №1: Сумма всех токов, втекающих в узел, равна сумме всех токов, вытекающих из узла.
Формулировка №2: Алгебраическая сумма всех токов в узле равна нулю.
I1 = I2 + I3 (1)
Второй закон Кирхгофа
: «Сумма падений напряжений в контуре равна сумме всех ЭДС».
Б) разветвлённаяцепь В каждой ветви течет свой ток. Ветвь можно определить как участок цепи, образованный последовательно соединенными элементами (через которые течет одинаковый ток) и заключенный между двумя узлами. В свою очередь узел – точка цепи, в которой сходятся не менее трех ветвей.
В) Независимый контур - это замкнутый участок электрической цепи, проложенный через ветви цепи, содержащий хотя бы одну новую ветвь, неиспользованную при поиске других независимых контуров. Независимый контур содержит не менее одной новой ветви.
На рисунке независимыми контурами являются:
R1, R2, R3
R5, R6
R2, R3, R4, R5, R10, R9, R8, R7.
3. а) Для составления уравнений по законам Кирхгофа необходимо: выбрать произвольно направления токов в ветвях и выбрать положительные направления обхода контуров.
Количество уравнений определяется количеством неизвестных токов.
Число уравнений по первому закону Кирхгофа на единицу меньше числа узлов:
По второму закону Кирхгофа составляется недостающее число уравнений, равное числу независимых контуров или ветвей без источников тока ( 
) за вычетом числа уравнений, составленных по первому закону
|
|
|
Произвольно выбираем направление токов в ветвях и направление обхода контуров. В схеме шесть ветвей. Необходимо составить систему из 
уравнений.
По первому закону составляем 
уравнения.
Для узла 1: 
.
Для узла 2: 
.
Для узла 3: 
.
Недостающие два уравнения составляем по второму закону Кирхгофа:
б)Баланс мощностей – сумма мощностей, потребляемых приемниками, равна сумме мощностей, отдаваемых источниками. То есть если источник ЭДС в цепи отдает 100 Вт, то приемники в этой цепи потребляют ровно такую же мощность.
4.
а)В методе контурных токов за неизвестные величины принимаются расчетные (контурные) токи, которые якобы протекают в каждом из независимых контуров. Таким образом, количество неизвестных токов и уравнений в системе равно числу независимых контуров цепи.
Расчет токов ветвей по методу контурных токов выполняют в следующем порядке:
1 Вычерчиваем принципиальную схему цепи и обозначаем все элементы.
2 Определяем все независимые контуры.
3 Произвольно задаемся направлением протекания контурных токов в каждом из независимых контуров (по часовой стрелке или против). Обозначаем эти токи. Для нумерации контурных токов можно использовать арабские сдвоенные цифры (I11, I22, I33 и т. д.) или римские цифры.
|
|
|
4 По второму закону Кирхгофа, относительно контурных токов, составляем уравнения для всех независимых контуров. При записи равенства считать, что направление обхода контура, для которого составляется уравнение, совпадает с направлением контурного тока данного контура. Следует учитывать и тот факт, что в смежных ветвях, принадлежащих двум контурам, протекают два контурных тока. Падение напряжения на потребителях в таких ветвях надо брать от каждого тока в отдельности.
5 Решаем любым методом полученную систему относительно контурных токов и определяем их.
6 Произвольно задаемся направлением реальных токов всех ветвей и обозначаем их. Маркировать реальные токи надо таким образом, чтобы не путать с контурными. Для нумерации реальных токов можно использовать одиночные арабские цифры (I1, I2, I3 и т. д.).
7 Переходим от контурных токов к реальным, считая, что реальный ток ветви равен алгебраической сумме контурных токов, протекающих по данной ветви.
При алгебраическом суммировании без изменения знака берется контурный ток, направление которого совпадает с принятым направлением реального тока ветви. В противном случае контурный ток умножается на минус единицу.
|
|
|
Пример расчёта сложной цепи методом контурных токов
В цепи, изображённой на рисунке 1, рассчитать все токи методом контурных токов. Параметры цепи: Е1 = 24 В, Е2 = 12 В, r1 = r2 = 4 Ом, r3 = 1 Ом, r4 = 3 Ом.
Рис. 1. Схема электрической цепи для примера расчета по методу контурных токов
Решение. Для расчета сложной цепи этим методом достаточно составить два уравнения, по числу независимых контуров. Контурные токи направляем по часовой стрелке и обозначаем I11 и I22 (см. рисунок 1).
По второму закону Кирхгофа относительно контурных токов составляем уравнения:
Решаем систему и получаем контурные токи I11 = I22 = 3 А.
Произвольно задаемся направлением реальных токов всех ветвей и обозначаем их. На рисунке 1 такими токами являются I1, I2, I3. Направление у этих токов одинаковое – вертикально вверх.
Переходим от контурных токов к реальным. В первой ветви протекает только один контурный ток I11. Направление его совпадает с направлением реального тока ветви. В таком случае реальный ток I1 + I11 = 3 А.
Реальный ток второй ветви формируется двумя контурными I11 и I22. Ток I22 совпадает по направлению с реальным, а I11 направлен навстречу реальному. В результате I2 = I22 - I11 = 3 - 3 = 0А.
|
|
|
В третьей ветви протекает только контурный ток I22. Направление этого тока противоположно направлению реального, поэтому для I3 можно записать I3 = -I22 = -3А.
б) Для определения токов в ветвях используется следующий алгоритм составления уравнений:
1. Определяют число ветвей (Nв) и число узлов (Nу) электрической цепи, что позволяет определить число уравнений, составляемых по первому закону Кирхгофа NI=Nу−1 (уравнения узлов) и по второму закону Кирхгофа NII=Nв−NI (уравнения контуров);
2. Произвольно задают направление токов во всех ветвях, кроме ветвей с источниками тока (токи источников предполагаются известными);
3. Для всех узлов цепи, кроме одного, выбранного произвольно, составляют уравнения по первому закону Кирхгофа, считая токи, направленные к узлу положительными, а от узла – отрицательными (или наоборот, но для всех узлов одинаково);
4. Произвольно выбирают на схеме цепи замкнутые контуры (пути перемещения вдоль ветвей схемы с возвратом в исходную точку) таким образом, чтобы:
• каждая ветвь цепи вошла, по крайней мере, в один контур,
• все контуры отличались друг от друга, по крайней мере, одной ветвью;
5. Для произвольно выбранных контуров числом Nк=NII=Nв−Nу+1 (Nв, − число ветвей; Nу − число узлов цепи)
• произвольно задают направление обхода каждого контура
• составляют уравнения по второму закону Кирхгофа, включая в левую часть уравнений падения напряжения на сопротивлениях контура, а в правую – ЭДС источников, действующих в контуре. При этом падения напряжения и ЭДС включают в уравнения с положительным знаком, если направление обхода контура совпадает с направлением тока в соответствующих сопротивлениях и направлением действия ЭДС источников. В противном случае они входят в уравнения с отрицательным знаком.
Схема электрической цепи на рисунке содержит 7 ветвей (Nв=7) и 4 узла (Nу=4). Точка соединения резистивных элементов R4 и R5 (e) не является узлом, а образует вместе с соединением R6 и R7 узел (d). Таким образом, для этой схемы нужно составить семь уравнений Кирхгофа: три уравнения для узлов (NI=Nу−1=4−1=3) и четыре уравнения для контуров (NII= Nв−NI=Nв−Nу+1=7−4+1=4).
5. а)
метод узловых потенциалов – один из методов анализа электрической цепи, который целесообразно использовать, когда количество узлов в цепи меньше или равно числу независимых контуров. Данный метод основан на составлении уравнений по первому закону Кирхгофа. При этом, потенциал одного из узлов цепи принимается равным нулю, что позволяет сократить число уравнений до n-1.
Рассмотрим пример
1 – Для начала примем узел 4 за базовый и будем считать его потенциал равным нулю.
2 - Составим уравнения по первому закону Кирхгофа для узла 1,2,3 (для узла 4 не составляем, так как это не требуется)
3 – Используя обобщённый закон Ома составим уравнения для нахождения каждого из токов (за ϕi берем потенциал узла из которого ток выходит, а за ϕ потенциал узла в который ток входит) Gi – проводимость i-ой ветви.
4 – Подставим полученные выражения для токов в уравнения из пункта 2, получим
Данная система уравнений записана для цепи состоящей из 4 узлов, а для n узлов справедливо
Проводимости G11,G22 и т.д. – сумма проводимостей сходящихся в узле (собственные проводимости), всегда берутся со знаком плюс. Проводимости G12,G21 и т.д. проводимости ветвей соединяющих узлы (общие проводимости), всегда берутся со знаком минус.
Если источник тока или ЭДС направлен к узлу, то берем со знаком плюс, в противном случае со знаком минус.
5 – Решив систему уравнений из пункта 4 любым доступным способом, найдем неизвестные потенциалы в узлах, а затем определим с помощью них токи.
Правильность решения проверим с помощью баланса мощностей
б)
6. Этот метод заключается в том, что воздействие нескольких источников на какой либо элемент цепи можно рассматривать как результат воздействия на элемент каждой ЭДС по отдельности независимо от других источников.
Если в рассчитываемой цепи присутствует несколько источников ЭДС, то расчет электрической цепи сводится к расчету нескольких цепей с одним источником.Ток в любой ветви рассматривается как алгебраическая сумма частных токов созданных каждой ЭДС по отдельности.
Рассмотрим метод наложения на примере данной схемы рисунок 1.
Дано:
E1=100 B, E2=50 B; R1=4 Om, R2=10 Om; R3=12 Om, r01=1Om, r02=2 Om.
Найти: Все токи.
Порядок расчета:
1. Определяем количество источников в схеме. В данной схеме два источника, значит нам нужно рассчитать две схемы. 
2. Предположим, что в цепи действует только Е1 рисунок 2. Укажем на этой схеме направление частных токов создаваемые источником Е1 (токи обозначим с одним штрихом I’1; I’2: I’3). Обратите внимание, если у источника (E1; E2) есть внутреннее сопротивление (r01; r02), то при исключения данного источника его внутренне сопротивление остоётся в схеме.
3. Найдем ток I’1. Rэкв — сопротивление всей цепи. 
4. Найдем ток I’2; I’3 по формуле разброса токов. 
5. Мы нашли все частные токи в первой схеме (рисунок 2).
6. 
Рассмотрим вторую схему без E1, но с E2 (рисунок 3). Укажем на этой схеме направление частных токов создаваемые источником Е2 (токи обозначим с двумя штрихами I»1; I»2: I»3)
7. Найдем ток I»2. RЭКВ рассчитываем заново. 
8. Найдем токи I»1; I»3 по формуле разброса токов. 
9. Мы нашли все частные токи для второй схемы (рисунок 3).
10. Найдем действующие токи в изначальной схеме (рисунок 1) путем алгебраического сложения частных токов первой (рисунок 2) и второй (рисунок 3) схемы. Для этого смотрим как направлены токи в одинаковых ветвях на рисунке 2 и 3. Если токи направлены в одном направлении, то тогда они складываются, а если токи направлены в разные стороны тогда отнимаем. 
11. Если конечные токи получаются положительные, то токи направлены так же как на рисунке 2, а если токи получились отрицательными, то тогда они направлены так же как на рисунке 3.
12. Правильность решения можно проверить при помощи баланса мощности.
7. Суть метода эквивалентного генератора состоит в нахождении тока в одной выделенной ветви, при этом остальная часть сложной электрической цепи заменяется эквивалентным ЭДС Еэкв, с её внутренним сопротивлением rэкв. При этом часть цепи, в которую входит источник ЭДС называют эквивалентным генератором или активным двухполюсником, откуда и название метода.
Для наглядности рассмотрим схему представленную ниже. Допустим, что R1=5 Ом, R2=7 Ом, R3=10 Ом, Rab=3 Ом, E=10 В.
Согласно методу эквивалентного генератора получим схему
Искомый ток Iab находится по закону Ома для полной цепи
Для нахождения тока нужно узнать Еэкв и rэкв с помощью режимов эквивалентного генератора.
Для того чтобы найти эквивалентную ЭДС, нужно рассмотреть режим холостого хода генератора, другими словами нужно отсоединить исследуемую ветвь ab, тем самым избавив генератор от нагрузки, после чего он будет работать на так называемом холостом ходу.
Напряжение холостого хода Uх, будет равно эквивалентной ЭДС Eэкв. Таким образом мы можем найти Eэкв.
Следующим этапом решения задачи будет нахождение эквивалентного сопротивления rэкв. Можно воспользоваться режимом короткого замыкания генератора, при котором сопротивление Rab отсутствует, но в более сложных схемах это может привести к более громоздким расчётам, поэтому найдем rэкв как входное сопротивление пассивного двухполюсника. Пассивным называется двухполюсник у которого отсутствуют источники ЭДС. Простыми словами нужно убрать во внешней цепи источник ЭДС и найти сопротивление цепи, так и поступим.
Эквивалентное сопротивление rэкв равно ( тем, кто не умеет находить эквивалентное сопротивление, нужно прочитать статью виды соединения проводников )
Итак, найдя эквивалентные ЭДС и сопротивление, мы можем найти силу тока в ветви ab
б)Электродвижущая сила — скалярная физическая величина, характеризующая работу сторонних сил действующих в квазистационарных цепях постоянного или переменного тока. В замкнутом проводящем контуре ЭДС равна работе этих сил по перемещению единичного положительного заряда вдоль всего контура.
8. а)
б) Основные параметры импульсного сигнала и импульсной последовательности сигналов: амплитуда (размах) импульса, длительность импульса, длительности фронта, среза, период и частота импульсной последовательности.
9. а) Так как синусоидальный переменный ток является функцией периодической, его можно рассматривать как «стационарный» процесс. В большинстве случаев оказывается достаточным знать амплитуды токов и напряжений, а также фазовые сдвиги между ними, не интересуясь их мгновенными значениями. На комплексной плоскости это означает, что можно перейти во вращающуюся систему координат, сделав векторы Um и Im «неподвижными». При этом в комплексном представлении токов и напряжений убираются переменные составляющие фаз
, 
. (2.2.1)
Из уравнения 2.1.4 видно, что цепь переменного синусоидального тока (подобно цепям постоянного тока) может быть описана алгебраическим уравнением с той лишь разницей, что все физические величины (токи, напряжения, сопротивления) представляются в виде комплексных чисел. Это означает, что к цепям переменного синусоидального тока можно применить все методы расчета электрических цепей, рассмотренные для цепей постоянного тока.
Сформулированный подход обычно называют методом комплексных амплитуд, или символическим методом расчета электрических цепей. Этот метод кратко можно охарактеризовать следующим образом:
Синусоидальные функции токов и напряжений заменяются комплексными числами.
Дифференциальные уравнения заменяются алгебраическими, в которых токи, напряжения, сопротивления, проводимости представлены в виде комплексных чисел.
Токи и напряжения рассматриваются вне времени (в показателях экспонент отбрасываются переменные составляющие фаз w t), на комплексной плоскости амплитуды токов и напряжений изображаются неподвижными векторами.
Результаты решений получают в виде комплексных чисел. Чтобы получить реальные значения токов и напряжений, берут мнимые части комплексных чисел и в аргумент добавляют переменную w t.
 Рис. 2.2.1
|
Расчет цепей синусоидального переменного тока обычно сопровождается изображением амплитуд токов и напряжений на комплексной плоскости, что позволяет придать решению наглядный вид и избежать грубых ошибок.
10. Б) В электротехнике сдвиг фаз между напряжением и током определяет коэффициент мощности в цепях переменного тока. ... При противофазном включении обмоток трансформатор изменяет полярность мгновенного напряжения на противоположную, в случае синусоидального напряжения сдвигает фазу на 180
В)Временная диаграмма- это зависимость переменной от времени t или от угла , если начальная фаза положительна, то она откладывается влево от начала координат, ели отрицательна- вправо.
Построим временную диаграмму для двух переменных
Временная диаграмма
Угол сдвига фаз равен 
Любую синусоиду можно изобразить вектором. Длина, которого равна максимальному или действующему значению и расположен он под углом, равным начальной фазе к положительному направлению горизонтальной оси. Если начальная фаза положительна она откладывается вверх, если отрицательна - вниз.
11. Ток и напряжения при последовательном соединении резистивного, индуктивного и емкостного элементов
Пусть в ветви (рис. 3.8), состоящей из последовательно соединенных элементов r , L и С, т. е. в последовательном контуре или rLC-цепи, известен ток
Выясним, каковы напряжения на отдельных элементах и на входе.
На основании второго закона Кирхгофа
В)
12.На рис. 5.1 представлена электрическая цепь, состоящая из двух ветвей, которая относится к разветвленным электрическим цепям и в общем случае содержит элементы R1, L и R2, C.
Для этой цепи справедлив первый закон Кирхгофа, записанный в комплексной форме:
13.
14.
15.
Дата добавления: 2021-01-20; просмотров: 914; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!