Классификация линий второго порядка
С помощью специального комплекса действий любое уравнение линии второго порядка приводится к одному из следующих видов:
( 
и 
– положительные действительные числа)
1) 
– каноническое уравнение эллипса;
2) 
– каноническое уравнение гиперболы;
3) 
– каноническое уравнение параболы;
4) 
– мнимый эллипс;
5) 
– пара пересекающихся прямых;
6) 
– пара мнимых пересекающихся прямых (с единственной действительной точкой пересечения в начале координат);
7) 
– пара параллельных прямых;
8) 
– пара мнимых параллельных прямых;
9) 
– пара совпавших прямых.
У ряда читателей может сложиться впечатление неполноты списка. Например, в пункте № 7 уравнение задаёт пару прямых 
, параллельных оси 
, и возникает вопрос: а где же уравнение 
, определяющее прямые 
, параллельные оси ординат? Ответ: оно не считается каноническим. Прямые представляют собой тот же самый стандартный случай , повёрнутый на 90 градусов, и дополнительная запись в классификации избыточна, поскольку не несёт ничего принципиально нового.
Таким образом, существует девять и только девять различных видов линий 2-го порядка, но на практике наиболее часто встречаются эллипс, гипербола и парабола.
Сначала рассмотрим эллипс. Как обычно, я акцентирую внимание на тех моментах, которые имеют большое значение для решения задач, и если вам необходим подробный вывод формул, доказательства теорем, пожалуйста, обратитесь, например, к учебнику Базылева/Атанасяна либо Александрова.
Эллипс и его каноническое уравнение
Правописание… пожалуйста, не повторяйте ошибок некоторых пользователей Яндекса, которых интересует «как построить эллибз», «отличие элипса от овала» и «эксцентриситет элебса».
Каноническое уравнение эллипса имеет вид 
, где 
– положительные действительные числа, причём 
. Само определение эллипса я сформулирую позже, а пока самое время отдохнуть от говорильни и решить распространённую задачу:
Как построить эллипс?
Да, вот взять его и просто начертить. Задание встречается часто, и значительная часть студентов не совсем грамотно справляются с чертежом:
Пример 1
Построить эллипс, заданный уравнением 
Решение: сначала приведём уравнение к каноническому виду:
Зачем приводить? Одно из преимуществ канонического уравнения заключается в том, что оно позволяет моментально определить вершины эллипса, которые находятся в точках 
. Легко заметить, что координаты каждой из этих точек удовлетворяют уравнению .
В данном случае 
:
Отрезок 
называют большой осью эллипса;
отрезок 
– малой осью;
число 
называют большой полуосью эллипса;
число 
– малой полуосью.
в нашем примере: 
.
Чтобы быстро представить, как выглядит тот или иной эллипс достаточно посмотреть на значения «а» и «бэ» его канонического уравнения.
Всё ладно, складно и красиво, но есть один нюанс: я выполнил чертёж с помощью программы. И вы можете выполнить чертёж с помощью какого-либо приложения. Однако в суровой действительности на столе лежит клетчатый листок бумаги, и на наших руках водят хороводы мыши. Люди с художественным талантом, конечно, могут поспорить, но мыши есть и у вас тоже (правда, поменьше). Таки не зря человечество изобрело линейку, циркуль, транспортир и другие нехитрые приспособления для черчения.
По этой причине нам вряд ли удастся аккуратно начертить эллипс, зная одни вершины. Ещё куда ни шло, если эллипс небольшой, например, с полуосями 
. Как вариант, можно уменьшить масштаб и, соответственно, размеры чертежа. Но в общем случае крайне желательно найти дополнительные точки.
Существует два подхода к построению эллипса – геометрический и алгебраический. Построение с помощью циркуля и линейки мне не нравится по причине не самого короткого алгоритма и существенной загроможденности чертежа. В случае крайней необходимости, пожалуйста, обратитесь к учебнику, а в реальности же гораздо рациональнее воспользоваться средствами алгебры. Из уравнения эллипса на черновике быстренько выражаем:
Далее уравнение распадается на две функции:
– определяет верхнюю дугу эллипса;
– определяет нижнюю дугу эллипса.
Заданный каноническим уравнением эллипс симметричен относительно координатных осей, а также относительно начала координат. И это отлично – симметрия почти всегда предвестник халявы. Очевидно, что достаточно разобраться с 1-й координатной четвертью, поэтому нам потребуется функция 
. Напрашивается нахождение дополнительных точек с абсциссами 
. Настукаем три смс-ки на калькуляторе:
Безусловно, приятно и то, что если допущена серьёзная ошибка в вычислениях, то это сразу выяснится в ходе построения.
Отметим на чертеже точки 
(красный цвет), симметричные точки на остальных дугах (синий цвет) и аккуратно соединим линией всю компанию:
Первоначальный набросок лучше прочертить тонко-тонко, и только потом придать нажим карандашу.
Дата добавления: 2021-01-20; просмотров: 82; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!