ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
Метод непосредственного интегрирования
Метод интегрирования, при котором данный интеграл путём тождественных преобразований подынтегральной функции (или выражения) и применения свойств неопределённого интеграла приводится к одному или нескольким табличным, называется непосредственным интегрированием
Замечание
Под тождественными преобразованиями будем понимать:
- применение формул элементарной математики;
- почленное деление числителя подынтегрального выражения на знаменатель;
- дополнительные или искусственные преобразования, которые не нарушают равносильности выражения.
2.1.10 Интегрирование алгебраических функций
Выполните самостоятельно
1 | 2 | 3 | 4 |
2.1.2
2.1.3
2.1.4
Выполните самостоятельно
5 | 6 | 7 | 8 | ||||
9 | 10 | 11 | 12 |
Указания: 8 Примените формулу
9 Числитель ПФ разложите на множители:
10 В числителе ПФ примените формулу:
11 Числитель ПФ разложите на множители:
2.1.20 Интегрирование тригонометрических функций
2.1.5
2.1.6
|
|
2.1.9 =|примените формулу: |= = |примените формулу |= = =| примените формулы |=
Выполните самостоятельно
13 | 14 | 15 | 16 |
Указание В интегралах 13,14 примените формулу и выполните почленное деление числителя ПФ на знаменатель.
2.1.30 Интегрирование дробно- рациональных функций с помощью дополнительных преобразований
Замечание При вычислении неопределенных интегралов непосредственным способом применяются дополнительные или искусственные преобразования, не нарушающие равносильности подынтегральной функции.
Рассмотрите на конкретных примерах
Выполните самостоятельно
17 | 18 | 19 | 20 | ||||
21 | 22 | 23 | 24 |
Метод интегрирования подстановкой (замена переменной)
Метод интегрирования подстановкой заключается во введение новой переменной интегрирования (т.е. подстановки). При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводится (в случае «удачной» подстановки). Умение правильно определить подстановку приобретается практикой. Тем не менее, рассмотрим несколько общих подходов (назовем их правилами) к данному методу, что позволит систематизировать умение интегрировать методом подстановки и определять новую переменную.
|
|
2.2.10 Интегрирование функций (табличные интегралы) к аргументу, которых прибавляется постоянная величина
Рассмотрим некоторые табличные интегралы к аргументу, которых прибавляется (вычитается) постоянная величина .
2.2.1
Решение. Введем подстановку x +2 = t (*). Найдем дифференциал от правой и левой частей равенства (*), получим:
, ,
Подставим вместо x +2 и их значения через t в данный интеграл, получим:
Легко заметить, что формулы интегрирования сохраняют инвариантность (вид). В данном случаи степенная функция интегрируется по аргументу (х+2).
2.2.2
Правило 1
Если к аргументу подынтегральной функции прибавляется (вычитается) постоянная величина , то формулы интегрирования сохраняют инвариантность |
2.2.3
2.2.20 Интегрирование функций (табличные интегралы) аргумент, которых умножается на постоянную величину
|
|
Рассмотрим некоторые табличные интегралы аргумент, которых умножается на постоянную величину
2.2.4
Решение. Введем подстановку 3 x = t (*). Найдем дифференциал от правой и левой частей равенства (*), получим:
, ,
Подставим вместо и их значения через t в данный интеграл, получим:
| заменим t его выражением через x|=
Замечание В дальнейшем процедура решения, представленная, в примерах 32, 35 будет записываться в виде:
.
Правило 2
Если аргумент подынтегральной функции умножается на постоянную величину , то формулы интегрирования сохраняют инвариантность, результат интегрирования умножается на число . |
2.2.6
2.2.7
Замечание. Правила 1 и 2 к подынтегральной функции могут применяться одновременно.
2.2.8 2.2.9
2.2.10
2.2.11
2.2.12
При интегрирование тригонометрических функций и применяются формулы понижения степени :
|
|
и
Выполните самостоятельно
25 | 26 | 27 | 28 | ||||
29 | 30 | 31 | 32 |
2.2.30 Интегралы вида: ,
Интегралы данного вида находятся путем выделения полного квадрата из данного
квадратного трехчлена по формуле:
(**) и применения правил 1,2.
Интеграл , после выделения полного квадрата сводится к формулам 9 или 10.
Интеграл , после выделения полного квадрата сводится к формулам 8 или
11.
2.2.14 |выделите в знаменатели ПФ полный квадрат по формуле (**)| =
2.2.16 =
(сомножитель (-1) внесем в квадратные скобки, получим ) =
Выполните самостоятельно
33 | 34 | 35 | 36 |
2.2.40 Интегрирование дробных функций (рациональных или иррациональных), когда в знаменатели или под корнем в знаменатели стоит функция, производная которой равна числителю (или приводится к числителю).
Интегралы этого вида находятся путем замены многочлена стоящего в знаменателе ПФ новой переменной
2.2.17
Замечаем, что производная знаменателя ПФ , отличается от числителя только постоянным множителем. Выполним интегрирование, за новую переменную примем
2.2.18
Легко заметить, что если в числителе стоит производная знаменателя, то интеграл всегда равен натуральному логарифму знаменателя.
2.2.19
2.2.20
Правило 3
Если под знаком интеграла стоит дробная функция (рациональная или иррациональная), в знаменателе которой или под корнем в знаменателе содержится функция, производная которой равна числителю (или приводится к числителю), то интеграл вычисляется способом замены переменной, причем функция, стоящая в знаменатели обозначается за t . где или где , то |
Выполните самостоятельно
37 | 38 | 39 | 40 | ||||
41 | 42 | 43 | 44 |
2.2.50 Интегралы вида:
Рассмотрим интегралы, в которых ПФ представлена как произведение сложной функции и производной ее промежуточного аргумента. В этом случае промежуточный аргумент принимается за новую переменную t .
Например
Функция сложная, ее промежуточный аргумент равен , производная которого содержится в ПФ, поэтому интеграл сводится к табличному подстановкой . Действительно
=
Рассмотрите интегралы данного вида
2.2.23 =
2.2.25
2.2.26
2.2.27
2.2.28
2.2.29
Выполните самостоятельно
45 | 46 | 47 | 48 | ||||
49 | 50 | 51 | 52 | ||||
53 | 54 | 55 | 56 | ||||
57 | 58 | ò | 59 | 60 |
Правило 4
Если под знаком интеграла стоит сложная функция в произведение с производной своего промежуточного аргумента , то интеграл вычисляется способом замены переменной, причем промежуточный аргумент обозначается за t . , |
Замечание Используя правило 4 вычисляются интегралы, которые с помощью подстановки сводятся к табличным интегралам по формулам 8-11. (Обратите внимание, что данные интегралы имеют «специфический» вид).
2.2.30
2.2.31
2.2.32
2.2.33
Выполните самостоятельно
61 | 62 | 63 | 64 | ||||
65 | 66 | 67 | 68 | ||||
69 | 70 | 71 | 72 |
Указания:
66 Представьте , обозначьте
68 Представьте , обозначьте
70 Обозначьте и распишите
2.2.60 Интегрирование простейших иррациональных функций
В данном пункте рассмотрим интегралы вида: , которые находятся
подстановкой , , ( Правило 5 )
При интегрировании иррациональных функций с помощью подстановки необходимо
избавиться от иррациональности (корня).
2.2.34
2.2.35
Замечание. Этот способ интегрирования применяется и в том случае, когда под корнем стоит трансцендентная функция.
2.2.37
Выполните самостоятельно
73 | 74 | 75 | 76 | ||||
77 | 78 | 79 | 80 |
2.2.70 Интегрирование с помощью преобразования подынтегральной функции
Иногда, прежде чем найти интеграл необходимо выполнить преобразования ПФ (применить формулы элементарной математики, почленное деление числителя ПФ на знаменатель).
2.2.38 ;
Обозначим данный интеграл I, тогда
2.2.39 ;
Выполните самостоятельно
81 | 82 | 83 | 84 | ||||
85 | 86 | 87 | 88 | ||||
89 | 90 | 91 | 92 |
Указания:
86 Обозначьте , тогда
88 Обозначьте , тогда
89 Обозначьте и распишите
90 Обозначьте , тогда
91 Помножьте числитель и знаменатель ПФ на 2 и воспользуйтесь формулой
ВНИМАНИЕ Если вы хорошо овладели интегрированием методом подстановки, то
должны уметь применять этот метод и в нестандартных интегралах.
2.2.40
Способ 1
Способ 2
Способ 3 , далее как способом 2.
Дата добавления: 2021-01-20; просмотров: 60; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!