ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЗНЫХ ФУНКЦИЙ

ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

1. Интегралы вида ,где R— рациональная функция.

Интегралы указанного вида приводятся к интегралам от рациональных функций с помощью так называемой универсальной тригонометрической подстановки tg ( x /2) = t.

В результате этой подстановки имеем:

1472. Найти интеграл

Решение.

Подынтегральная функция рационально зависит от sin x и cos x ; применим подстановку tg ( x /2) = t , тогда и

Возвращаясь к старой переменной, получим

▲

1473. Найти интеграл

Решение.

Полагая tg ( x /2) = t , получим

▲

Универсальная подстановка tg ( x /2)= t во многих случаях приводит к сложным вычислениям, так как при ее применении sin x и со sx: выражаются через t в виде рациональных дробей, содержащих t ² .

В некоторых частных случаях нахождение интегралов вида может быть упрощено.

1. Если R ( sinx , cos x ) — нечетная функция относительно sinx , т. е. если R ( — sin x , cosx ) =— R ( sin x , cosx ), то интеграл рационализируется подстановкой cosx = t .

2. Если R ( sinx , cosx )—нечетная функция относительно cosx , т. е. если R(sinx, —cosx) = —R (sin x , cos x ), то интеграл рационализируется с помощью подстановки sin x = t .

3. Если R (sin x , cos x ) — четная функция относительно sin x и cosx, т. е. если R (—sinx, — cosx ) = R (sin x , cosx), то к цели приводит подстановка tgx = t .

1474. Найти интеграл

Решение. Так как подынтегральная функция нечетна относительно синуса, то полагаем cosx = t . Отсюда sin ² x =1, cos 2 x = 2 cos ² x -1 =2 t ² -1, dt = - sinxdx . Таким образом,

Следовательно

Отметим, что в рассматриваемом случае интеграл всегда может быть записан виде

▲

1475. Найти интеграл .

Решение.

Здесь подынтегральная функция является нечетной относительно косинуса. Поэтому применяем подстановку sinx = t; тогда cos ² x = 1 — sin ² x = 1— t², cosxdx = dt . Следовательно,

Так как

то

Окончательно получаем

Отметим, что в рассматриваемом случае интеграл всегда может быть записан в виде . ▲

1476. Найти интеграл

Решение.

Подынтегральная функция четна относительно синуса и косинуса. Полагаем tgx = t; тогда

Отсюда

Далее имеем

и, следовательно,

Заметим, что нахождение интеграла можно упростить, если в исходном интеграле разделить числитель в знаменатель на cos²x:

▲

2. Интегралы вида . Мы выделим здесь два случая, имеющие особенно важное значение.

С л у ч а й 1. По крайней мере одни из показателей т или n —нечетное положительное число.

Если п — нечетное положительное число, то применяется подстановка sinx = t; если же т — нечетное положительное число, — подстановка cosx = t .

1477. Найти интеграл .

Решение.

Полагая sinx = t , cosxdx = dt , получим

▲

14 78 . Найти интеграл

Решение.

Имеем

Полагая cos x = t , — sin x dx = dt , получим

▲

С л у ч а й 2. Оба показателя степени т и n — четные положительные числа. Здесь следует преобразовать подынтегральную функцию с помощью формул

, (1)

, (2)

. (3)

1479. Найти интеграл

Решение.

Из формулы (1) следует, что

Применив теперь формулу (2), получаем

Итак,

▲

1480. Найти интеграл

Решение. Используя формулу (3), получим

1481. Найти интеграл

Решение. Имеем

3. Интегралы вида tg^m x dx и ctg^m x dx, где m — целоеположительное число.

При нахождении таких интегралов применяется формула tg ² x = sec ² x — 1 (или ctg ² x = cosec ² x — 1), с помощью которой последовательно понижается степень тангенса или котангенса.
14 82 . Найти интеграл

Решение. Имеем

1483. Найти интеграл

Решение. Имеем

4. Интегралы вида и , где п — четное положительное число. Такие интегралы находятся аналогично рассмотренным в п. 3 с помощью формулы

sec² x = 1 + tg² x (или cosec² x = 1 + ctg² x).

14 84 . Найти интеграл .

Решение. Имеем

1459. Найти интеграл

Решение. Имеем

5. Интегралы вида и .Интегралы от нечетной положительной степени секанса или косеканса проще всего находятся по рекуррентным формулам:

(1)

(2)

1460. Найти интеграл

Решение. Применяя рекуррентную формулу (2) при2 n +1=5, т. е. при n = 2, получим

полагая теперь 2 n +1=3, т. е. n=1, по той же формуле имеем

нo

Следовательно,

6. Интегралы вида .

Тригонометрические формулы

sin α cos β= [sin (α + β) + sin (α — β)], (1)

cos α cos β = = [cos (α + β) + cos (α — β)], (2)

sin α sin β= [cos (α— β) —cos(α + β)] (3)

дают возможность произведение тригонометрических функций представить в виде суммы.

1487. Найти интеграл .

Решение. Используя формулу (1), получим

14 88 . Найти интеграл .

Решение. Применим к произведению cos x cos ( x /2) - формулу (2):

Снова используя ту же формулу, находим

Найти интегралы:

1489. 1490.

1491. 1492.

Указание: положить ctgx = t .

1493. 1494. 1495.

1496. 1497.

1498. 1499.

1500. 1501.

1502. 1503.

1504. 1505.

7. Тригонометрические подстановки. Интегралы вида приводятся к интегралам от рациональной относительно sin t и cos t функции с помощью надлежащей тригонометрической подстановки: для первого интеграла x = a sin t (или x = a cos t), для второго x = a tg t (или x = ctg t) и для третьего x = a sec t (или x = acosect).