Сфера и шар. Элементы сферы и шара
Тела вращения
Понятие тел вращения 1
1. Пусть дана прямая l , точка M , не принадлежащая прямой l . Через точку M проведем плоскость, перпендикулярную прямой l . В этой плоскости рассмотрим окружность с центром в точке O - пересечения прямой и плоскости и радиусом OM .
Говорят, что эта окружность получена при вращении точки M вокруг оси l ,
т.е. окружность – фигура вращения точки вокруг оси. 
2. Если в плоскости прямой l рассматривается некоторая фигура F , то фигура вращения рассматривается как фигура, полученная при вращении множества точек фигуры F ).
3. При вращении отрезка, перпендикулярного оси вращения может получиться:
а) круг); 
б) кольцо.
4. При вращении отрезка, параллельного оси вращения получится
цилиндрическая поверхность. 
5. При вращении отрезка не параллельного и не перпендикулярного оси вращения получится
а) коническая поверхность 
б) поверхность усеченного конуса
Цилиндр
Определения
Цилиндром называется фигура, полученная при вращении прямоугольника
вокруг прямой, содержащей его сторону.
Прямая С D 1 - ось цилиндра. 
Образующей цилиндра называется сторона AB прямоугольника ABCD ,
при вращении прямоугольника она образует боковую поверхность
цилиндра.
Основания цилиндра – это круги, которые образуются от вращения
сторон DA и BC прямоугольника ABCD
|
|
|
Полная поверхность цилиндра состоит из двух его оснований и боковой
поверхности.
Высота цилиндра – отрезок перпендикуляра к основаниям цилиндра,
заключенный между этими основаниями.
Осевое сечение цилиндра - прямоугольник( MNPQ ), полученный при
пересечении плоскости, проходящей через ось цилиндра
перпендикулярно его основаниям.
Развертка боковой поверхности цилиндра - прямоугольник , длина одной из сторон которого равна высоте цилиндра, а длина другой стороны – длине окружности основания цилиндра.
Сечения цилиндра плоскостью 4
1.Сечение,проходящее через две образующие цилиндра есть
прямоугольник ( KFEL ). Оно параллельно оси цилиндра.
2. Сечение, параллельное основаниям цилиндра, есть круг.
3. Cечение,не параллельное основаниям цилиндра и не пересекающее его основания есть эллипс.
Эллипс- это множество точек плоскости сумма расстояний от которых до двух заданных точек этой плоскости есть величина постоянная.
Покажем, что сечение, не параллельное основаниям цилиндра и не пересекающее его основания есть эллипс.
Пусть плоскость α пересекает поверхность цилиндра по некоторой линии L. Рассмотрим два шара, радиусы которых равны радиусам основания цилиндра, касающиеся поверхности цилиндра и плоскости .Точки касания c плоскостью обозначим F1 и F2. Линии пересечения поверхности цилиндра и шара обозначим L1 и L2. Выберем любую точку x линии пересечения L и проведем через нее образующую цилиндра. Обозначим длину этой образующей между точками пересечения A и B c линиями L1 и L2 2a.
|
|
|
По теореме о касательных, проведенных из одной точки к сфере будем иметь:
xA = x F1, xB = x F2 . Cложим последние два равенства, получим
x F1 + x F2 = xA + xBAB =2a. Таким образом, сумма расстояний от двух заданных точек F1 и F2 до произвольной точки линии L есть величина постоянная.
Значит, линия L – эллипс. Доказательство закончено.
Прямой круговой конус = 5
Определение
Конусом называется фигура , полученная при вращении прямоугольного треугольника вокруг прямой, содержащей его катет.
Прямая СA- ось конуса.
Вершина конуса - это вершина A треугольника ABC .
Образующей конуса называется гипотенуза (сторона AB ) прямоугольного треугольника ABC , при вращении прямоугольного треугольника она образует боковую поверхность конуса.
Основания конуса – это круг, который образуется от вращения
стороны BC прямоугольного треугольника ABC .
|
|
|
Полная поверхность конуса состоит из его основания и боковой
поверхности.
Высота конуса – отрезок перпендикуляра из вершины конуса к плоскости
основания.
Осевое сечение конуса - треугольник ( MNP ), полученный при
пересечении плоскости, проходящей через ось конуса
перпендикулярно его основанию( рис. 160). 
Развертка боковой поверхности конуса – есть круговой сектор
радиус которого равен образующей конуса, а длина
дуги сектора – длине окружности основания конуса:
L =О A , 
=2π R , 
. 
Сечения конуса плоскостью = 6
1.Осевое сечение конуса - треугольник), полученный при
пересечении плоскости, проходящей через ось конуса
перпендикулярно его основанию. 
2. Сечение, проходящеечерез две образующие конуса , есть
равнобедренный треугольник .
3. Сечение, параллельное только одной образующей конуса, есть парабола.
4. Сечение, параллельное двум образующим конус , есть гипербола.
5. Сечение, не параллельное основанию и пересекающее все образующие конуса есть эллипс.
Усеченный конус
Определение
Усеченным конусом называется часть конуса, заключенная между основанием и плоскостью, параллельной основанию( рис.166).
|
|
|
AA 1 - образующая, OO 1 - высота, круги с центрами O и O 1 , радиусами R и r - основания . 
Осевое сечение усеченного конуса – равнобедренная трапеция, полученная при пересечении плоскости, проходящей через ось усеченного конуса
перпендикулярно его основанию).
Развертка боковой поверхности усеченного конуса - часть кругового кольца.
Чтобы получить развертку боковой поверхности усеченного конуса, дополним
его до полного конуса и сделаем развертку полного конуса, а затем рассмотрим
на этой развертке развертку конуса с тем же центральным углом и меньшим радиусом, получим часть кольца
Сфера и шар. Элементы сферы и шара
Определения
1.Сферой называется множество всех точек пространства, находящихся на положительном расстоянии R от данной точки.
2.Центр сферы – данная точка O (рис.168), отрезок OM –радиус сферы.
Любой отрезок, соединяющий центр сферы с точкой сферы называется радиусом сферы.
3.Шаром называется множество всех точек пространства, находящихся на расстоянии, не больше положительного R от данной точки или
шар – это часть пространства, ограниченная сферой.
Радиус шара – это радиус ограничивающей его сферы.
Шар можно получить при вращении полукруга вокруг оси, которая содержит диаметр полукруга.
Отрезок, соединяющий две точки сферы, называется хордой сферы.
Хорда, проходящая через центр сферы называется диаметром сферы.
Уравнение сферы
Пусть задана прямоугольная система координат. Составим уравнение сферы с центром в точке S(a; b; c) и радиусом R.
Для каждой точки M ( x;y;z), принадлежащей сфере и только для таких точек, выполняется равенство:
SM = R.
Пользуясь формулой расстояния между двумя точками, получим
(x-a) 2 +( y- b ) 2 + (z - c ) 2 = R 2 (1) .
Уравнение (1) и есть уравнение сферы с центром в точке (a; b; c) и радиусом R.
Если a=b=c=0, то получим уравнение сферы с центром в начале координат
x-2 +y 2 + z 2 = R 2 .
Сечение шара плоскостью
Рассмотрим сферу с центром в точке O и плоскость α .
Проведем ОС 
α. Пусть OC = d.
Если d > r, то сфера и плоскость общих точек не имеют. 
Если d < r, то сфера и плоскость имеют общие точки.
Теорема
Сечение сферы плоскостью – окружность.
Доказательство
Пусть M – любая точка пересечения сферы с плоскостью α ( рис.170). Соединим ее с точкой С и проведем радиус OM. По определению перпендикуляра к плоскостиОС СM.
По теореме Пифагора CM = 
, где OC = d, r – радиус сферы.
Величины r и d – постоянные, следовательно, для любой точки пересечения сферы и плоскости расстояние до точки C есть величина постоянная, следовательно, по определению окружности – эта линия есть окружность.
Доказательство закончено.
Следствие 1
Сечение шара плоскостью есть круг.
Следствие 2
Сечения шара плоскостью, равноудаленные от центра, равны
Следствие 3
Сечения шара плоскостью тем больше, чем ближе оно расположено к центру.
Определение1
Сечения шара плоскостью, проходящей через центр шара , называется большим кругом, а его окружность – окружностью большого круга.
Определение2
Точки пересечения сферы с диаметром, перпендикулярным большому кругу, называются полюсами сферы.
Следствие 4
Два больших круга пересекаются по диаметру.
Следствие 5
Сечением шараплоскостью являетсяточка, если расстояние от центра шара до плоскости равно радиусу шара.
Дата добавления: 2021-01-20; просмотров: 48; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!