Требования к содержанию отчета по работе
Тема: Применение определенного интеграла к решению задач.
Цель: закрепить умения вычислять определѐнные интегралы разными методами,
применять определѐнные интегралы при решении задач физики и геометрии.
уметь:
- применять основные методы интегрирования при решении задач;
- применять методы математического анализа при решении задач прикладного характера, в том числе профессиональной направленности;
знать:
- основные понятия и методы математического анализа;
Порядок выполнения работы:
1. Повторите теоретические материал по теме работы.
2. Выполните задание вашего варианта, с указанием используемых правил и формул.
3. Оформите работу и сделайте вывод
Теоретическая часть.
Основные свойства определенного интеграла
; 
;
; где a, b, c любые числа.
; 
.
Формула Ньютона – Лейбница
Если функция 
непрерывна на отрезке [a;b] и функция у = F( x) является некоторой ее первообразной на этом отрезке, то имеет место формула Ньютона – Лейбница 
.
Вычисление определенных интегралов
Простым и удобным методом вычисления определенного интеграла 
от непрерывной функции является формула Ньютона-Лейбница: 
.
Вычисление площади плоской фигуры
Найдем площадь S криволинейной трапеции, ограниченной кривой 
осью 
и двумя прямыми 
и 
, где 
, 
(рис. 1)
|
|
|
Так дифференциал переменной площади S есть площадь прямоугольника с основанием dx и высотой 
, т. е. 
, то, интегрируя это равенство в пределах от a до b, получим
(1)
Если криволинейная трапеция прилегает к оси 
так, что 
, 
(рис. 2), то дифференциал переменной площади S равен 
откуда
(2)
В том случае, когда криволинейная трапеция, ограниченная кривой 
, осью и прямыми x=a и x=b, лежит под осью (рис. 3), площадь находится по формуле
(3)
Если фигура, ограниченная кривой 
, осью и прямыми x=a и x=b, расположена по обе стороны от оси (рис. 4), то
(4)
Пусть, наконец, фигура S ограничена двумя пересекающимися кривыми 
и 
и прямыми x=a и x=b, где и 
(рис. 5). Тогда ее площадь находится по формуле
(5)
Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной указанными линиями 
и 
Решение. Выполним построение фигуры. Строим прямую 
по двум точкам А(4;0) и В(0;2) (рис.6). Выразив у через х, получим 
По формуле (1), где 
, 
и 
, находим
(кв. ед.)
В качестве проверки вычислим площадь трапеции 
обычным путем. Находим: 
, 
, 
. Следовательно, 
(кв. ед.). 
|
|
|
Вычисление пути, пройденного точкой
Путь, пройденный точкой при неравномерном движении по прямой с переменной скоростью 
за промежуток времени от 
до 
, вычисляется по формуле
(6)
Пример. Скорость движения точки изменяется по закону 
м/с. Найти путь, пройденный точкой за 10 с от начала движения.
Решение. Согласно условию, 
, 
, 
. По формуле (6) находим
(м).
Вычисление работы силы
Работа, произведенная переменной силой 
при перемещении по оси 
материальной точки от 
до 
, находится по формуле
(7)
При решении задач на вычисление работы силы часто используется закон Гука:
, (8)
где F - сила, H; x - абсолютное удлинение пружины, м, вызванное силой F, а k - коэффициент пропорциональности, Н/м.
Пример. Сжатие х винтовой пружины пропорционально приложенной силе F. Вычислить работу силы F при сжатии пружины на 0,04 м, если для сжатия ее на 0,01 м нужна сила 10 Н.
Решение. Так как, 
м при 
Н, то, подставляя эти значения в равенство (8), получим 
откуда 
1000 Н/м. Подставив теперь в это же равенство значение k, находим 
, т. е. 
Искомую работу найдем по формуле (7), полагая 
, 
:
|
|
|
(Дж).
Требования к содержанию отчета по работе
Отчёт о работе должен содержать название и цель работы, задание, результаты выполнения задания. По результатам работы необходимо сделать выводы.
Задание 1.Решите задачи с помощью определенного интеграла
1. Найти работу, производимую при сжатии пружины на 0,03 м, если для сжатия её на 0,005 м нужно приложить силу в 10 Н.
Ответ: 0,9 Дж.
2. Сила упругости пружины, растянутой на 0,05 м, равна 3 Н. Найти работу, которую надо произвести, чтобы растянуть эту пружину на 0,05 м
Ответ: 0,075 Дж.
3. Найти работу, которую нужно затратить, чтобы растянуть пружину на 0,05 м, если сила 100 Н растягивает пружину на 0,01 м
Ответ: 125 Дж.
4. Вычислить работу, совершаемую при сжатии пружины на 15 см, если известно, что для сжатия пружины на 1 см необходима сила в 30 Н.
Ответ: 33,75 Дж.
5. Вычислить работу, совершаемую при сжатии пружины а 0,08 м, если для сжатия её на 0,01 м нужна сила в 25 Н.
Ответ: 8 Дж.
6. Пружина растягивается на 0,02м под действием силы 60Н. какую работу производит эта сила, растягивая пружину на 12см?
|
|
|
7. Под действием силы 80Н пружина растягивается на 2см. первоначальная длина пружины равна 0,15м. Какую работу надо совершить, чтобы растянуть ее до 20см?
8. Пружина в спокойном состоянии имеет длину 10см. Сила в 20Н растягивает на 0,01м. Какую работу надо совершить, чтобы растянуть ее от 12 до 14 см?
9. При сжатии пружины на 5см совершается работа 30Дж. Какую работу надо совершить, чтобы сжать пружину на 8см?
10. Для сжатия пружина на 5см затрачивается работа 25Дж. Какую работу надо совершить, чтобы сжать пружину на 0,1м?
Задание 2.
1. Тело движется прямолинейно со скоростью 
(м/с). Найти путь, пройденный за первые 3 с.
Ответ: 16,5 м.
2. Тело движется прямолинейно со скоростью 
(м/с). найти значение параметра 
, если известно, что за промежуток времени от 
до 
(с) тело прошло путь длиной 40 м.
Ответ: 
.
3. Тело движется прямолинейно со скоростью 
(м/с). Найти длину пути, пройденного телом от начала пути, до его остановки.
Указание: в моменты начала и остановки скорость тела равна нулю.
Ответ: 288 м.
3. Найти путь, пройденный точкой за третью секунду, зная скорость её прямолинейного движения 
(м/с).
Ответ: 11 м.
4. Два тела начали двигаться по прямой в один и тот же момент из одной точки в одном направлении. одно тело двигалось со скоростью 
(м/с), другое со скоростью 
(м/с). определить расстояние между телами через 2 секунды.
Ответ: 8м.
Контрольные вопросы :
- геометрический смысл определенного интеграла
- свойства определенного интеграла
- суть метода замены переменной при вычислении определенного интеграла
Дата добавления: 2020-12-22; просмотров: 43; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!