Задания для самостоятельной работы
Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение
Высшего образования
«ФИНАН
«ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ»
Департамент анализа данных, принятия решений и финансовых технологий
С.А.Зададаев
Касательная к графику функции ( Excel )
Учебно-методические рекомендации для проведения
семинара №6 по компьютерному практикуму
Для бакалавров направления 38.03.01 «Экономика»
Электронное издание
Москва 2017
Касательная к графику функции ( Excel )
Введение
Обратимся к задаче о нахождении касательной к графику функции 
в точке 
:
.
В качестве примера рассмотрим функцию 
в точке 
. Точное (аналитическое) нахождение уравнения касательной здесь получить совсем нетрудно:
В итоге уравнение искомой прямой принимает вид:
.
Раскрывая далее скобки и приводя подобные, окончательно получаем
.
Воспользуемся Excel для визуализации смысла касательной.
Задание 1. Построение касательной к графику функции с использованием точного значения производной.
Для этого выберем некоторую окрестность точки , например, 
, введем в ячейки листа Excel соответствующие значения, по указанным выше формулам вычислим точки на графиках самой функции и ее касательной, вызовем точечную диаграмму с гладкими кривыми и, указав необходимые ссылки на столбцы данных, получим искомый вид (см. рис.1).
|
|
|
Рис.1
P . S . Чтобы приблизить рисунок используйте Ctrl + колесико на мышке.
Для детализации действий откройте файл образца в Excel, лист «Образец_1» Образец Касательная к графику функции.xlsx.
Как обычно, желтым фоном подсвечены ячейки с текстовыми пояснениями, которые не вычисляются в Excel, а служат лишь для пояснения запрограммированных далее формул. В первой группе таких «поясняющих» выделенных ячеек C4:D6 мы указали функцию, ее точно вычисленную производную и формулу для вычисления ординаты 
касательной к графику:
| C | D | |
| 4 | f(x) = | xe^(-x) |
| 5 | f'(x) = | e^(-x)*(1-x) |
| 6 | y = | f(xo)+f'(xo)*(x-xo) |
Советуем всегда комментировать свои вычисления и раскрашивать такие ячейки для удобства дальнейшего использования.
В следующей группе ячеек C8:D10 указывается значение точки касания и уже вычисляются значения функции 
и ее производной 
по указанным выше формулам:
|
| C | D |
| 8 | xo = | 0,50 |
| 9 | f(xo) = | 0,30 |
| 10 | f'(xo) = | 0,30 |
или в программном виде:
|
| C | D | ||
| 8 | xo = | 0,50 | ||
| 9 | f(xo) = | =D8*EXP(-D8) | ||
| 10 | f'(xo) = | =(1-D8)*EXP(-D8)
|
(Совершенно случайно значения 
и 
в этом примере в точности совпадают, хотя вычисляются по разным формулам.)
Далее указываем параметры отображения графиков: начало и конец рассматриваемого диапазона 
изменения 
, количество 
разбиений отрезка для генерации точек графика функции и получившееся приращение аргумента 
:
|
| C | D |
| 12 | a = | -1,00 |
| 13 | b = | 4,00 |
| 14 | N = | 100 |
| 15 | Δ = | 0,05 |
или в программном виде:
|
| C | D |
| 12 | a = | -1,00 |
| 13 | b = | 4,00 |
| 14 | N = | 100 |
| 15 | Δ = | =(D13-D12)/D14 |
Теперь нам остается сгенерировать последовательность значений , пробегающую весь отрезок от 
до 
с шагом 
и вычислить в полученных точках значение функции и касательной (ячейки C18:E118):
|
| C | D | E |
|
| x | f(x) | y |
| 18 | -1,00 | -2,72 | -0,15 |
| 19 | -0,95 | -2,46 | -0,14 |
| … | … | … | … |
| 118 | 4,00 | 0,07 | 1,36 |
Здесь следует обратить внимание на программирование ячеек . Первое значение в столбце , конечно, получается, как ссылка на начало отрезка , а последующие запрограммированы как ссылка на предыдущее значение «плюс» шаг :
|
| C | D | E | ||
|
| x | f(x) | y | ||
| 18 | =D12 | -2,72 | -0,15 | ||
| 19 | =C18+$D$15 | -2,46 | -0,14 | ||
| 20 | =C19+$D$15 | -2,21 | -0,12 | ||
| … | …. | … | … |
Только не забудьте после ссылки на ячейку D15 (шаг ) нажать клавишу F 4 для заморозки значений , чтобы в дальнейшем копирование формул было корректным. Напомним, что для этого нужно растянуть запрограммированную ячейку вниз левой клавишей мыши, указав на специальный крестик, который появится в правом нижнем углу ячейки после наведения на него курсора мыши.
Остальные ячейки значений и вычисляются стандартно по указанным в начале формулам:
|
| C | D | E |
|
| x | f(x) | y |
| 18 | =D12 | =C18*EXP(-C18) | =$D$9+$D$10*(C18-$D$8) |
| 19 | =C18+$D$15 | =C19*EXP(-C19) | =$D$9+$D$10*(C19-$D$8) |
| … | …. | … | … |
И также не забываем с помощью клавиши F 4 фиксировать значения в ячейках и 
при вычислении ординаты касательной .
Остается последний шаг – вызвать соответствующую диаграмму для построения графиков функции и касательной. Для этого выделяем левой клавишей мыши весь числовой диапазон последних трех столбцов данных и выбираем в меню Вставка -> Диаграммы -> Точечные -> Точечная с гладкими кривыми (см. рис.2).
Рис. 2.
|
|
|
Мы почти у цели. Остается переименовать названия подписей. Это делается следующим образом: выделяем диаграмму с графиками, указав на свободное (пустое, не занятое графиками) место на диаграмме, далее щелкаем правой кнопкой мыши и выбираем пункт «Выбрать данные…» (см. рис.3). Если промахнуться и курсором мыши случайно указать не на пустое поле диаграммы, а, скажем, на линию сетки или область подписи легенды диаграммы, то по правой клавише мыши выскочит соответственно другое меню. Обратите внимание также, что по нажатию правого верхнего крестика над диаграммой мы попадаем в меню визуальных настроек диаграммы, где указывается: отображать ли различные текстовые пояснения.
Рис.3
После вызова пункта «Выбрать данные…» получаем диалоговое окно, в котором можем выбирать для изменения, ввода или удаления различные данные (см. рис. 4)
Рис. 4.
и редактировать как сами диапазоны данных, так и подписи к ним (см. рис.5)
Рис. 5
Задание 2. Построение касательной к графику функции с использованием приближенного значения производной.
На практике существуют случаи, когда точное вычисление производной невозможно или неактуально с вычислительной точки зрения. К первому типу ситуаций относятся случаи, когда значение функции не задано аналитически, а информация о значениях самой функции известна до определенного значения аргумента (часто до определенного момента времени), например, когда речь идет о новых процессах, которые эволюционируют в настоящее время. Ко второму случаю неактуальности аналитических расчетов производной относятся громоздкие сложные функции, которые рутинно программировать в борьбе за совершенно микроскопическое увеличение точности.
Откроем файл образца в Excel, лист «Образец_2» Образец Касательная к графику функции.xlsx.
Мы видим практически повтор предыдущих рассуждений с разницей лишь в том, как вычисляется производная функции 
(см. рис.6)
Рис. 6.
Здесь нет никакого точного (аналитического) вычисление производной. Вместо этого указано определение производной:
,
которое при очень близких друг к другу значениях и заменяется на приближенное равенство
|
| C | D |
| 4 | f(x) = | xe^(-x) |
| 5 | f'(x) ~ | (f(x)-f(xo))/(x-xo) |
| 6 | y = | f(xo)+f'(xo)*(x-xo) |
Таким образом, для того, чтобы в последующих ячейках вычислить значение производной 
необходимо задать помимо числа еще и близкое к нему значение . Например, пусть
.
В итоге перепрограммирования вычисления производной функции получим:
|
| C | D |
| 8 | xo = | 0,5000000000000000 |
| 9 | x = | 0,5000000001000000 |
| 10 | f(xo) = | 0,3032653298563170 |
| 11 | f(x) = | 0,3032653298866430 |
| 12 | f'(xo) = | 0,3032657207567280 |
или в Excel-коде
|
| C | D |
| 8 | xo = | 0,5000000000000000 |
| 9 | x = | =D8+0,0000000001 |
| 10 | f(xo) = | =D8*EXP(-D8) |
| 11 | f(x) = | =D9*EXP(-D9) |
| 12 | f'(xo) = | =(D11-D10)/(D9-D8) |
Можем сравнить с точным значением производной в предыдущем задании, указав в форматах ячеек с производными одинаковую точность в 16 знаков (делается по правой клавише мыши в пункте формат ячеек…):
Точная = 0,3032653298563170
Приближенная = 
0,3032657207567280
(разница порядка четырех десятимиллионных).
Далее все следует в точности рассмотренному выше примеру. В итоге получаем ничем не отличающуюся картинку (см. рис.7)
Рис. 7.
Замечание. В случаях на практике, когда требуется вычислить приближенно значение производной функции, для которой неизвестны последующие значения (речь идет о прогнозе), вычисление близкого к следует производить по формуле:
.
Также в заключении отметим, что при использовании приближенных значений производной нужно «посматривать» на гладкость и регулярность функции. В случаях негладкого и/или сингулярного (разрывного, скачкообразного, неограниченного и пр.) поведения функции производную следует вычислять аналитически.
Задания для самостоятельной работы
1. Изобразить на плоскости график функции 
с проведенной к нему касательной в точке 1,5. Указание: производную функции вычислить аналитически точно, в качестве окрестности точки 1,5 выбрать отрезок 
.
2. Изобразить на плоскости график функции 
с проведенной к нему касательной в точке 2. Указание: производную функции вычислить приближенно, в качестве окрестности точки 2 выбрать отрезок 
.
3. * Сколько раз касательная к графику функции 
, проведенная в точке 2, пересекает весь ее график?
4. ** Сравнить результаты предыдущих примеров №1–3 при использовании точных и приближенных значений производных функции.
Дата добавления: 2020-12-22; просмотров: 179; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!