Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля
Пример 1. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 (рис. 5) боковая грань DD1C1C – квадрат, DC равно 4 см, BD1 равно 6 см. Найдите BC и докажите, что плоскости BCD1 и DC1 B1 взаимно перпендикулярны.
Сначала найдем BC. Воспользуемся тем свойством прямоугольного параллелепипеда, что квадрат его диагонали равен сумме квадратов трех его измерений.
Тогда диагональ BD1 в квадрате равна AD в квадрате плюс DD1 в квадрате плюс DC в квадрате. BD1 – известно из условия, DD1 и DC – стороны квадрата и тоже известны из условия, тогда отсюда мы можем выразить ребро AD, которое ребру BC.Отсюда находим, что BC равно 2 сантиметрам.
Для доказательства перпендикулярности плоскостей BCD1 и DC1 B1 воспользуемся признаком перпендикулярности плоскостей. Этот признак звучит следующим образом: если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.
Заметим, что плоскость BCD1 проходит через диагональ грани DD1 C1C – CD1. Эта диагональ перпендикулярна плоскости DC1 B1 в соответствии с признаком перпендикулярности прямой и плоскости, так как CD1 перпендикулярна второй диагонали квадрата – C1D и перпендикулярна ребру прямоугольного параллелепипеда C1 B1. Что и требовалось доказать.
(Рис. 5)
Тестовый вопрос №2. В прямом двугранном угле дана точка A. Расстояния от точки A до граней угла: AA1=6 см и AB1=8 см. Определите расстояние от точки A до ребра двухгранного угла.
|
|
Решение.
Отрезки AA1 и AB1 перпендикулярны граням двугранного угла, поэтому AA1BB1 – прямоугольник. Искомое расстояние – диагональ этого прямоугольника, которую найдем с помощью теоремы Пифагора: сантиметров.
Ответ: 10 см.
Тестовый вопрос №10. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 длины рёбер: AB = 2, BC=3, AA1 = 4. Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки A, B и C1.
Решение. Нарисуем рисунок.
В рассматриваемом прямоугольном параллелепипеде проведем отрезок BC1. Затем построим плоскость на прямых BC1 и AB. Так как плоскости прямоугольного параллелепипеда AA1D1D и BB1C1C параллельны, поэтому искомым сечением является прямоугольник ABC1D1.
Нам известны отрезки AA1 и BC, из них по теореме Пифагора вычислим длину отрезка BC1: .
Теперь найдем площадь искомого прямоугольника: 10 .
Ответ: 10.
Дата добавления: 2020-12-22; просмотров: 153; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!